"Вероятность: мера случайности" – урок профильного курса

Теория вероятностей – не что иное, как здоровый смысл, подкрепленный вычислениями. (Маркиз де Лаплас)

Истинная логика нашего мира – правильный подсчет вероятностей. (Джеймс Максвелл)

Цели урока:

1. Вывод и отработка классического определения вероятности.
2. Построение математической модели вероятностных задач
3. Определение статистической и геометрической вероятности.

Занятие начинается со знакомства с условиями старинной игры. Зададимся вопросом стратегии игры: “Как играть, чтобы не проиграть?”

Имеем три шашки: у первой обе поверхности черные, у второй – обе белые, у третьей – одна поверхность белая, другая черная. Ведущий вынимает одну шашку из коробки, видим одно основание, игроки должны указать цвет второго основания. Сеанс – 10 попыток. Выигрывает тот, кто угадал более 5 раз.

Однозначна ли задача, стоящая перед нами? Нет. Ответ этой задачи невозможно угадать заранее, все зависит от случая. Как же выбрать верную стратегию игры?

Чтобы быть в этой игре победителем чаще других, следует заранее подготовиться. Поиски верной стратегии приведут к необходимости воспользоваться плодами увлекательной науки – теории вероятностей.

Сама эта наука возникла при решении задач игрового и прикладного характера. Приведите еще примеры неоднозначно определенных событий (игра в карты, кости, бросок монеты и т. д.).

Простейший пример неоднозначной задачи: если подбросить монету, то заранее нельзя сказать, какой стороной она ляжет вверх. Все зависит от случая. Может показаться, что в подобных задачах нет никаких закономерностей. Но что происходит при большом количестве бросков?

Математическое исследование № 1

Ученик демонстрирует результаты домашнего задания:

Вывод. При большом количестве бросков примерно в половине случаев выпадает “орел”.

Числовая оценка шансов на успех стара как мир. Французский естествоиспытатель Жорж Бюссон (1707-1788) бросал монету 4040 раз, и “орел” выпал в 2048 случаях. Английский математик Чарльз Пирсон (1857-1936) 24000 раз подбросил монету, “орел” выпал 12012 раз.

Вывод. Результаты бросания монеты обладают некоторой закономерностью, хотя итог каждого броска неизвестен.

На практике часто не требуется знать исход одного испытания, но необходимо знать закономерности, появляющиеся при проведении большого числа испытаний. Открыть закономерность в хаосе событий, найти гармонию в стихии неопределенности – вот замысел науки о случайном – теории вероятностей. Теория вероятностей раскрывает объективные законы, присущие массовым явлениям. Она позволяет предвидеть, как эти события будут протекать. Например, нельзя заранее определить результат одного бросания монеты, но если подбросить вверх две тонны монет, то можно предсказать, что одна тонна упадет вверх “орлом”, а другая тонна – “решкой”.

Основной прием изучения случайного явления – разработка его теоретической модели, т. е. системы суждений, позволяющих определенным образом проанализировать событие.

Перейдем к решению задач при помощи построения вероятностных моделей. Но прежде попробуем дать некоторые определения. На доске две колонки записей, соотнесите событие в левой колонке с названием из правой:

Определения:

• Случайным называется событие, результат которого мы не можем точно предсказать заранее.
• Невозможное событие – то, которое в данных условиях не может произойти.
• Равновозможные – события, любое из которых не обладает никаким преимуществом появляться чаще других при многократных испытаниях.
• Достоверное – событие, которое при данных условиях всегда произойдет.

Пусть множество исходов данного опыта состоит из п равновозможных исходов, в т из которых происходит событие А. Вероятностью события А называется число, равное отношению числа исходов, в которых произойдет событие А, к числу всех исходов опыта.

