Программа элективного курса по математике

Пояснительная записка.

Геометрия – живая, непрерывно развивающаяся наука. Постоянно возникают все более сложные ее разделы, однако элементарная геометрия, созданная греками, не теряет своего значения. Педагогическое значение элементарной геометрии трудно переоценить.

Цель элективного курса “Пифагор и его учение”: стимулировать интерес к геометрии, который учащиеся могут закрепить, ознакомившись с доказательством теорем и решением задач, рассматриваемых в данном курсе.

Для достижения цели на занятиях значительное место должен занимать пропедевтический материал с большим количеством иллюстраций, способствующих формированию геометрической ситуации, а также сведения исторического, философского и литературно-художественного характера, призванные показать многообразие и единство окружающего нас мира.

Программа курса “Пифагор и его учение” рассчитана на учащихся 8-9 классов, составлена из расчета 24 часа и может реализовываться на дополнительных групповых занятиях во II полугодии для учащихся 8 классов и I полугодии для учащихся 9 классов.

Содержание.

1. Пифагор и пифагорейцы.

Биографические сведения о Пифагоре. Обучение Пифагора в Греции, в Египте, в Вавилоне. Возвращение Пифагора в Грецию и учреждение им в Кротоне тайного монашеского ордена (“пифагорейцы”). Учение Пифагора и его учеников в развитии содержания и систематизации геометрии и арифметики. Несоизмеримость величин.

2. Таблица Пифагора.

Некоторые свойства таблицы Пифагора:

- если стороны квадрата параллельны сторонам таблицы Пифагора, то произведение диагоналевых чисел квартета равны;

- если стороны квадрата параллельны диагоналям таблицы Пифагора, то равны суммы диагоналевых чисел квартета;

- если квартет имеет центр, то его центральное число равно среднему арифметическому числу квартета.

Сумма всех чисел таблицы Пифагора.

Расширенная таблица Пифагора и ее свойства.

3. Предпосылки создания теоремы Пифагора.

Задача Пифагора: “Найти все тройки натуральных чисел (х; у; z), удовлетворяющих неопределенному уравнению: х² + у² = z²”. Ее решение пифагорейцами.

4. Доказательства теоремы Пифагора.

Доказательства, основанные на использовании понятия равновеликих фигур. Аддитивные доказательства. Доказательства методом построения. Алгебраический метод доказательства.

5. Открытия и обобщения теоремы Пифагора Евклидом.

Если на сторонах прямоугольного треугольника построены подобные между собой многоугольники, то площадь многоугольника, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей многоугольников, построенных на катетах.

Справедливость этой теоремы, если на сторонах прямоугольного треугольника строятся любые (в том числе и криволинейные) подобные между собой фигуры.

“Луночки Гиппократа”.

Великая теорема Ферма, у истоков которой стояла задача Пифагора.

Доказательства Евклидом теоремы косинусов для произвольного треугольника, из которой получается соотношение, связывающее диагонали параллелограмма с его сторонами.

6. Задачи с практическим содержанием по теме: “Теорема Пифагора”.

Задачи по планиметрии, связанные с различными сферами деятельности человека (строительство, геодезия и т.д.).

Тематическое планирование.

Методические рекомендации.

1. Пифагор и “пифагорейцы”.

О жизни Пифагора известно только то, что ничего нельзя утверждать наверняка. О нем написано одновременно и много, и мало. Пифагор, несомненно, является одной из самых легендарных личностей в истории человечества. Для одних он – математик, для других – философ, для третьих – религиозный авторитет. Оценивая личный вклад Пифагора в науку, историки также высказывают различные точки зрения. Поскольку в школе пифагорейцев все свои открытия ученики приписывали Пифагору, трудно определить, что же он сделал сам, тем более что пифагорейская школа существовала несколько веков, и среди последователей Пифагора были яркие личности. Такие как величайший греческий атлет Милон Кротопский и Архип Таренский. Предложить учащимся подготовить сообщения о Пифагоре, о школе пифагорейцев, ее учениках и их открытиях из разных источников.

Источники: [1]; [2]; [3]; [4]; [7]; [8]; [10]; [11].

2. Таблица Пифагора.

Это один из многочисленных вариантов таблицы умножения. Ввести понятие квартета таблицы Пифагора. Рассмотреть его свойства. Первые два свойства предложить учащимся доказать самостоятельно. Показать, как строится расширенная таблица Пифагора. Чтобы учащиеся смогли оценить степень своего знакомства с таблицей Пифагора, предложить им для самостоятельной работы следующие упражнения:

1) Докажите, что сумма чисел квартета, симметричного относительно “биссектрисы” есть квадратное число.

