Решения линейных и квадратных уравнений с параметром

В качестве предпрофильной подготовки разработана Программа элективного курса «Расширение и углубление программы алгебры восьмого класса».
В данной работе представлена одна из тем этого курса «Решение линейных и квадратных уравнений с параметром».

Цели:

• Образовательные: знакомство учащихся с новыми понятиями, расширение их математического образования.
• Развивающие:
  • развитие логического мышления, умения исследовать и рассматривать все возможные способы и случаи в зависимости от поставленных условий;
  • формирование интереса к предмету, получение знаний и навыков, позволяющих сделать сознательный выбор на профильной ступени обучения.

Типы учебных занятий – объяснительно-иллюстрированный с применением исследовательской работы.

Применяемый метод – программированный.

Формы работы – коллективная, индивидуальная.

Задачи с параметром

Параметр – величина, характеризующая какое-нибудь основное свойство устройства, системы. «Словарь русского языка» С.И. Ожегова.

Параметр – постоянная величина, выраженная буквой, сохраняющая свое постоянное значение лишь в условиях данной задачи. «Словарь иностранных слов».

Параметр – это величина, входящая в математическую формулу и сохраняющая постоянное значение в пределах одного явления или для данной частной задачи, но при переходе к другому явлению или другой задаче меняющая свое значение. «Толковый словарь русского языка» под редакцией Д.Н. Ушакова.

Нельзя научиться решать любые задачи с параметрами, используя какой-то алгоритм или формулы. При решении задач с параметрами надо всегда активно использовать соображения, исходящие из здравого смысла, рассматривать их как задачи исследовательские.

Задачи с параметрами традиционно и заслуженно считаются наиболее трудными:

а) нехватка времени на них школьной программе;
б) исследовательский характер;
в) умение решать классические задачи без параметра, умение всесторонне исследовать квадратный трехчлен.

Основные типы задач для уравнений с параметром.

I. Решить уравнение f (x, a) = 0 при всех а:

а) найти все значения переменной а, при которых уравнение имеет решение;
б) найти эти решения при каждом таком а;
в) в ответе указать, что при остальных значениях а, задача не имеет решений.

II. Найти все значения а, при которых уравнение f (x, а) = 0 имеет решение.

Задача требует исследования, а не формального применения формул

III. Найти все значения а, при которых уравнение f (x, а) = 0 имеет одно (единственное) решение, ровно два или сколько-нибудь еще.

Задача:

В 7, 8, 9 кл. учится 105 учащихся. В 8 кл. на n больше, чем в 7 кл., а в 9 кл. на 3 меньше, чем в 7 кл. Сколько учащихся в каждом классе, если в каждом их не менее 30 человек,

7 кл. х             x + x + n + x – 3 = 105
8 кл. х + n     3x = 108 – n
9 кл. x – 3

x – неизвестное число;
n – известное, натуральное число, параметр.

3x = 108 – n
x = , т.е.
7 кл. 36 –
8 кл. 36 – + n = 36 +

9 кл. 36 – – 3 = 33 – .

Исходя из условия задачи меньшее количество учащихся в 9 кл., и т.к. не менее 30, то решим неравенство:

33 – > 30

> 3

n < 9

т.к. количество учащихся в каждом классе это натуральное число, значит n – кратно 3. Учитывая оба условия n < 9 и n кратно 3 можно сделать вывод n = 3; 6; 9.

n = 3

n = 6

n = 9

7 кл. 36 – , т.е. 36 – = 35; 36 – = 34; 36 – = 33

8 кл. 36 + , т.е. 36 +   = 38; 36 + = 40; 36 + = 42

9 кл. 33 – , т.е. 33 – = 32; 33 – = 31; 33 – = 30

Итак, возможны 3 варианта ответа: в 7, 8, 9 классах могло быть соответственно 35; 38; 32 или 34; 40; 31 или 33; 42; 30 учащихся.

Рассмотрим самые простые уравнения с параметром, которые сводятся к решению линейного или квадратного уравнения:

f (x, a) = 0, т.е. линейное уравнение ax = 0
f (x; a; b; c) = 0, т.е. квадратное уравнение ax² + bx + c.