Примеры

1. Бросок монеты: множество исходов опыта п = 2 (“орел”, “решка”); событие А – выпадение “орла”



2. Бросок кубика: множество исходов п = 6; событие В – выпадение “6”



3. Бросок кубика: п = 6; событие С – выпадение четного числа очков

Свойства вероятности:

Решение задач

1. Абонент при наборе номера телефона забыл одну цифру, набрал номер наугад. Найти вероятность того, что набран верный номер.

Количество всех исходов


2. В мешочке 5 карточек. На каждой карточке написана одна из букв О, П, Р, С, Т. Найти вероятность того, что на вытянутых по одной и разложенных в линию карточках можно будет прочесть слово “СПОРТ”?



3. В сумке 10 мячей, пронумерованных от 1 до 10. Наугад вынимают 2 мяча. Какова вероятность того, что это будут мячи с номерами 7 и 3?

Вычисляем пространство событий

А с помощью этой задачи оценим важность экспериментальной проверки теоретических рассуждений. Рассмотрим опыт с подбрасыванием двух монет. Математик Даламбер утверждал, что существуют 3 возможных исхода опытов: ОО, РР, ОР. Он думал, что все три исхода равновозможны.

Математическое исследование № 2

Ученик демонстрирует результат домашних испытаний:

В чем дело? Почему опыт не подтверждает теоретические рассуждения? На самом деле у задачи 4 равновозможных исхода:

Отсюда следует недостаток классического определения вероятности: часто трудно указать условия, при которых события можно считать равновозможными. Поэтому, наряду с классическим, используют статистическое определение вероятности, которое заключается в следующем:

За вероятность можно принять относительную частоту: отношение числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу фактически произведенных испытаний.

Математическое исследование № 3

Некоторому количеству людей предлагается указать на одну из вершин четырехугольника АВСD. Результаты их выбора зафиксированы в таблице:

Ученик демонстрирует результаты:

Вывод: при большом количестве испытаний относительная частота колеблется около некоторой величины (вероятности), мало от нее отличаясь.

В результате совместного обсуждения выясняются недостатки статистического определения вероятности:

1. Определяется только после большой серии опытов,
2. Неоднозначность определения, в качестве вероятности можно принять: 0,4; 0,39; 0,41 и т. д.

А как быть, когда приходится иметь дело с опытами, в которых множество исходов бесконечно? Рассмотрим следующую задачу.

Стрелок, не целясь, стреляет по мишени, имеющей форму квадрата, и попадает. Какова вероятность, что он попадет в отмеченный на рисунке треугольник?

Ответ: 1/2

Наряду с классическим статистическим определениями используют геометрическую вероятность.

Геометрическая вероятность – это вероятность попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т. д.). Вычисляется

s – часть области S

m(s) - мера области s

m(S) - мера области S

Задача

Шар радиуса R брошен в проволочную сетку, образующую квадраты со стороной 6R. Какова вероятность, что шар не заденет сетку?

Итог урока. Мы познакомились с различными определениями вероятности, выяснили их недостатки и преимущества.

Домашнее задание

I. Разработать выигрышную стратегию игры, рассмотренной в начале занятия.

II. Решить задачи:

1. Автомат сочиняет стихи. Он использует 40 типографских знаков. В строке 30 мест. Какова вероятность, что нам встретится строка, начинающаяся словами: “Я помню чудное мгновенье”?
2. Наудачу выбирают число а из отрезка [0; 3]. Какова вероятность, что уравнение х² – 2х + а = 0 имеет корни при выбранном числе а?
3. Подсчитать вероятность выигрыша в лотерее “6 из 49”:
   а) шести номеров из шести;
   б) пяти номеров из шести;
   в) четырех номеров из шести;
   г) трех номеров из шести.

Литература

1. Виленкин Н. Я. Комбинаторика. – М.: Наука, 1969.
2. Гмурман В. Е. Руководство по решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа, 1975.
3. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 1977.
4. Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. – М.: Наука, 1988.
5. Змеева Е. Е., Гришпон И. Э. Элементы комбинаторики, теории вероятностей, статистики. – Томск: ТОИПКРО, 2005.