Нет ни одной области математики,
которая когда-нибудь не окажется применимой
к явлениям действительного мира.
Н.И. Лобачевский
Тема изучается в разделе алгебры и начала анализа “Производная и ее применение”. Основной дидактической задачей урока является обобщение, систематизация и повторение изученного материала. На уроке используются элементы модульного обучения. Урок разработан с учетом акцента на самостоятельной работе учащихся, способствует повышению мотивации учащихся к обучению, стимулирует умственную деятельность и повышает познавательный интерес учащихся.
На протяжении всего урока четко прослеживается межпредметная связь и связь с жизнью, которая является одной из самых важных дидактических проблем. Наладка межпредметных связей повышает научность обучения, доступность (теория насыщается практическим содержанием), естественным образом проникают на урок элементы занимательности. Тема урока актуальна на сегодняшний день. Внедрение компьютерной техники в процесс обучения на уроке усиливает его прикладную направленность.
Цели урока: формировать умение применять правила дифференцирования, показать применение производной при решении жизненно важных задач; раскрыть практическую необходимость и теоретическую значимость данной темы в исследовании процессов современного производства; формировать познавательную активность, умение рационально работать, развивать культуру математической речи; воспитывать чувство ответственности.
1. Организационное начало. Учащиеся занимают свои места в исследовательских группах. Рассаживаются журналисты периодических изданий, у каждого табличка – какое издание представляет.
2. Разминка Сегодня вы – сотрудники научно-исследовательского института, участники пресс-конференции. У нас присутствуют журналисты различных изданий, желающие получить ответы на интересующие их вопросы. Для начала давайте ознакомим гостей с проблемой, над какой мы работаем. Наша проблема – производная функции. Все мы знаем, что производная относится к числу математических понятий, которые носят межпредметный характер, и широко применяются в физике, химии, биологии, в технике и других отраслях наук. Это в значительной степени повышает роль межпредметных задач при изучении темы: “Производная”. Изучение материала по теме урока имеет принципиально важное значение, так как здесь показывается приложение производной к решению различных физических и технических задач, то есть возможности применения элементов дифференциального исчисления в описании и изучении процессов и явлений реального мира.
Задание. Имеются три группы с необходимыми формулами и функциями. Надо установить соответствие между группами и функциями. Работая в малых подгруппах, из предложенных функций выберите только те, для которых производная находится только по предложенному правилу, и найдите ее. /Изображение трех групп формул и функций на экране через проектор с компьютера/
Группы: (f + g)' = f ' + g' ; (с f)' = сf '
- (f *g)' = f ' g + g' f
- (f /g)' = (f ' g – g' f)/ g2
Функции:
Ответы /сверяются по компьютеру/:
1 группа – 1), 2), 4), 5), 10).
2 группа – 3), 7), 9).
3 группа – 4), 6), 8).
3. Интервью с журналистами
1-ый журналист научно-теоретического журнала "Математика в школе":По просьбе читателей в рубрике " Научно-популярный отдел" мы должны дать математическое значение слова "производная, ее геометрический смысл". Помогите нам в этом вопросе.
Учащиеся отвечают:
Производной функции F в точке x0
называется предел отношения приращения функции 
f к приращению
аргумента х,
когда приращение аргумента х, стремится к нулю:
Нахождение производной данной функции называется дифференцированием.
Геометрический смысл производной состоит в
том, что значение производной функции в точке
равно угловому коэффициенту касательной к
графику функции в этой точке. Для того, чтобы
задать прямую y = kх + b, проходящую через
данную точку А, достаточно указать ее угловой
коэффициент. Угловой коэффициент прямой равен
тангенсу угла 
,
образованному с осью абсцисс.
Угловой коэффициент секущей стремится к
угловому коэффициенту касательной. При х, стремящемся к 0,
угловой коэффициент секущей 
стремится к угловому коэффициенту
касательной f`(x0), поэтому говорят, что
касательная – есть предельное положение
секущей.
Рассмотрим рисунок /изображение на экране/.
Угловой коэффициент секущей находится по
формуле k = tg =
Имея в виду геометрическое определение касательной к графику функции f, дифференцируемой в точке х0, называется прямая, проходящая через точку (х0; f (x0)) и имеющая угловой коэффициент F'(x0) мы получим, что существование производной функции f в точке х0 эквивалентно существованию невертикальной касательной в точке (х0; f (x0)), причем угловой коэффициент касательной равен f '(x0). В этом и состоит геометрический смысл производной. Геометрический смысл производной позволяет дать наглядную иллюстрацию многих фактов. Например: вырезая ножницами любую криволинейную фигуру, ножницы направлены по касательной к ее границе. Они образуют угол, тангенс которого и будет являться угловым коэффициентом – производной функции.
2-ой журналист журнала "Квант": Вы изучаете производную. Объясните ее механический смысл. В редакцию нашего журнала прошло письмо учащегося, в котором он предлагает задачу: “Количество электричества, протекающего через проводник, задается формулой g (t) = t + 4 / t. В какой момент времени t сила тока в цепи равна 0”? Помогите разобраться в задаче.
