Элементы комбинаторики и теории вероятностей в средней школе не являются чем-то необычным для отечественной системы образования. Ещё в 1899 году в Москве обсуждали вопросы, связанные со значением теории вероятностей и комбинаторики в школе. Новое упоминание об этих вопросах было на рубеже 40-ых годов. Целесообразность введения стохастики в школьный курс математики неоднократно отмечалась в работах С.Н. Бернштейна, А.Н. Колмогорова, А.Я. Хинчина, Б.В. Гнеденко. В качестве обоснования выступала “… необходимость систематического развития у учащихся идеи наличия в природе закономерностей более широкой природы, чем строгий классический детерминизм, а именно статистических закономерностей”.
В 1967 году в факультативный курс X класса были включены следующие вопросы:
- Начала комбинаторики и вычисление вероятностей при помощи подсчета числа благоприятствующих случаев.
- Операции над событиями, теорема сложения вероятностей, условные вероятности и независимость событий.
- Независимые повторные испытания с постоянной вероятностью, теорема Бернулли (без доказательства), заключительная беседа о различных областях науки и практической деятельности.
- Математическое ожидание. Дисперсия и закон больших чисел (доказательство в форме теоремы Чебышева).
При этом академик А.Н. Колмогоров, возглавлявший комиссию по разработке программы, высказал надежду, что “этот материал в значительной своей части в будущем войдет в основной школьный курс математики. Желательно, чтобы при ведении факультативных занятий в школах выработалась определенная традиция его изложения, которая потом могла бы быть перенесена на работу со всеми учащимися”. Более того, первые издания учебника “Алгебра и начала анализа” для 9 класса средней школы под ред. А.Н. Колмогорова содержат элементы комбинаторики и теории вероятностей. Изложение курса алгебры и начал анализа начинается с математической индукции, после чего даются элементы комбинаторики и некоторые понятия теории вероятностей (в качестве двух дополнительных, не обязательных для изучения параграфов). Степень изложения теоретического материала достаточно сложная. Так, например, формула числа перестановок выводится через рекуррентные соотношения, что, на мой взгляд, сильно ухудшает и без того достаточно сложный материал. В общем весь материал изложен относительно строгим академическим языком. Возможно, отчасти и поэтому в то время элементы комбинаторики не прижились в курсе отечественной школьной математике.
Возможность включения элементов комбинаторики и теории вероятностей в школьный курс математики нашла отражение в целом ряде диссертационных исследований прошлого века.
Ну а следующий всплеск произошёл в 1995-2000 годах при обсуждении обязательного минимума содержания образования. В 2003 году было опубликовано письмо первого заместителя министра образования В.А.Болотова “О введении элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей в содержание математического образования основной школы”.
В стандарт 2004/05 г.г. уже включены элементы комбинаторики, вероятности и статистики. Предлагается изучение элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей “начать в 5-6 классах, или в 7 классе – в зависимости от системы изложения в учебнике, по которому ведется преподавание”.
В настоящее время существует множество публикаций и научно-методической литературы по данной проблеме. Их мониторингом мы сейчас и займёмся.
Концепция введения общей стохастической линии, включающей комбинаторику, теорию вероятностей и статистику, предложенная авторами вышеперечисленных учебников и учебных пособий несколько различна. Авторы разных пособий по разному подходят к изучению составляющих стохастической линии: в одних учебниках на первый план выдвигаются вероятностные понятия, в других – статистические, в третьих – все понятия рассматриваются отдельно, не прибегая к перемешению.
1. Е.А. Бунимович, В.А. Булычев “Вероятность и статистика.”
Начинается учебник с рассмотрения случайных событий и сравнения их вероятности (что вероятнее). Затем, опираясь на эксперимент, вводится понятие частоты (тут же рассматриваются таблицы частот и гистограммы). После чего идет пункт с названием “Куда стремятся частоты?”, где вводим статистическое определение вероятности, а затем и классическое.
В пункте “вероятность и комбинаторика”, рассматриваются правило умножения, правило вычитания и сочетания и их число. Все эти формулы используются для вычисления вероятности. А в пункте “точка тоже бывает случайной” речь идет о геометрическом определении вероятности.
В последнем пункте “сколько изюма в булке и сколько рыб в пруду?” рассматривается вопрос статистического оценивания и прогнозирования.
2. Н.Я.Виленкин, Г.С.Сурвилло, А.С.Симонов, А.И.Кудрявцев “Алгебра для 8 класса”: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики / под ред. Н.Я.Виленкина, “Алгебра для 9 класса”: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики / под ред. Н.Я.Виленкина.
