Тема урока: “Сложение векторов. Законы сложения векторов. Правило параллелограмма”.

Тип урока: изучение нового материала.

Цели:

• объяснить учащимся правила сложения векторов;
• научить применять полученные знания при решении геометрических и физических задач;
• установление межпредметных связей;
• воспитание у учащихся культуры мышления;
• воспитание критического отношения к знаниям, умения делать выводы, применять полученные знания.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент.

II. Актуализация знаний.

1. Дайте определение вектора.
2. Как изображают и обозначают векторы?
3. Какие векторы называются коллинеарными, сонаправленными, противоположно направленными, равными?
4. Повторить откладывание вектора от заданной точки.
5. Какие физические величины являются векторными величинами.

III. Сообщение темы и цели урока.

IV. Теоретическое сообщение учителя (беседа с учащимися).

Понятие вектора появилось в работах немецкого математика XIX в. Г. Грассмана и ирландского математика У. Гамильтона; затем оно было охотно воспринято многими математиками и физиками. В современной математике и её приложениях это понятие играет важнейшую роль. Векторы применяются в классической механике Галилея-Ньютона (в ее современном изложении), в теории относительности, квантовой физике, в математической экономике и многих других разделах естествознания, не говоря уже о применении векторов в различных областях математики.

В механике, в том числе и в кинематике, при описании движения тел широко используются векторные величины, поэтому необходимо уметь выполнять действия с ними. Рассмотрим первое действие с векторами – сложение.

V. Объяснение новой темы.

Задача. Автомобиль переместился из города А в город В, а затем из города В в город С. В результате этих двух перемещений автомобиль переместился из пункта А в пункт С.

Эти перемещения можно представить векторами , и (Рисунок 1).

Рисунок 1

Поскольку перемещение из т. А в т. С складывается из перемещений из т. А в т. В и из т.В в т. С, то вектор естественно назвать суммой векторов и : = + .

Как найти сумму векторов и ?

Отметим произвольную точку А и отложим от этой точки вектор , равный вектору . Затем от точки В отложим вектор , равный вектору . Вектор называется суммой векторов и .

Это правило сложения векторов называется правилом треугольника. Рисунок 1 поясняет это название.

Сумма векторов и обозначается так: + .

Складывая по правилу треугольника произвольный вектор с нулевым вектором, приходим к выводу, что для любого вектора справедливо равенство + = .

Правило треугольника можно сформулировать также следующим образом: если А, В и С – произвольные точки, то + = . Это равенство справедливо для произвольных точек А, В и С, в частности, в том случае, когда две из них или даже три из них совпадают.

IV. Первичное закрепление.

Задача 1. Турист прошел 20 км на восток из города А в город В, а потом 30 км на восток в город С. Выбрав подходящий масштаб, начертите векторы и .
Равны ли векторы + и ?

Задача 2. Вертолет, пролетев в горизонтальном полете по прямой 40 км, повернул под углом 90° и пролетел еще 30 км. Найдите путь и перемещение вертолета.

V. Законы сложения векторов.

Сложение векторов, как и сложение чисел, подчиняется переместительному и сочетательному законам.

Переместительный закон выражается формулой

+ = + .

Рассмотрим рисунок 2, на котором векторы и приложены в одной точке и служат сторонами параллелограмма. Диагональ этого параллелограмма, идущая из общего начала векторов и , равна (как вектор) с одной стороны сумме + , с другой стороны — сумме + .

Сочетательный закон, выражается формулой

( + ) + = + ( + ).

В справедливости которой можно убедиться с помощью рисунок 3.

Благодаря переместительному и сочетательному законам можно при сложении векторов так же, как и при сложении чисел, не обращать внимания ни на порядок слагаемых, ни на их группировку. В частности, можно писать просто + + , опуская скобки.

При доказательстве переместительного закона было обосновано так называемое правило параллелограмма сложения неколлинеарных векторов: чтобы сложить неколлинеарные векторы и , нужно отложить от какой-нибудь точки А векторы = и = и построить параллелограмм ABCD (рисунок 2). Тогда вектор = + . Правило параллелограмма часто используется в физике, например при сложении двух сил.

VI. Сложение сил.

Силу, приложенную к телу, удобно изображать вектором, направление которого совпадает с направлением действия силы, а абсолютная величина пропорциональна величине силы. Как показывает опыт, при таком способе изображения сил равнодействующая двух или нескольких сил, приложенных к телу в одной точке, изображается суммой соответствующих им векторов. На рисунке 4 к телу в точке А приложены две силы, изображенные векторами и . Равнодействующая этих сил изображается вектором = + .

Представление силы в виде суммы сил, действующих в двух заданных направлениях, называется разложением силы по этим направлениям.

Удобно производить разложение вектора по двум перпендикулярным осям. В этом случае составляющие вектора называются проекциями вектора на оси (рисунок 5).

Задача. С какой силой F надо удерживать груз весом Р на наклонной плоскости, чтобы он не сползал вниз (рисунок 6)?

Рисунок 6

Решение:

Пусть О – центр тяжести груза, к которому приложена сила Р. Разложим вектор по двум взаимно перпендикулярным направлениям, как показано на рисунке 6. Сила перпендикулярна наклонной плоскости и не вызывает перемещения груза. Сила , удерживающая груз, должна быть равной по величине и противоположной по направлению силе . Поэтому

F = Р sina .

IX. Домашнее задание: п.79, 80. № 762 (а).

Задачи:

1. Катер прошел по озеру в направлении на северо-восток 2 км, а затем в северном направлении еще 1 км. Найдите геометрическим построением модуль и направление перемещения.
2. Группа туристов прошла сначала 400 м на северо-запад, затем 500 м на восток и еще 300 м на север. Найдите геометрическим построением модуль и направление перемещения туристов.
3. Группа туристов, двигаясь с постоянной по модулю скоростью 5 км/ч, сначала в течение 1 ч идет на север, затем в течение 0,5 ч идет на восток и, наконец, в течение 1,5 ч – на юг. Где окажется группа после прохождения этих трех участков? Сколько времени ей потребуется на возвращение в исходную точку по прямой?

X. Подведение итогов урока и выставление оценок.

Литература

1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. Геометрия, учебник для 7–9 классов средней школы. – М.: Просвещение, 2000.
2. Любич Ю.И., Шор Л.А. Кинематический метод в геометрических задачах (Серия: “Популярные лекции по математике”). – М.: Наука, 1976 г.
3. Мякишев Г.Я., Буховцев Б.Б., Сотский Н.Н. Физика, 10 класс. – М.: Просвещение, 2002.