Тема урока: “Сложение векторов. Законы сложения векторов. Правило параллелограмма”.
Тип урока: изучение нового материала.
Цели:
- объяснить учащимся правила сложения векторов;
- научить применять полученные знания при решении геометрических и физических задач;
- установление межпредметных связей;
- воспитание у учащихся культуры мышления;
- воспитание критического отношения к знаниям, умения делать выводы, применять полученные знания.
ХОД УРОКА
I. Организационный момент.
II. Актуализация знаний.
III. Сообщение темы и цели урока.
IV. Теоретическое сообщение учителя (беседа с учащимися).
Понятие вектора появилось в работах немецкого математика XIX в. Г. Грассмана и ирландского математика У. Гамильтона; затем оно было охотно воспринято многими математиками и физиками. В современной математике и её приложениях это понятие играет важнейшую роль. Векторы применяются в классической механике Галилея-Ньютона (в ее современном изложении), в теории относительности, квантовой физике, в математической экономике и многих других разделах естествознания, не говоря уже о применении векторов в различных областях математики.
В механике, в том числе и в кинематике, при описании движения тел широко используются векторные величины, поэтому необходимо уметь выполнять действия с ними. Рассмотрим первое действие с векторами – сложение.
V. Объяснение новой темы.
Задача. Автомобиль переместился из города А в город В, а затем из города В в город С. В результате этих двух перемещений автомобиль переместился из пункта А в пункт С.
Эти перемещения можно представить
векторами ,
и
(Рисунок 1).
Рисунок 1
Поскольку перемещение из т. А в т. С
складывается из перемещений из т. А в т. В и из т.В
в т. С, то вектор
естественно назвать суммой векторов
и
:
=
+
.
Как найти сумму векторов и
?
Отметим произвольную точку А и отложим
от этой точки вектор ,
равный вектору
. Затем
от точки В отложим вектор
, равный вектору
.
Вектор
называется
суммой векторов
и
.
Это правило сложения векторов называется правилом треугольника. Рисунок 1 поясняет это название.
Сумма векторов и
обозначается
так:
+
.
Складывая по правилу треугольника
произвольный вектор с
нулевым вектором, приходим к выводу, что для
любого вектора
справедливо равенство
+
=
.
Правило треугольника можно
сформулировать также следующим образом: если А, В
и С – произвольные точки, то +
=
. Это равенство справедливо для
произвольных точек А, В и С, в частности, в том
случае, когда две из них или даже три из них
совпадают.
IV. Первичное закрепление.
Задача 1. Турист прошел 20 км на восток
из города А в город В, а потом 30 км на восток в
город С. Выбрав подходящий масштаб, начертите
векторы и
.
Равны ли векторы +
и
?
Задача 2. Вертолет, пролетев в горизонтальном полете по прямой 40 км, повернул под углом 90° и пролетел еще 30 км. Найдите путь и перемещение вертолета.
V. Законы сложения векторов.
Сложение векторов, как и сложение чисел, подчиняется переместительному и сочетательному законам.
Переместительный закон выражается формулой
+
=
+
.
Рассмотрим рисунок 2, на котором
векторы и
приложены в одной точке и
служат сторонами параллелограмма. Диагональ
этого параллелограмма, идущая из общего начала
векторов
и
, равна (как вектор) с
одной стороны сумме
+
, с другой стороны —
сумме
+
.
Сочетательный закон, выражается формулой
( +
) +
=
+ (
+
).
В справедливости которой можно убедиться с помощью рисунок 3.
Рисунок 2 |
Рисунок 3 |
Благодаря переместительному и
сочетательному законам можно при сложении
векторов так же, как и при сложении чисел, не
обращать внимания ни на порядок слагаемых, ни на
их группировку. В частности, можно писать просто +
+
, опуская
скобки.
При доказательстве переместительного
закона было обосновано так называемое правило
параллелограмма сложения неколлинеарных
векторов: чтобы сложить неколлинеарные векторы и
, нужно отложить от какой-нибудь точки А
векторы
=
и
=
и построить
параллелограмм ABCD (рисунок 2). Тогда вектор
=
+
. Правило
параллелограмма часто используется в физике,
например при сложении двух сил.
VI. Сложение сил.
Силу, приложенную к телу, удобно
изображать вектором, направление которого
совпадает с направлением действия силы, а
абсолютная величина пропорциональна величине
силы. Как показывает опыт, при таком способе
изображения сил равнодействующая двух или
нескольких сил, приложенных к телу в одной точке,
изображается суммой соответствующих им
векторов. На рисунке 4 к телу в точке А приложены
две силы, изображенные векторами и
.
Равнодействующая этих сил изображается вектором
=
+
.
Рисунок 4 |
Рисунок 5 |
Представление силы в виде суммы сил, действующих в двух заданных направлениях, называется разложением силы по этим направлениям.
Удобно производить разложение вектора по двум перпендикулярным осям. В этом случае составляющие вектора называются проекциями вектора на оси (рисунок 5).
Задача. С какой силой F надо удерживать груз весом Р на наклонной плоскости, чтобы он не сползал вниз (рисунок 6)?
Рисунок 6
Решение:
Пусть О – центр тяжести груза, к
которому приложена сила Р. Разложим вектор по двум взаимно
перпендикулярным направлениям, как показано на
рисунке 6. Сила
перпендикулярна наклонной плоскости и не
вызывает перемещения груза. Сила
, удерживающая груз, должна быть
равной по величине и противоположной по
направлению силе
.
Поэтому
F = Р sina .
IX. Домашнее задание
: п.79, 80. № 762 (а).Задачи:
- Катер прошел по озеру в направлении на северо-восток 2 км, а затем в северном направлении еще 1 км. Найдите геометрическим построением модуль и направление перемещения.
- Группа туристов прошла сначала 400 м на северо-запад, затем 500 м на восток и еще 300 м на север. Найдите геометрическим построением модуль и направление перемещения туристов.
- Группа туристов, двигаясь с постоянной по модулю скоростью 5 км/ч, сначала в течение 1 ч идет на север, затем в течение 0,5 ч идет на восток и, наконец, в течение 1,5 ч – на юг. Где окажется группа после прохождения этих трех участков? Сколько времени ей потребуется на возвращение в исходную точку по прямой?
X. Подведение итогов урока и выставление оценок.
Литература
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. Геометрия, учебник для 7–9 классов средней школы. – М.: Просвещение, 2000.
- Любич Ю.И., Шор Л.А. Кинематический метод в геометрических задачах (Серия: “Популярные лекции по математике”). – М.: Наука, 1976 г.
- Мякишев Г.Я., Буховцев Б.Б., Сотский Н.Н. Физика, 10 класс. – М.: Просвещение, 2002.