В 8 классе дана большая глава “Элементы теории множеств”.
В 9 классе есть глава “Элементы комбинаторики и теории вероятностей”. Эта глава состоит из двух параграфов. В первом – основные понятия комбинаторики – рассказывается о правилах суммы и произведения, а также о размещениях, перестановках и сочетаниях. Во втором параграфе – понятие вероятности события – говорится о частоте и вероятности (даётся статистическое определение вероятности события), затем об опытах с конечным числом равновозможных исходов (бросание 1 монеты, бросание 1 кубика, бросание 2 монет, бросание 2 кубиков), затем речь идёт об исходах и событиях, потом о подсчёте вероятностей в опытах с равновозможными исходами (классический подход), и заканчивается глава параграфом операции над событиями и алгебраические действия с вероятностями.
3. “Математика 5”, “Математика 6” под редакцией Г.В. Дорофеева, И.Ш. Шарыгина и “Математика 7”, “Математика 8”, “Математика 9” под редакцией Г.В. Дорофеева.
5 класс начинается с комбинаторики, где на конкретных задачах и примерах рассматривается решение комбинаторных задач методом перебора возможных вариантов. Этот метод иллюстрируется с помощью построение дерева возможных вариантов. Примеры и задачи очень простые, позволяющие на этапе знакомства с комбинаторными задачами, усвоить принцип простого, упорядоченного перебора возможных вариантов.
В пункте “Случайные события” рассматривается понятие случайное событие, достоверные, невозможные и равновероятные события. Тут же приводятся реальные, понятные примеры, позволяющие учащимся лучше усвоить эти понятия.
В последней главе учебника рассматриваются таблицы и диаграммы (как способ представления информации). Учащихся учат пользоваться таблицей, извлекать из нее и анализировать необходимую информацию, также учат самих строить таблицы. В пятом классе рассматриваются столбчатые диаграммы, в одной из задач рассмотрена круговая диаграмма. Также рассматривается пункт “Опрос общественного мнения”, где составление таблиц по данным опроса позволяет решить те или иные классные вопросы, возникающие в реальной жизни
6 класс начинаем с повторения таблиц и диаграмм. Повторяют уже изученные столбчатые диаграммы и более подробно рассматривают круговые (для представления соотношения между частями целого).
Далее идут 2 параграфа по комбинаторике: логика перебора и правило умножения. Здесь рассматриваются задачи, которые решаются уже известным им способом перебора и предлагается упростить его, используя, так называемое кодирование. Также рассматривается новый способ решения комбинаторных задач с помощью правила умножения.
Завершается учебник главой - “вероятность случайных событий”. Учащимся предлагается провести ряд экспериментов, зафиксировав результаты в таблицах. После чего, используя полученные результаты, вводится понятие частота и вероятность случайных событий
7 класс начинается с рассмотрения основных статистических характеристик: среднее арифметическое, мода, размах, опять же с множеством примеров из жизни. В одном из параграфов снова обращаемся к решению комбинаторных задач, которые решаются с помощью рассуждений. Рассматриваются перестановки. И заключительная глава продолжает рассматривать вероятность и частоту случайных событий.
В 8 классе сначала повторяются статистические характеристики, изученные в 7 классе, и вводится новая характеристика – медиана. Рассматриваются таблицы частот. Приводятся примеры, показывающие связь с практикой, описываются различные жизненные ситуации. В 8 классе вводится классическое определение вероятности, данное Лапласом.
Рассматриваются геометрические вероятности.
В учебнике 9 класса рассматриваются статистические исследования, вводится определение статистики. В главе рассматриваются доступные учащимся примеры статистических исследований, в ходе которых используются полученные ранее знания о случайных экспериментах, способах представления данных и статистических характеристиках. Вводятся новые понятия выборка, репрезентативность, генеральная совокупность, ранжирование, объем выборки. Рассматривается новый способ графического представления результатов – полигоны. Вводятся понятия выборочной дисперсии и среднее квадратичное отклонение.
В учебнике рассматриваются 3 примера статистических исследований, это реальные примеры близкие школьнику. Это вопросы: “Как исследуют качество знаний школьников”, “Удобно ли расположена школа?”, “Куда пойти работать?”. Учащийся видит применение знаний по статистике в реальных жизненных ситуациях.
4. Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк “Алгебра: Элементы стохастики и теории вероятностей”: Учебное пособие для учащихся 7-9 классов общеобразовательных учреждений / под ред. С.А.Теляковского.
Это учебное пособие предназначено для учащихся 7-9 классов, оно дополняет учебники: Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. “Алгебра 7”, “Алгебра 8”, “Алгебра 9”, под редакцией Теляковского С.А.
Книга состоит из четырех параграфов. В каждом пункте содержатся теоретические сведения и соответствующие упражнения. В конце пункта приводятся упражнения для повторения. К каждому параграфу даются дополнительные упражнения более высокого уровня сложности по сравнению с основными упражнениями.
В 7 классе (§1) материал объединен в параграф “статистические характеристики”, который знакомит с простейшими статистическими характеристиками (среднее арифметическое, мода, медиана, размах). Упражнения к параграфу можно разделить на 2 группы. Первую группу составляют задания на отыскание рассматриваемых характеристик и истолкование их практического смысла. Ко второй группе относятся задания, которые требуют не только знания определений изучаемых статистических характеристик, но и умений проводить необходимые рассуждения, использовать ранее введенный алгебраический аппарат.
Материал, изучаемый в 8 классе (§2) также объединен в один параграф “Статистические исследования”, где рассматриваются вопросы организации статистических исследований и наглядного представления статистической информации (таблицы частот). Сначала повторяются основные статистические характеристики. Вводятся новые понятия: интервальный ряд, сплошное и выборочное исследования, выборка, генеральная совокупность, репрезентативность. Знакомство с новыми видами наглядной интерпретации результатов статистических исследований – полигонами и гистограммами
Наибольший объем материала приходится на 9 класс. Здесь есть 2 параграфа.
§3 “Элементы комбинаторики” содержит 4 пункта:
Примеры комбинаторных задач. На простых примерах демонстрируется решение комбинаторных задач методом перебора возможных вариантов. Этот метод иллюстрируется с помощью построение дерева возможных вариантов. Рассматривается правило умножения.
Перестановки. Вводится само понятие и формула подсчета перестановок.
Размещения. Понятие вводится на конкретном примере. Выводится формула числа размещений.
Сочетания. Понятие и формула числа сочетаний.
§4 “Начальные сведения из теории вероятностей”.
Изложение материала начинается с рассмотрения эксперимента, после чего вводят понятие “случайное событие” и “относительная частота случайного события”. Вводится статистическое и классическое определение вероятности. Параграф завершается пунктом “сложение и умножение вероятностей”. Рассматриваются теоремы сложения и умножения вероятностей, вводятся связанные с ними понятия несовместные, противоположные, независимые события. Этот материал рассчитан на учащихся, проявляющих интерес и склонности к математике, и может быть использован для индивидуальной работы или на внеклассных занятиях с учащимися.
5. И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович “Математика. 5 класс”, “Математика. 6 класс”, А.Г. Мордкович. Алгебра. Часть 1. Учебник для 9 класса общеобразовательных учреждений. Часть 2. Задачник для 9 класса общеобразовательных учреждений.
В 5 классе последняя глава “введение в вероятность” содержит 2 параграфа. В одном параграфе рассматриваются достоверные, невозможные и случайные события. И даны задачи на определение характера события (достоверное, невозможное или случайное). Во втором параграфе рассматриваются комбинаторные задачи, решаемые методом перебора возможных вариантов.
В 6 классе авторы знакомят с понятием вероятность. Даны упражнения на определение степени вероятности того или иного события, выполнять которые учащиеся должны с опорой на интуицию. В следующем пункте вводится классическое определение вероятности. Рассматриваются задачи, в которых для вычисления вероятности используют комбинаторное правило умножения.
9 класс: Первый параграф посвящён множествам и операциям над ними. Следующий параграф посвящён комбинаторике. Начинается он с рассмотрения простых комбинаторных задач, рассматривается таблица возможных вариантов, которая показывает принцип правила умножения. Затем рассматриваются деревья возможных вариантов и перестановки.
Третий параграф посвящен статистике. Рассматривается группировка информации в виде таблиц. В этом разделе вводится много новых терминов, и авторы, оформили их в виде таблицы, где кроме определений идет еще и описание этих терминов. Дальше рассматривается таблица распределения и ее графическое представление (многоугольник распределений), нормальное распределение. Числовые характеристики выборки (среднее арифметическое, мода, медиана).
В четвёртом параграфе говорится о простейших вероятностных задачах. Даются определения вероятности, случайного, достоверного и невозможного события. Вводится классическое определение вероятности.