Решение линейных уравнений с параметром:

Пример №1.

b(b – 1)x = b² + b – 2x – неизвестное число,
b – параметр, известное фиксированное число.

Придавая b различные значения, будем получать различные уравнения с числовыми коэффициентами. В зависимости от значений параметра мы можем получить 3 разных случая:

а) уравнение имеет единственный корень k • x = b
б) уравнение имеет множество корней 0 • x = 0
в) уравнение не имеет корней 0 • x = b

Рассмотрим каждый случай отдельно:

а) b(b – 1) =/= 0 b =/= 0; b =/= 1

уравнение имеет единственный корень: x =

б) т.е. b = 1 множество корней

в) b(b – 1) = 0 b = 0 и b = 1 при b = 0 получаем уравнение вида 0 ^. x = b т.е. корней нет.
b² + b – 2 =/= 0

Таким образом, для данного уравнения выявим различные значения параметра b, для каждого из которых определено соответствующее множество корней:
Ответ: при b =/= 0; b =/= 1 x =

при b = 1 множество корней x – любое число
при b = 0 корней нет.

Пример №2.

x (a² – 1) = (a + 1)(1 – x)

Путем преобразований получим уравнение:

а² x – x = а – аx + 1 – x
а²x – x + аx + x = а + 1
а(а + 1) x = а + 1
x =

а) если а =/= 0; а =/= 1 уравнение имеет единственный корень x =
б) если а = – 1, то уравнение имеет множество корней, x – любое число
в) если а = 0, то уравнение корней не имеет.

Ответ:

при а =/= 0; а = 1 x =
при а = – 1 x – любое число
при а = 0 корней нет.

Пример № 3.

Решить уравнение x – xу + 5у = 7 в целых числах, у считаем параметром.

x (1 – у) = 7 – 5у

x = выделим целую часть из этой дроби.

Дробь обращается в целое число, если у – 1 является делителем числа 2, т.е равна ± 2; ± 1

y – 1 = 2 y = 3

y – 1 = – 2 y = – 1

y – 1 = 1 y = 2

y – 1 = – 1 y = 0,

т.е. y = – 1; 0; 2; 3

Найдем соответствующие значения x.

y = – 1 x = 5 – = 5 + 1 = 6
y = 0 x = 5 – = 5 + 2 = 7
y = 2 x = 5 – = 5 – 2 = 3
y = 3 x = 5 – = 5 – 1 = 4 x = 3; 4; 6; 7.

Для каждого значения x найдем соответствующее ему значение y. Для этого выразим y через x из данного уравнения

5y – xy = 7 – x
(5 – x) • y = 7 – x
у = =

Подставим в эту формулу найденные значения x.

x = 3 у = = = 2	3; 2
x = 4 у = = = 3	4; 3
x = 6 у = = = – 1	6; – 1
x = 7 у = = 0	7; 0

Ответ: x₁ = 3, у₁ = 2; x² = 4, у² = 3; x³ = 6, у³ = – 1; x⁴ = 7, у⁴ = 0

Упражнения:

1. аx = 3а + 8 – уравнение с параметром а.

Написать уравнение, которое получится при а = 10, а = – 2, а = , а = 0

2. Каким – линейным или квадратным – является уравнение: 5b(b – 2)x² + (5b – 20)x – 16 = 0 относительно x при:

а) b = 1
б) b = 2
в) b = 0,4
г) b = 0?

3. Выясните вид уравнения:

2аx (x – 1) + x (аx – 12) = 3x² + 8

относительно x при:

а) а = – 2;
б) а = – 6;
в) а = 1;
г) а = 0

и решите его для каждого случая.

4. Дано уравнение аx = 4x + 5.

Найдите множество корней этого уравнения в случае, если: а) а = 4; б) а =/= 4.

5. При какиx значениях параметра а уравнения: аx = 12 и 3x = а имеют общие корни?

6. При каких значениях параметра b уравнение: b(b – 3)x = 10(2b + x) не имеет корней?

7. При каких значениях параметра b уравнения: и не имеют корней?

8. При каких значениях параметра n уравнение (n² – 4)x = n³ – 2n² – n + 2:

а) имеет единственный корень;
б) имеет бесконечное множество корней;
в) не имеет корней?

