Открытый урок по теме "Формулы вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной окружности"

Для проведения урока необходим экран, компьютер и мультимедийный проектор для показа презентации.

Сегодня на уроке мы узнаем и увидим много нового и интересного: вспомним понятие правильного многоугольника, выведем формулы, связывающие площадь и сторону правильного многоугольника с радиуса вписанной окружности. Кроме того узнаем интересные исторические факты, связанные не только с правильными многоугольниками, но и многогранниками. Решим геометрические задачи по данной теме.

Мне хотелось бы начать со слов Бертрана Рассела: “Математика владеет не только истиной, но и высшей красотой…”.

Разминка

Вопрос о математических предпосылках прекрасного, о роли математики в жизни волновал еще древних греков, причем свой интерес они унаследовали от предшествующих цивилизаций. В наше время геометрия – необходимый элемент общего образования и культуры, представляет большой исторический интерес, имеет серьезное практическое применение и обладает внутренней красотой.

Название правильные идет из античных времен, когда стремились найти гармонию, правильность, совершенство в природе и человеке. До сих пор многоугольники нередко называют в науке по-гречески с окончанием “гон”: полигон – многоугольник, пентагон – пятиугольник (такой формы сверху здание театра Российской армии в Москве и министерство обороны США), гексагон – шестиугольник (ячейка пчелиных сот).

Замечательным примером пентагона является правильный звездчатый пятиугольник:

Рисунок 1

Звездчатый пятиугольник называется пентаграммой. Пифагорейцы выбрали пятиконечную звезду в качестве талисмана, она считалась символом здоровья и служила опознавательным знаком.

Бытует легенда о том, что один из пифагорейцев больным попал в дом к незнакомым людям. Они старались его выходить, но болезнь не отступала. Не имея средств заплатить за лечение и уход, больной перед смертью попросил хозяина дома нарисовать у входа пятиконечную звезду, объяснив, что по этому знаку найдутся люди, которые вознаградят его. И на самом деле, через некоторое время один из путешествующих пифагорейцев заметил звезду и стал расспрашивать хозяина дома о том, каким образом она появились у входа. После рассказа хозяина гость щедро вознаградил его.

Пентаграмма была хорошо известна и в Древнем Египте. Но непосредственно как эмблема здоровья она была принята лишь в Древней Греции.

Вычисление суммы углов пятиконечной звезды, вписанной в окружность. (Рис. 1)

Ученики могут решать эту задачу двумя способами, если нашли только один способ решения, то можно по усмотрению комментировать другой.

Рисунок 2

I способ: Когда вершины пятиугольной звезды делят окружность на равные дуги, задача решается очень просто; 360^о/5/2*5=180^о.

II способ: Угол AMR – внешний угол треугольника MCE, поэтому <AMR=<C+<E. Угол ARM – внешний угол треугольника BRD, поэтому <ARM=<B+<D. Тогда <A+<B+<C+<D+<E=<A+<AMR+<ARM=180^o.

Рассмотрим условие геометрической задачи: в правильный шестиугольник вписана окружность радиусом 8 см. Найти 1) длину стороны шестиугольника, 2) площадь шестиугольника, 3) радиус описанной около него окружности.

Рисунок 3

Рисунок 4

Наводящие вопросы:

Разбейте шестиугольник на 6 равных треугольников с общей вершиной О.
Чем является радиус ОН вписанной в треугольник АОВ окружности
Чему равен угол АОВ
Вычислите градусную меру угла АОН
Перечислите все известные элементы треугольника АОН, как найти его неизвестные элементы
Что можно сказать о площадях треугольников АОВ, ВОС, т.д.

Рассмотрим задачу нахождения площади, радиуса описанной окружности и радиуса вписанной окружности для правильного многоугольника.

Рисунок 5

Если соединить центр данного многоугольника с его вершинами, то многоугольник разобьется на п – равных треугольников. Площадь каждого из которых равна , следовательно, S = n• = = .