Избранные методы решения уравнений. Фрагмент занятия элективного курса для 11-го класса

Я обращаюсь ко всем, кто обучается математике, элементарной или высшей, и заинтересован в овладении ею, и говорю: “Конечно, будем учиться доказывать; но давайте также учиться догадываться”. (Д.Пойа)

Цели

I Обучающая: привести в систему и углубить навыки решения уравнений различными методами:

1. Использование преобразований, приводящих к равносильным уравнениям.
2. Использование неотрицательности функций.
3. Использование ограниченности функций.
4. Использование числовых неравенств.
5. Использование производной.

II Развивающая: продолжить развитие умений и навыков самостоятельного пополнения знаний; развитие умения сопоставить факты, способность переводить теоретические знания в практические навыки.

III Воспитательная: прививать интерес к предмету, сформировать коммуникативные навыки и волевые качества личности; пробудить общественную активность школьников.

Тип занятия. Обобщение и систематизация знаний, учащихся.

Метод. Частично поисковый.

Основные этапы занятия

• Фронтальная работа.
• Работа в группах.
• Выступления учащихся.
• Подведение итогов занятия.

Оборудование. Компьютер, мультимедийнный проектор и раздаточный материал.

2. Фронтальная работа

Обсуждение и совместный поиск путей решения уравнений. Для их решения предлагается вспомнить формулы сокращенного умножения. (На доску проектируются само уравнение, а в процессе обсуждения, на доске появляется и его решение.)

3. Работа в группах

Все учащиеся класса предварительно (в начале занятия) делятся на пять групп. Каждая группа, получив задание, знакомится со своим методом и готовится к выступлению у доски.

Использование преобразований, приводящих к равносильным уравнениям

Теорема. Пусть область существования функции f(u) есть промежуток М и пусть эта функция непрерывна и строго монотонна (т.е. возрастает или убывает) на этом промежутке. Тогда уравнение

Равносильно системе .

Частный случай. Пусть А – область существования функции f(u) и пусть эта функция непрерывна и строго монотонна на А, тогда равносильны уравнения .

Решение: Область существования есть R. Так как эта функция непрерывна и убывает на R, то уравнение равносильно уравнению

Уравнение имеет два корня: х₁= -2 и х₂= 3, тогда и равносильное ему уравнение имеет те же корни.

Ответ: -2; 3.

Примеры для самостоятельного решения:

Группа №2. Использование неотрицательности функций

Группа №3. Использование ограниченности функций

Группа №4. Использование числовых неравенств

Группа №5. Использование производной для решения уравнений

4. Выступления учащихся

5. Подведение итогов занятия

ЛИТЕРАТУРА

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 11 класса общеобразовательных учреждений / С.М. Никольский, М.К.Потапов и др. - 2-е изд. - М.: Просвещение, 2003. – 448с.
2. С.В.Кравцев, Ю.Н.Макаров и др. Методы решения задач по алгебре. – М.: Издательство “Экзамен”, 2003. – 543с.
3. М.К.Потапов, С.Н.Олехник, Ю.В.Нестеренко. Варианты экзаменационных задач по математике для поступающих в ВУЗы. – М.: Издательский дом “Дрофа”, 1997. – 192с.