Решение тригонометрических уравнений методом замены переменной

Зеленская Светлана Николаевна, учитель математики

Тип урока: изучение нового материала.

Цели урока:

Познакомить учащихся с методом решения тригонометрических уравнений методом замены переменной.
Формировать умения анализировать, устанавливать связь между элементами содержания ранее изученного материала, навыки поисковой деятельности, способность к самоанализу, рефлексии.
Содействовать развитию познавательного интереса и личностной активности учащихся; создать условия для творческой самореализации личности.

Оборудование урока:

экран,
мультимедиа проектор,
компьютер,
авторская презентация к уроку,
набор карточек для конструирования уравнений на магнитной доске,
комплекты дидактической игры “Лото”,
бланки с заданием теста.

Компьютерное программное обеспечение: программа Power Point

На уроке сочетаются фронтальный, парный и индивидуальный виды работы учащихся. У каждого ученика на рабочем месте находиться листы индивидуальной работы, на которых он подписывает свою фамилию, строит график самоанализа своей деятельности на занятии. Для самоанализа своей деятельности на занятии ученики строят график. На вертикальной оси отмечают самооценку от 1 до 5, а по горизонтальной отмечают этапы урока

Ход урока

Организационный момент. (1 мин.)

Учитель: Методы решения тригонометрических уравнений разрабатывались математиками уже многие годы. Ими выделены различные классы тригонометрических уравнений, для которых известны алгоритмы решения. Сегодня на уроке мы рассмотрим один из методов решения тригонометрических уравнений – “ Метод замены переменной”. Этот метод решения уравнений вам хорошо известен, вы не раз применяли его при решении алгебраических уравнений. Покажем, как он применяется при решении тригонометрических уравнений

I этап. (6 мин.) Учащиеся отвечают на вопросы учителя: Какие уравнения называются тригонометрическими? Что значить решить тригонометрическое уравнение? Какие тригонометрические уравнения относятся к простейшим? При каком условии уравнения имеют решения? Какие уравнения называются квадратными? Какие виды квадратных уравнений они знают? Какова связь числа корней квадратного уравнения с его дискриминантом? Ответы иллюстрируются слайдами презентации на экране

Ученики в парах выполняют задания теста по теме: “Простейшие тригонометрические уравнения”. По окончании работы над тестом учитель показывает правильные ответы на экране. Пары обмениваются бланками с тестовыми заданиями и проводят взаимопроверку. Во время проверки ученики корректируют свои знания по этой теме. Ученики отмечают свою оценку на графике и сдают бланк учителю. Критерии оценок: “5”-5 верных ответов, “4”-4 верных ответа, “3”-3 верных ответа, “2”-1-2 верных ответа.

Tест. Вариант№1.

1 2 3

4 5 6

7 8 9

Задание. Найдите ошибку.

Правильные ответы отметь кругом.

№	Верно ли, что
1	Решением уравнения являются числа
2	Решением уравнения являются числа
3	Решением уравнения являются числа
4	Уравнение не имеет решения
5	Решением уравнения являются числа
6	Решением уравнения являются числа
7	Решением уравнения являются числа
8	Что второе уравнение является следствием первого
9	Уравнение имеет решение при

Ответ: 3,4,5,7,8

Tест. Вариант№2.

1	2	3
4	5	6
7	8	9

Задание. Найдите ошибку.

Правильные ответы отметь кругом

№	Верно ли, что
1	Решением уравнения являются числа
2	Решением уравнения являются числа
3	Решением уравнения являются числа
4	Уравнение не имеет решения
5	Решением уравнения являются числа
6	Решением уравнения являются числа
7	Что второе уравнение равносильно первому
8	Уравнение не имеет решения
9	Уравнение имеет решение при

Ответ: 2,4,5, 8,9

II этап. Объяснение нового материала (10 мин).

Учитель:- Проанализируйте два уравнения и ,где заданные числа и определите какое из этих уравнений сложнее и почему?

Учащиеся: – Второе уравнение сложнее, так как в него входят две тригонометрические функции ,.

Начинаем искать метод решения первого уравнения. Так как в этом уравнении коэффициенты известные числа и у двух элементов один и тот же аргумент обращаемся к аналогичной ситуации в алгебраических уравнениях. Вспоминаем с учащимися, что для решения, уравнения вида , где заданные числа, делаем замену , при этом отвечаем на вопросы подтверждающие возможность замены: Можно ли решить “новое” уравнение? Будет ли работать данный метод при решении тригонометрического уравнения. Отвечая на эти вопросы, приходим к выводу, что уравнение можно решать заменой .

