Здравствуйте!
Обычно различные методы решения задач демонстрируются на разных задачах, которые подбираются специально как имеющие наиболее эффектные решения данным методом.
Цель нашего урока испробовать разные методы на одной задаче.
Для домашней исследовательской работы вам была предложена следующая задача: на графике функции у = |3х-2| найдите точку, ближайшую к точке А (3;0).
Предлагаю наш урок организовать следующим образом.
Сначала защита ваших решений. Вам будут предложены 6 способов решения задачи, причем некоторые из них будут рассмотрены подробно, вам их необходимо записать, естественно, за исключением ребят, которые использовали предложенные методы в домашней работе. Потом мы разберем еще один способ решения задачи, применив формулу нахождения расстояния от точки до прямой. Заметим, что школьная программа обычных классов не предусматривает изучения этого материала.
Заключительная часть урока – подведение итогов и задание на дом.
Основная часть урока.
I. Даем краткую характеристику функции.
График функции у = |3х-2| на доске.
Вопрос – В виде каких двух аналитических выражений можно задать функцию у = |3х-2|?
| Ответ - у = |3х-2| = |  |
3х - 2, если х   , - 3х + 2, если х < , |
Вопрос – Какова область определения этой функции?
Ответ – Множество действительных чисел.
Вопрос – Какова область значений этой функции?
Ответ – Множество неотрицательных действительных чисел.
Вопрос – Что представляет собой график данной функции?
Ответ – График данной кусочно-линейной функции есть ломаная с двумя бесконечными крайними звеньями.
Проведем перпендикуляр АВ к прямой у = 3х - 2 , х 
. Задача
сводится к отысканию расстояния АВ. Это можно
осуществить несколькими способами. Предлагаем
воспользоваться методом координат.
1 способ - Координаты точки В равны x и y.
Из рисунка нетрудно заметить, что 
< x < 3. Рассмотрим ?АВС
. По теореме Пифагора 
Найдем АС = 3 – 
= 2 
Выразим через х и у расстояния CВ и ВА, учитывая, что расстояние между двумя точками в координатах на плоскости находится по формуле
, где 
и М2(х2,у2)
и В(х;у),
, 
Имеет место система уравнений
|
 =  +  ,у = 3х – 2 |
Воспользуемся подстановкой у = 3х – 2
, 
- не
удовлетворяет области допустимых значений
Тогда 
Ответ: 
В решении используются факты планиметрии.
2 способ. Проведем 
, 
.
Рассмотрим ?ЕСА. Найдем ЕС.
=
= 
= 
= 
Используя формулу площади треугольника 
,
найдем 
С другой стороны, используя формулу площади
треугольника 
,
где 
- катеты
прямоугольного треугольника,
,
Значит, 
Выразим расстояние между двумя точками А и В через их координаты:
Имеет место система уравнений
|
 у = 3х – 2 |
Воспользовавшись подстановкой у = 3х – 2, составляем уравнение
Тогда 
Ответ:
3 способ. 
Используем
тему “Скалярное произведение векторов”.
причем < x < 3;
Рассмотрим векторы 
и 
, значит, 
Так как 
, то 
Имеет место система уравнений
|
 ,у = 3х – 2 |
Воспользовавшись подстановкой у = 3х – 2, составляем уравнение
См.выше 
; 
- не
удовлетворяет области допустимых значений
Тогда 
Ответ:
Используются элементы функционального анализа. Способ рассматривается подробно, акцентируется внимание учащихся на выборе функции для исследования.
4 способ. Выразим расстояние АВ через х,
учитывая что у = 3х – 2, < x < 3.
Рассмотрим функцию 
. Определим, при каком значении х,
причем <
x < 3, функция 
принимает наименьшее значение.
Найдем 
.
Найдем критическую точку функции .
, 
, 
Заметим, что 
.
Определим знак производной на промежутках 
и 
< 0 на
промежутке 
и
>0 на
промежутке,
значит, функция достигает минимума в точке 
.
Найдем значения функции 
на границах промежутка 
и при 
.
,
Сравним эти значения. Очевидно, что функция принимает
наименьшее значение при 
.
Тогда 
Ответ:
Используем координатный и алгебраический методы.
5 способ.
Выразим через х и у длину отрезка АВ
Учитывая, что у = 3х – 2, < x < 3, имеем:
= 
(см.выше) =
По условию задачи расстояние АВ кратчайшее. Оно достигается, когда
,
то есть 
.
Тогда 
Ответ:
6 способ. Используем необходимое и
достаточное условие перпендикулярности двух
прямых: 
, где
и 
угловые
коэффициенты этих прямых.
При 
функция 
имеет вид: у = 3х – 2. Её угловой коэффициент
равен 3. Так как прямая АВ перпендикулярна
прямой у = 3х – 2 , то угловой коэффициент
прямой АВ равен 
. Тогда уравнение прямой АВ имеет
вид: 
.
Учитывая, что 
, находим b.
уравнение
прямой АВ.
Найдем координаты точки пересечения этих прямых, составив систему уравнений
|
у = 3х – 2 |
3x -2=-
x+1
Тогда 
Ответ: B(0,9;0,7)
Выведем формулу расстояния от точки до прямой.
Любая прямая на координатной плоскости может быть задана уравнением вида
.
Пусть 
-
уравнение некоторой прямой 
. При подстановке в это уравнение
координат лежащих на ней точек значение
выражения 
равно 0.
Если же точка 
не принадлежит прямой 
, то указанная подставка
даст некоторое значение 
.
Каков геометрический смысл этого значения?
Итак, уравнение 
определяет прямую 
, параллельную исходной (ибо
данные два уравнения не имеют общих решений, а
значит, прямые не имеют общих точек) и проходящую
через точку ,
следовательно, во всех точках прямой 
значение равно 
. Воспользуемся
этим и, проведя прямую 
на чертеже, выберем на ней наиболее
удобную для вычислений точку, а именно точку М
ее пересечения с осью ОУ.
Абсцисса точки М равно 0, значит, 
, откуда 
. Для исходной
же прямой ордината
точки В пересечения ее с осью ОУ равна 
. Поэтому длина
отрезка ВМ равна 
.
Это отношение дает длину отрезка,
параллельного оси ОУ и заключенного между
прямымии 
.
Найдем расстояние между указанными прямыми, равное расстоянию от точки
до прямой .
Учитываем, что точка 
Учитывая, что есть значение левой части уравнения
исходной прямой в точке
, получаем
окончательно следующую формулу расстояния от
точки до прямой:
, то есть
достаточно вычислить модуль значения левой
части уравнения прямой в данной точке и поделить
его на 
.
7 способ. Известно, что расстояние от точки до прямой вычисляется по
формуле .
Вычислим расстояние от точки до прямой 
:
.
Расстояние АВ через х и у
определяется следующим образом 
.
Учитывая, что у = 3х – 2 , 
, имеем 
Тогда 
Ответ:
Итак, мы рассмотрели 7 способов решения одной задачи. Были использованы следующие методы: координатный (он считается самым универсальным методом), векторный, геометрический, аналитический (то есть сводящийся к решению уравнений и систем уравнений), функциональный.
Скорее всего мы наблюдали комбинацию, синтез этих методов.
Для домашней работы вам предлагается составить подобную задачу и решить ее несколькими способами, используя рассмотренные методы.
Спасибо за урок.
