Цели урока
- Формировать понятие равновеликости и равносоставленности на конкретных задачах.
- Формировать и развивать геометрическую интуицию.
- Развивать умения учащихся проводить доказательство задачи, аргументировать ответ, подкрепляя его теоретической базой.
Ход урока
I. Актуализация знаний
Учитель. Сегодня мы продолжим изучать свойства площадей многоугольников.
(В начале урока повторяются свойства четырехугольников по готовым чертежам.)
Задание №1. Найдите ошибку.
«Спешите видеть»
Рисунок 1
Задание №2. Проверка домашней работы.
«Семь раз отмерь - один раз отрежь»
а) Доказать, что медиана треугольника делит его на две равновеликие части.
Рисунок 2
б) Перекроить трапецию в прямоугольник.
Рисунок 3
Некоторым учащимся было дано индивидуальное домашнее задание, с решением которого они познакомили всех учащихся, выполнив красочные чертежи на листах бумаги.
Индивидуальные задачи
1. Треугольник разрезать на два треугольника так, чтобы площадь одного из них была вдвое больше площади другого.
Рисунок 4
2. Разрезать трапецию на две равновеликие трапеции.
Рисунок 5
(На предыдущем уроке учащимся вводилось определение равновеликих фигур.)
II. Историческая справка (сообщение учащегося)
Задачи на разрезание и перекраивание фигур возникли в глубокой древности. В их основе лежат задачи о равновеликих и равносоставленных фигурах. Уже в VII-V в до н.э. в Индии в книге «Правила веревки» рассматриваются задачи на перекраивание прямоугольника в квадрат.
Обычно понятие равносоставленности применяется только к многоугольникам и многогранникам. Равносоставленные фигуры являются равновеликими.
В начале XX в. научно-популярная литература по математике стала доступна, и тогда задачи на разрезание фигур на определенное число частей и последующее составление из них новой фигуры привлекли внимание широких слоев общества, они оказались прекрасным средством для развлечения. Примерами такого развлечения являются игры Танграм, Пентамино, головоломка Пифагора, головоломки художника Громова.
Как правило, задачи на разрезание, встречающиеся в книгах по занимательной математике, имеют сюжетную основу.
Пример. Столяру принесли столешницу размером 9 на 12 с испорченной серединой и попросили её исправить. Столешница оказалась сделана из породы редкой породы, и мастеру захотелось её исправить, чтобы не потерять ни кусочка. Как он это сделал?
Задачи на разрезание нашли отражение и в математических софизмах (парадоксах). Софизмом называется рассуждение, обосновывающее заведомо нелепость, абсурд или ошибочный чертеж и кажущуюся «очевидность».
Этот интересный материал вы можете найти в книгах:
- М. Горднер «Математические чудеса и тайны»
- И.ФЙ. Шарыгин «Наглядная геометрия»
- И.Ф. Шарыгин , Геометрия 7-9 класс.
IV. Основная часть урока
Учитель. Продолжим решение задач на равносоставленность и равновеликость фигур. Дайте определение этих понятий.
Ученик. Равносоставленные фигуры – это фигуры, которые можно разрезать на одинаковое число соответственно равных частей. Равновеликие – плоские фигуры, имеющие равные площади.
Учитель. Как использовались данные понятия при решении задач на прошлом уроке?
Ученик. Для вывода формул площадей параллелеграмма, треуголника, трапеции.
Учитель. Задачи-теоремы, которые мы рассматривали на прошлых уроках, относятся к простым задачам на перекраивание. Сегодня мы рассмотрим задачи, не входящие в школьный учебник геометрии. Все они разного уровня сложности, но объединяет их общий подход в решении.
«Торопись не спеша»
Чертежи к задачам заранее подготовлены на доске, но закрыты. После решения задачи открывается следующий чертеж. Можно использовать графопроектор или медио аппаратуру и копьютер.
Задача №1
Рисунок 6
В четырехугольнике ABCD точки N и L – середины сторон BC и AD. Докажите, что 
Решение. Проведём диагональ BD.
1. Рассмотрим 
ABD : BL – медиана (основываемся на домашнюю задачу). Следовательно,
2. Рассмотрим BDC : DN - медиана, тогда
3.
(по 2 свойству площадей).
4. Следовательно, 
Задача №2
Рисунок 7
В четырехугольнике ABCD точки N и L- середины сторон AD и BC. Точка Р- точка пересечение AN и BL, точка T- точка пересечения DN и CL . Доказать, что площадь четырехугольника PNTL равна сумме площадей треугольников ABP и CTD.
Дать учащимся в парах обсудить решение данной задачи, Обсудить со всеми выдвинутые идей, составить алгоритм решения задачи (записать его на доске). Затем учащиеся самостоятельно записывают решение задачи в тетрадях. Сверку решения можно сделать по заготовленному решению.
Решение. (Опираемся на решение задачи №1.)
Задача №3
Рисунок 8
В четырехугольнике ABCD точки M,N,K,L – середины сторон. Докажите, что площадь закрашенного четырехугольника равна сумме площадей закрашенных треугольников.
Решение. (По задаче №1.)
Предложить учащимся самостоятельно решить задачу №3, затем рассмотреть решение в тетрадях и на доске.
V. Итог урока
Очень много задач на разрезание можно встретить в книгах с математическими головоломками и софизмами. Если вас заинтересовала данная тема, то продолжить её изучение вы можете индивидуально в форме реферата или исследовательской работы.
VI. Домашнее задание
- Решить задачу на разрезание столешницы.
- Доказать, что 3 медианы треугольника делят его на 6 равновеликих частей.
Список литературы
- А.Я. Цукарь, дидактический материал по геометрии с элементами исследования для 8 класса. – М.: Просвещение, 1999.
- Геометрия: доп. главы к шк. учеб.8 кл.: учеб. пособие для учащихся шк. и кл. с углубл. изуч. математики / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, и др. – М: Просвещение, 1997.
- М. Горднер «Математические чудеса и тайны»
- И.ФЙ. Шарыгин «Наглядная геометрия»
- И.Ф. Шарыгин , Геометрия 7-9 класс.