Предел функции в точке

Назаркина Татьяна Николаевна

Цель урока:

-закрепить понятия предела функции при х +, предела последовательности;

-изучить понятие “предела функции в точке”.

Метод урока: репродуктивный, объяснительно-иллюстративный.

Тип урока: комбинированный.

Задачи: научить учащихся определять бесконечно малые и бесконечно большие функции при различных значениях параметров и вычислять значение предела функции в точке.

Оборудование: компьютер, доска, мультимедийный проектор, раздаточный материал.

Ход урока:

Мы пришли сегодня в этот класс, друзья,
Нам без знаний жить никак нельзя!
И пусть кризисы вокруг,
Будем мы учиться, друг,
И сегодня станет шире знаний наших круг!

Ребята, французский писатель XIX столетия Анатоль Франс однажды заметил:

“Учиться можно только с интересом. Чтобы переварить знания, надо поглощать их с аппетитом!”

Так давайте сегодня на уроке будем следовать этому совету писателя: будем активны, внимательны, будем поглощать знания с большим желанием, ведь они пригодятся вам в дальнейшем.

I. Организационный момент урока.

Объявление цели урока. Знакомство с правилами работы.

II. Актуализация знаний учащихся.

1) У доски: 3 ученика (текст на экране).

Задание. Докажите, что функция

а) f(х) = - 1,5 бесконечно малая при х +

б)(х)= бесконечно большая при х +

в) (х)= - 5 бесконечно малая при х +

Решение.

а) Докажем, что для > 0 такое М > 0, что при IxI > М выполняется неравенство

I f(х)I<. Имеем: f(х)=<, I4х-2I >, т. к. I4х-2I I4хI-2, то достаточно решить неравенство I4хI-2 >, IхI >+= (+2). Пусть М = (+2), т.е. I f(х)I < при IxI > М.

2) Устная работа.

Формулировки определений:

а) бесконечно малой функции;
б) бесконечно большой функции;
в) предела функции на бесконечности;
г) предела последовательности.

3) Решение примеров на доске (текст на экране):

Задание 1.

При каких значениях а и в функция f(х)= - вх будет бесконечно малой функцией?

Решение:

f(х)= - вх == , т. к. f(х) бесконечно малая функция, то

Задание 2.

Дана функция f(х) = Найдите пределы при х + и при х -.
Решение.

= = - 3; = - ; (-)=0.

Задание 3

Найдите луч (М, +), на котором выполняется неравенство Iх²-4х+3I>10⁴.

Решение.

Iх²-4х+3I=I(х-2)²-1I=(х-2)²-1>10⁴; х-2=, х=+2 (М), т.е. на луче (2+;+) выполняется неравенство Iх²-4х+3I>10⁴

2 способ.

4) Индивидуальная работа по карточкам.

III. Объяснение нового материала.

Обратимся к рис.1

Рис.1

1) Изучение свойств вблизи точки, например, значение функции f(4)=3, а вблизи? (т. е. как ведет себя функция в области точки 4, “вблизи точки 4”. Что это такое?

2) Понятие окрестности (рис.2).

а) Интервал (a-h, a+h), h – радиус окрестности.

Рис.2

Пример (Рис.3, 4).

h = ?

Рис.3

Рис.4

б) Задание окрестности.

Если же т. a удалить, т.е. “выколоть”, то получается проколотая окрестность.

в) Некоторое свойство функции выполняется вблизи т. a, если есть хоть одна проколотая окрестность или: если это свойство выполняется во всех точках какой-то проколотой окрестности, то это свойство выполняется вблизи точки a.

3). Закрепление понятия “окрестности точки”.