9. Решите уравнение относительно у:

а) ;
б) у – b = ;
в)

10. При каком значении параметра а уравнение

имеет:

а) положительный корень;
б) отрицательный корень;
в) корень, равный нулю?

Решение квадратных уравнений с параметром

При решении таких уравнений необходимо использовать следующие сведения.

1. Зависимость количества корней квадратного уравнения от его дискриминанта.

D > 0 (2 корня); D = 0 (1 корень); D < 0 (нет корней).

2. Если D > 0 то аx² + вx + с = а (x – x₁) (x – x₂)

3. Если D > 0, то левую часть можно представить в виде полного квадрата или выражения, ему противоположного

ax² + вx + с = а (x – x₁)²

4. Если уравнение приведенное то x₁ + x₂ = – р, аx₁ • x₂ = q

5. Если а > 0, D > 0, то уравнение имеет два действительных различных корня

а) в < 0, с > 0 оба корня положительны
б) в > 0, с > 0 оба корня отрицательны
в) в < 0, с < 0 корни противоположны по знаку. Положителен тот корень, который имеет больший модуль.
г) в > 0, с < 0 корни противоположны по знаку. Отрицателен тот корень, который имеет больший модуль.

Пример 1.

При каких значениях параметра а уравнение аx (аx + 3) + 6 = x (аx – 6) является

а) квадратным
б) неполным квадратным
в) линейным

Преобразуем: а²x² + 3 аx + 6 = аx² – 6x

а²x² – аx² + 3 аx + 6x + 6 = 0
а (а – 1)x² + 3 (а + 2)x + 6 = 0

а) уравнение квадратное, если старший коэффициент =/= 0

а (а – 1) =/= 0
а = 0, а =/= 1

т.е. уравнение квадратное при всех а, кроме 0 и 1

б) неполное квадратное, если b = 0; если с = 0; если b = 0 и с = 0.

3 (а + 2) = 0 а = – 2

в) линейное, если коэффициент при x² равен 0 а (а – 2) = 0 а = 0; 2

Ответ:

при а =/= 0; 2 уравнение квадратное
при а = – 2 неполное квадратное
при а = 0,2 линейное.

Пример 2.

Решить уравнение x² – bx + 4 = 0 D = b² – 16.

а) если > 4, т.е. b < – 4 и b > 4 (b ? ( – ; 4)U(4; + ), то D >0 и уравнение имеет 2 корня x_1,2 =

б) если = 4, т.е. b = ± 4, то D = 0, уравнение имеет один корень x =

в) если < 4, т.е. – 4 < b < 4, то D < 0 и уравнение корней не имеет.

Ответ: если b < – 4 и b > 4, то 2 корня x_1,2 =
если b = ± 4, то 1 корень x =
если – 4 < b < 4, то корней нет.

Упражнения:

1) Решите относительно x уравнение:

а) mx2 – 6x + 1 = 0; б) аx2 = 4; в) x2 – аx = 0;

г) x2 – 2x = с = 0; д) 6x2 – 5bx + b2 = 0; е) 12x2 + 7сx + с2 = 0.

2) Решите относительно у уравнение:

а) су² + 8 = 2у² + 4с;
б) b (у² + 7) = b (у + 5) + 2b;
в) у² – 3у = а² + 3а;
г) ау² + 6у + а = 3 (2у – а).

3) При каких значениях параметра а уравнение аx² – 4x + а = 0 имеет:

а) положительные корни;
б) отрицательные корни;
в) корень, равный нулю;
г) единственный корень, отличный от нуля?

Список используемой литературы:

1. Калнин Р.А. Алгебра и элементарные функции. – 2 – е изд. – М.: «Наука» 1966.г., – 448с.
2. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра: Дополнительные главы к школьному учебнику 8 класс.: – 3-е изд. – М.: Просвещение, 2000 г.
3. Газета «Математика» Издательский дом «Первое сентября».
4. Галицкий М.Л. Сборник задач по алгебре 8 – 9 классов: Учебное пособие для учащихся и классов с углубленным изучением курса математики М.: Просвещение 1992 г.
5. Вавилов В.В. Задачи по математике. Алгебра М.: Наука 1987 г.
6. Цыпкин А.Г., Пинский А.И. Справочник по методам решения задач по математике для средней школы. М.: Наука 1989 г.