Обучение математике на протяжении всех лет сопровождается решением задач. Каждый учитель математики знает, что с помощью решения арифметических задач формируются различные математические понятия, осмысливаются различные операции с числами. Задачи часто служат основой для выводов некоторых теоретических положений, содействуют обогащению и развитию правильной речи ученика, являются звеном, связующим теорию с практикой, сближают обучение с жизнью. Велика роль задач и в развитии логического мышления учащихся, в выработке умения устанавливать зависимость между величинами, делать правильные заключения.
Добиться этого можно лишь решая, большое количество задач на уроках математики в 5-6 классах. И основная задача учителя показать как можно больше разных способов решения одной задачи. Особенно это важно для преподавания в профильных классах. Тогда читая задачу, дети могут выбрать наиболее рациональный способ решения.
К сожалению, не все известные способы решения мы используем на уроках. Причиной тому отсутствие времени на качественную подготовку к уроку. Именно поэтому я решила поделиться с коллегами своими материалами.
Рассмотрим приемы решения арифметических задач
1. Задачи на нахождение двух чисел по их сумме и отношению.
Задача 1: Который теперь час, если оставшаяся часть суток в
раза меньше
прошедшей?
Решение:
1-ый способ.
Основной прием решения - введение условной единицы. Оставшаяся часть суток -
1 часть. Прошедшая часть суток -
части.
2-ой способ.
Пусть оставшаяся часть суток х частей, тогда прошедшая часть суток
х.
Составим уравнение:
Задача 2: Сумма двух чисел равна 51. Найти эти числа, если
первого числа
составляют 
второго.
Решение:
1-ый способ.
Примем второе число за единицу. Тогда
первого числа будут равны
единицы.
Первое число равно:
2-ой способ.
При помощи графической иллюстрации учащиеся устанавливают, что I число во
столько раз больше II, во сколько раз
больше
.
Обозначим II число через х, тогда I число равно
х.
Решим уравнение:
3-ий способ.
В 6 классе решение сводится к пропорциональному делению. Исходя из равенства
,
записывается отношение:
2. Задачи на нахождение двух чисел по их сумме и разности.
Задача 1: Лодка шла по течению со скоростью
км/ч, против течения - со
скоростью 12 км/ч. Какова скорость лодки в стоячей воде и какова скорость
течения?
Решение:
1-ый способ.
Для решения этой задачи необходимо установить, что скорость лодки по течению равна сумме скорости лодки в стоячей воде и скорости течения, а скорость лодки против течения равна разности скорости лодки в стоячей воде и скорости течения.
Усвоению условия помогает следующая графическая иллюстрация условия задачи:
Изобразив сумму скоростей по течению и против течения на одном отрезке, учащиеся видят, что она равна удвоенной скорости в стоячей воде. Таким образом:
2-ой способ.
Обозначим скорость лодки в стоячей воде через х км/ч, а скорость течения
через а км/ч. Тогда скорость лодки по течению равна (х+а) км/ч или
км/ч,
скорость лодки против течения равна (х-а) км/ч или 12 км/ч.
х + а = ; (1).
х - а = 12; (2).
Сложим почленно (1) и (2) равенства, получим, что:
3. Задачи на движение в одном направлении.
Задача 1: По шоссе едут два велосипедиста в одну сторону. Расстояние между ними 9 км. Первый едет со скоростью 15 км/ч, второй догоняет его со скоростью 18 км/ч. Через сколько часов второй догонит первого?
Решение:
1-ый способ.
- 18 - 15 = 3 (км) - приближается второй велосипедист к первому за каждый час;
- 9:3 = 3 (ч) - второй велосипедист догонит первого.
2-ой способ.
Если предположить, что через х часов второй велосипедист догонит первого, то:
18х - 15х = 9;
3х = 9;
х = 3.
Задача 2: Шофер выехал на автомобиле из города А в город В. Если он будет ехать со скоростью 35 км/ч, то опоздает на 2 ч, если же он поедет со скоростью 50 км/ч, то приедет на 1 ч раньше срока. За какое время нужно проехать этот путь, чтобы прибыть в город В вовремя?
Выполним рисунок к задаче:
Решение:
1-ый способ.
- 35 × 2 = 70 (км) - шофер не доедет до города В, если будет ехать со скоростью 35 км/ч;
- на 50 км он будет дальше от города В, если будет ехать со скоростью 50 км/ч;
- 70 + 50 = 120 (км) - проедет больше во второй раз, чем в первый;
- 50 - 35 = 15 (км/ч) - скорость во второй раз больше, чем в первый;
- 120 : 15 = 8 (ч) - нужно затратить на весь путь.
2-ой способ.
Обозначим через х часов необходимое время, тогда, двигаясь со скоростью 35 км/ч, шофер проедет расстояние от А до В за (х + а) часов, а со скоростью 50 км/ч - за (х - 1) час. Составим уравнение:
35(х + 2) = 50(х - 1);
35х + 70 = 50х – 50;
120 = 15х;
х = 8.
4. Задачи, решаемые исключением одного из неизвестных способом его замены.