Учащиеся отвечают: Производная – это скорость в момент времени. С движением связаны две величины – путь S, скорость v, которые являются функциями времени:
S = S (t); v = v (t);
Ясно, что S и v связаны между собой. Исаак Ньютон в конце XVII века открыл общий способ вычисления скорости по заданному пути. С помощью которого можно для каждой функции S построить новую функцию v. Эту функцию называют производной функции S, а сам переход от S к v – дифференцированием: v (t) = S'(t).
Открытие Ньютона показало, что количественные характеристики самых различных процессов, исследуемых в физике, химии, биологии, в технических дисциплинах, и выраженные на языке математического анализа, самая простая модель механического движения, и самый короткий ответ, что Производная – это скорость.
/ Изображение И.Ньютона на экране /.
Сила тока I – это производная от заряда g (t)
Если g (t) = t+ 4/t
I (t) = g'(t) = (t + 4/t )' = 1 – 4/t2
I (t) = 0 при 1 – 4/t2= 0
(t2 - 4) / t2 = 0
Условию задачи не удовлетворяет t = – 2 (c)
Значит, сила тока I = 0, при t = 2(c).
Производная – это скорость роста функции.
- Мощность – это производная работы по времени P = A' (t).
- Сила тока – производная от заряда по времени I = g' (t).
- Сила – есть производная работы по перемещению F = A' (x).
- Теплоемкость – это производная количества теплоты по температуре C = Q' (t).
- Давление – производная силы по площади P = F'(S)
- Длина окружности – это производная площади круга по радиусу lокр=S'кр(R).
- Темп роста производительности труда – это производная производительности труда по времени.
- Успехи в учебе? Производная роста знаний.
Например. Обсуждая успехи учащегося, преподаватель математики так отозвался о нем: “Он очень мало знает, но у него положительная производная”. Он хотел сказать, что скорость приращения знаний у учащегося положительная, а это есть залог того, что знания возрастут.
3-ий журналист журнала “Техника молодежи”:
Молодые инженеры-конструкторы работают над созданием моделей с новыми скоростями. Они предложили на суд читателей задачу:
“Два тела движутся прямолинейно соответственно по законам: S1 (t) = 3,5t2 – 5t + 10 и S2 (t) = 1,5t2 +3t –6. В какой момент времени скорости тел будут равны? Как бы вы ответили на этот вопрос?”
Помогите читателям.
Ответ:
v (t) = S' (t)
v1 (t) = v2 (t)
v1 (t) = S1' (t) = (3,5 t2 – 5t + 10)' = 7t – 5
v2 (t) = S2'(t) = (1,5 t2 + 3t – 6)' = 3t + 3
Значит: 7t – 5 = 3t + 3
7t – 3t = 3 + 5
4t = 8
t = 2
При t = 2 (с) скорости тел будут равны.
4-ый журналист журнала “Техника молодежи”:К нам обратился читатель с таким вопросом.
Над центром круглого зала во дворце культуры надо повесить освещение - люстру. При какой высоте подвески края зала будут лучше всего освещаться?
Учащиеся отвечают: Из физики известно, что освещенность Е в точке А выражается формулой
Е = k
, где
k – некоторый постоянный коэффициент
пропорциональности.
l – расстояние от фонаря до точки А.
– угол,
получаемый между прямой l и плоскостью площадки.
По определению косинуса угла cos = r/l, где r – противолежащий катет, l
– гипотенуза.
Выразим: l = r/cos2; J2 = r2/cos2. Подставим 12 в формулу
Исследуем функцию на экстремумы на отрезке
Решая уравнение: Е' = 0
Так как при соs =
0 и = 
Е будет равна 0, а при 0< 0 < Е будет > 0. Ясно,
что 0
отвечает наибольшей освещенности (Енаиб).
Требуемая высота столба вычисляется по формуле
Ответ: высота h столба около 0,7r зала.
4. Подведение итогов урока, задание на дом
Преподаватель: Подошла к концу наша
пресс-конференция. Будем надеяться, что наши
гости журналисты получили исчерпывающие ответы
и довольны результатами работы. Называю
сотрудников, которые справились с заданием: а)
итоги самостоятельной работы
б) оценка ответов. Конечно же, научный совет
поручает вам решить 2 любые задачи дома:
- Количество электричества, протекающее через проводник, задаётся формулой а) q(t) = t - O t +1; б) q(t) = t + 4/t. В какой момент времени ток в цепи равен нулю?
- Пусть Q (t) количество теплоты, которое необходимо для нагревания 1 кг воды от 00С до температуры t0 (по Цельсию), известно, что в диапазоне 00 <= t <= 950, формула Q (t) = 0,396t + 2,081 * 10-3t2 - 5,024 * 10-7t3 дает хорошее приближение к истинному значению. Найдите, как зависит теплоёмкость воды от t.
- Объем продукции V цеха в течение дня зависит от времени по закону V(t) = -5/3t3 + 15/2t2 + 50t + 70, где 1 <= t <= 8. Вычислите производительность труда П при t =7 ч.
Спасибо всем за работу!