	Шаги алгоритма	Возможные ошибки	Пути исправления ошибок
1	Замена переменной.	Неправильно записано новое уравнение.	Проверить запись нового уравнения
2	Решение квадратного уравнения.	Ошибки при вычислении корней квадратного уравнения.	Проверить правильность решения квадратного уравнения различными способами.
3	Решение простейших тригонометрических уравнений	Формальное применение формул для решения простейших уравнений. Неправильно решены уравнения при частных случаях	Вспомнить ограниченность синуса и косинуса, выучить формулы для решения простейших уравнений, частных случаев.

Пример 1. Решить уравнение .

В итоге ученики совместно с учителем выделяют шаги реализации рассматриваемого метода и формулируют алгоритм решения данного уравнения, заполняют таблицу. Шаги алгоритма, возможные ошибки и пути их исправления иллюстрируются слайдами презентации на экране.

Учитель: – Какие уравнения могут иметь аналогичный метод решения?

Учащиеся: – Это уравнения вида: , , где заданные числа.

Учитель:- Вернемся ко второму уравнению . Чем оно отличается от уже решенного уравнения? Можно ли свести это уравнение к уравнению с одной функцией?

Учащиеся: – Его можно свести к уравнению с одной функцией, применяя формулу . Уравнение в этом случае примет вид: или .

В итоге ученики совместно с учителем разбирают, как можно решить уравнения вида и гдезаданные числа.

III этап (18 мин). “Конструктор” Задание 1. Составьте уравнения рассматриваемых видов из предложенных выражений, если корнями это уравнения являются числа:

а) ;

б) ;

в) ,

На магнитной доске трое учеников собирают полученные уравнения, а остальные учащиеся сверяют свои записи с полученными уравнениями, результаты отмечают на графике. Критерии оценок: “5”-3 верных ответа, “4”-2верных ответа, “3”-1 верный ответ , “2”-нет верных ответов

“Крестики- нолики” Задание 2. Предварительное домашнее задание: решите уравнения, для каждого уравнения из таблицы укажите его вид и способы какими его можно решить.

1.	4.	7.
2.	5.	8.
3.	6.	9.

“Крестики- нолики”: вычеркните прямой линией три уравнения, которые не имеют решения Таблица №1

1.	4.	7.
2.	5.	8.
3.	6.	9.

Ответы: линия 1,5,9.

Критерии оценки: ”5” верный и полный ответ , “4”– ответ с одной ошибкой, “3”– ответ с двумя ошибками , “2”– неверный ответ.

Задание 3. Решите задачи с параметром.

Задача 1. Определить, при каких значениях параметра уравнение имеет решения.

Задача 2. Определить, при каких значениях параметра уравнение имеет решения. Решите уравнение.

Учащийся по желанию выходят к доске для оформления решения задач.

VI этап. (7 мин) Класс приступает к решению задач в группах. Учащиеся выполняют задания в зависимости от восприятия материала

“Лото”. У каждого ученика на рабочем месте находится лото, которое состоит из поля 3 1 и 6 двусторонних карточек. На клетках поля записаны уравнения, на лицевых сторонах карточек – ответы к уравнениям, на обратных сторонах – буквы, которые вместе позволят ответить на вопрос. Какой математик однажды заметил что: “Математическую теорию можно считать совершенной только тогда, когда ты сделал ее настолько ясной, что берешься изложить ее содержание первому встречному”?

I группа	Определить, при каких значениях параметра уравнение имеет решения.
II группа.	Определить, при каких значениях параметра уравнение имеет решения.
III группа	Определить, при каких значениях параметра уравнение имеет решения.
Лицевая сторона карточки	Г И	ЛЬБ	ЕРТ	РЕ	ЕТР	БЬ
Обратная сторона карточки		Таких не существует

Ответ: Гильберт.

Ответы иллюстрируются слайдами презентации на экране. Необходимо проверить решение задач, поэтому от каждой группы выступает учащийся, демонстрируя решение задач на доске.

Итог урока (2 мин) Подводя итог урока, учитель и учащиеся выясняют на каком этапе учащиеся испытывают наибольшие затруднения, какие задания для них были наиболее интересными, на что они должны обратить внимание при решении домашнего задания.

VI этап. Домашнее задание (1мин.)

Алгебра и начала анализа. Ч.1.Учебник для 10 класс А. Г. Мордкович, П.В.Семенов (профильный уровень). §34 п.1.стр179-180.

1-й уровень – задания репродуктивного характера – Решить уравнения №23.4(б), №23. 5(г), №23.7(б). Ч.2.Задачник для 10 кл. А.Г.Мордкович и д.р (профильный уровень) Алгебра и начала анализа. Решить задачу. Определить, при каких значениях параметра уравнение имеет решения.

2-й уровень – задания поискового плана: подобрать тригонометрические уравнения аналогичные уравнениям 1,5,9 из таблицы №1; Подобрать и решить задачу по физике при решении которой встречаются уравнения, рассмотренные на уроке.

3-й уровень – творческое; составить задания к дидактической игре “Лото” по теме: “ Решение тригонометрических уравнений методом замены переменной”.

17.03.2008