Задача 1: Путешественник проехал 696 км за
часа, из которых
он ехал поездом,
а остальное время - пароходом. С какой скоростью он ехал поездом, с какой -
пароходом, если пароход проходил в час на
км меньше, чем поезд?
При решении определяется расстояние, которое проехал бы путешественник, если
бы использовал только пароход, то есть скорость движения поезда заменяется
скоростью парохода. Благодаря указанной замене длина всего пути уменьшается на
расстояние, равное
км, т.к.
- путь, который путешественник проехал бы за
ч. пароходом. Можно найти
скорость парохода:
Тогда скорость поезда равна:
Задача 2: На платформы погружено 196 сосновых и еловых бревен, общий вес которых 58,8 т. Сколько в отдельности погружено тех и других бревен, если одно сосновое бревно весило 0,28 т., а еловое - 0,35 т.?
Решение: Предположим, что на платформы погружены только сосновые бревна.
Тогда, чтобы получить вес всех бревен, надо 0,28 т. умножить на 196. Получим:
0,28 × 196 = 54,88 (т).
Предполагаемый вес всех бревен меньше веса, данного в условии задачи. Найдем разность этих весов. Получим:
58,8 - 54,88 = 3,92 (т).
Эта разность в весе получилась вследствие замены еловых бревен сосновыми. Найдем разность в весе одного соснового и одного елового бревна. Получим:
0,35 - 0,28 = 0,07 (т).
Так как, заменяя каждое еловое бревно сосновым, мы уменьшаем вес бревна на 0,07 т., а общий вес на 3,92 т., то число еловых бревен равно:
3,92 : 0,07 = 56 (бревен).
Число сосновых бревен равно:
196 - 56 = 140 (бревен).
5. Задачи на правило ложного положения.
Сущность метода «ложного положения» в том, что неизвестной величине дают произвольное значение, пользуясь которым вычисляют значение одной из данных величин, устанавливают ошибку. Так как в задачах, решаемых этим способом, данная величина, значение которой определяется через значение неизвестной, есть линейная функция неизвестной, то приращение этой величины пропорционально приращению неизвестной. Пользуясь этим, исправляют значение неизвестной.
Способ ложного положения - древний способ, применявшийся при решении задач, приводящихся к уравнениям первой степени, еще египтянами в древности. Этот способ рассматривался и в старинном русском учебнике Л.Ф. Магницкого под названием «Фальшивое правило».
Этот способ полезно знать, он дает возможность решить арифметически многие задачи.
Задача 1: Из города А в город В, расстояние до которого 48 км, отправились одновременно мальчик на лошади со скоростью 7 км/ч и почтальон на велосипеде со скоростью 13 км/ч. Через сколько часов остаток пути до города В для почтальона будет в 3 раза меньше, чем остаток пути до города В для мальчика?
Решение: Предположим, что через 1ч. (можно дать и другое значение) остаток пути до города В для почтальона будет в 3 раза меньше, чем для мальчика. Тогда, приняв остаток пути для почтальона за 1 часть, получим, что остаток пути для мальчика составляет 3 части; разность остатков пути равна 2 частям и равна разности скоростей:
13 - 7 = 6 (км/ч);
6 : 2 = 3 (км).
Остаток пути для почтальона равен 3 км, а весь предполагаемый путь:
13 + 3 = 16 (км).
В действительности весь путь равен 48 км, то есть в 3 раза больше. Следовательно, искомое число часов должно быть в 3 раз больше, то есть через 3 часа остаток пути до города В для почтальона будет в 3 раза меньше, чем остаток пути для мальчика.
Решение этой задачи приводится к решению уравнения:
48 - 7х = 3(48 - 13х), откуда 48 = 16х.
Имеет место прямая пропорциональная зависимость длины пути от искомого времени.
6. Задачи, решаемые способом уравнивания данных.
Следует учитывать, что некоторые задачи могут быть решены несколькими способами, а поэтому их можно отнести к различным типам. Примером могут служить задачи на правило ложного положения, которые могут быть отнесены также к типу задач на пропорциональное деление.
Задача: Имеются 90-процентная и 70-процентная кислоты. Сколько надо взять той и другой кислоты, чтобы получить 1кг 82-процентной кислоты?
При решении можно провести следующие рассуждения.
При смешивании и 90-процентная и 70-процентная кислоты заменяются 82-процентной. При замене 90-процентной кислоты 82-процентной в таком же количестве теряет 8% этого количества чистой кислоты (90% - 82% = 8%). При замене же 70-прцентной кислоты таким же количеством 82-процентной кислоты приобретается 12% этого количества чистой кислоты (82% - 70% = 12%). Так как в результате при смешивании избыток должен был покрыть недостаток, то 8% количества 90-процентной кислоты (x1) должны равняться 12% количества 70-процентной кислоты (x2).
Получаем:
0,08 x1 = 0,12 x2;
x1 : x2= 0,12:0,08 = 12 : 8 = 3 : 2;
3 + 2 = 5 (частей);
1000 : 5 = 200 (г) - вес одной части;
200 × 3 = 600 (г) - 90-процентной кислоты;
200 × 2 = 400 (г) - 70-процентной кислоты.