Следующий параграф – экспериментальные данные и вероятности событий, в котором говорится о связи между вероятностью и экспериментальными статистическими данными, после чего вводится определение статистической вероятности.
6. С.М.Никольский, М.К.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин Алгебра: Учебник для 8 класса общеобразовательных учреждений.
В этом учебнике как приложение к главе 1 “Простейшие функции. Квадратные корни” даётся материал о множествах и операциях над ними.
Затем в дополнении к главе 4 “Системы рациональных уравнений” изложен материал о вероятности события (даётся определение вероятности, а также невероятных и достоверных событий), перестановках, размещениях и сочетаниях (даны определения и примеры)
7. М.В. Ткачева, Н.Е. Федорова “Элементы стохастики в курсе математики VII-IX классов основной школы”.
Это учебное пособие для 7-9 классов и оно дополняет учебники Алимова Ш.А. “Алгебра 7, 8, 9”.
1 Глава “Введение в комбинаторику” (7 класс) начинается с исторических комбинаторных задач о магических и латинских квадратах и другие. Затем рассматриваются пункт различные комбинации из трех элементов, где рассматриваются сочетания, перестановки и размещения, но вводить сами термины не обязательно. Рассматривается таблица подсчета вариантов, которая подводит к правилу умножения. Также рассматриваются графы, но лишь как средство подсчета возможных вариантов. Эта глава имеет и дополнительные параграфы – перестановки и разбиение на две группы, выдвижение гипотез.
2 Глава “Случайные события” (8 класс).
Сначала рассматриваются события: достоверные, невозможные, случайные, совместные и несовместные, равновозможные. В следующем пункте вводится сразу классическое определение вероятности, после чего рассматривается решение вероятностных задач с помощью комбинаторики. Дальше как дополнительный пункт рассматривается геометрическая вероятность. Вводится понятие противоположных событий и их вероятность. Понятие относительной частоты и статистическое определение вероятности вводится уже в конце главы. И завершается дополнительным пунктом - тактика игр.
3 глава “Случайные величины” (9 класс).
Вводятся понятия случайной величины – дискретной и непрерывной. Рассматриваются таблицы распределения значений случайной величины и его графическое представление (полигоны). Далее рассматриваются такие понятия как генеральная совокупность и выборка, мода, медиана, размах. А завершается глава дополнительными параграфами, в которых рассматриваются отклонение от среднего, дисперсия, среднее квадратичное отклонение и правило трех сигм.
8. Ю.Н. Тюрин, А.А. Макаров, И.Р. Высоцкий, И.В. Ященко “Теория вероятностей и статистика”.
Это пособие для учащихся 7-9 классов, в котором исследуемая линия реализуется в следующем порядке. Первые две главы посвящены таблицам и диаграммам. Рассматриваются статистические данные в таблицах, идет обучение работе с таблицами (поиск информации, вычисления в таблицах, занесение результатов подсчетов и измерений в таблицы). Рассматриваются столбиковая, круговая и диаграмма рассеивания.
В третьей главе кроме основных статистических характеристик вводятся также понятия: отклонения и дисперсии.
Четвертая глава – случайная изменчивость, содержит ряд примеров изменчивых величин (температура воздуха каждый день, рост или вес человека и т.п.).
А затем в 5 главе переходим к изучению случайных событий и их вероятностей. Вероятность случайного события определяется здесь, как числовая мера его правдоподобия. После определения вероятности рассматривается частота и эксперименты с монетой и игральной костью. Дальше вероятностная линия продолжается, и рассматриваются элементарные события, их равновозможность, противоположные события, диаграммы Эйлера, объединения и пересечения событий, сложение и умножение вероятностей.
После этого идет блок комбинаторики, где рассматривается правило умножения, перестановки, сочетания, формулы числа перестановок и сочетаний, а затем с их помощью решаются задачи на вычисление вероятностей. В отдельных главах рассматриваются геометрические вероятности и испытания Бернулли (о двух возможных исходах).
Следующие несколько глав посвящены случайным величинам: примеры случайных величин, распределение вероятностей случайных величин, их числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсия), случайные величины в статистике. Дается определение частоты, и теорема, утверждающая, что частота приближенно равна вероятности при большом числе опытов.
Приложение включает в себя вопросы: формула Бинома-Ньютона, треугольник Паскаля, также имеется несколько самостоятельных и контрольных работ, по предложенному материалу.