2) Найдите формулу k-го члена n-й строки таблицы Пифагора.

3) Чему равно произведение всех чисел n-го уголка?

4) Докажите, что сумму двух соседних строк таблицы Пифагора можно представить в таком виде: 1²+2²+3²+…m².

Источник: [15].

3. Предпосылки создания теоремы Пифагора.

Предтечей теоремы Пифагора, возможно, является его задача. Рассмотреть ее решение пифагорейцами. На глиняных табличках вавилонян встречаются такие тройки чисел, как (4961; 6480; 8161) или (12709; 13500; 18541). Маловероятно, что их нашли эмпирически, путем перебора. Возникает мысль о существовании общего способа нахождения пифагоровых троек. Пифагорейцы нашли способ: х=2n+1, у=2n(n+1), где n – натуральное число. Этот способ нахождения пифагоровых троек они нашли геометрическим путем. Предложить учащимся найти этот способ.

Рассмотреть с учащимися некоторую систему пифагоровых триад.

Предложить задачу для самостоятельного решения:

Докажите, что площадь любого прямоугольного треугольника равна S=х*у, где х, у – отрезки гипотенузы от вершин до точки касания вписанной окружности.

Источники: [2]; [8]; [11]; [14]; [16].

4. Доказательство теоремы.

1) Доказательства, основанные на использовании понятия равновеликости фигур.

Можно рассмотреть доказательства, в которых квадрат, построенный на гипотенузе данного прямоугольного треугольника “складывается” из таких фигур, что и квадрат, построенного на катетах.

Можно рассмотреть такие доказательства, в которых применяется перестановка слагаемых фигур и учитывается ряд новых идей.

2) Аддитивные доказательства.

Эти доказательства основаны на разложении квадратов, построенных на катетах, на фигуры, из которых можно сложить квадрат, построенный на гипотенузе.

3) Доказательства методом построения.

Сущность этого метода состоит в том, что к квадратам, построенным на катетах, и к квадрату, построенному на гипотенузе, присоединяют равные фигуры таким образом, чтобы получились равновеликие фигуры.

4) Алгебраический метод доказательства.

Среди алгебраических методов доказательства теоремы рассмотреть доказательства индийского математика Бхаскари и доказательство, использующее подобие.

Источники: [5]; [6]; [8]; [10]; [11]; [12].

5. Открытия и обобщения, основанные на теореме Пифагора.

Предложить учащимся сравнить площадь многоугольника, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника с суммой площадей подобных ему многоугольников, построенных на катетах. Сделать вывод. Сообщить, что это обобщение теоремы Пифагора было найдено у Евклида. Задать вопрос: “Будет ли справедливо утверждение, если на сторонах прямоугольного треугольника строить любые подобные между собой фигуры?” рассмотреть утверждение, которое обнаружил Гиппократ. Познакомить учащихся с появлением на свет знаменитой Великой теоремы Ферма, у истоков которой стояла задача Пифагора. Рассмотреть доказательство Евклида теоремы косинусов для произвольного треугольника, и соотношения из нее, связывающие диагонали параллелограмма с его сторонами.

6. Задачи с практическим содержанием по теме: “Теорема Пифагора”.

Решение задач с практическим содержанием.

Список рекомендуемой литературы.

1. Ван-дер-Варден Б.Л. Пробуждающаяся наука: математика Древнего Египта, Вавилона и Греции/пер. с гол. И.Н. Веселовского. – М.: Гос. изд. физ-мат. лит., 1959.

2. Вегнер В. Эллада: картины Древней Греции, ее религия, могущество и просвещение/пер. с нем. П. Евстафиева. – Т1 СПб., М., 1878.

3. Молодший В.Н. Очерки по философским вопросам математики. – М.: Просвещение, 1969.

4. Еленский Щ. По следам Пифагора. – М.: Детгиз, 1961.

5. Глейзер Г.И. История математики в школе. – М., 1990.

6. Скопец З.А. Геометрические миниатюры. – М., 1990

7. Аванта+, Т11, математика.

8. Обо всем на свете. – М.: Олим-Пресс, 2001.

9. Что такое? Кто такой? 2(Ж - П). – М.: Педагогика-Пресс, 1994.

10. Кулагин Е.Д., Степанов М.Е. Первая из наук. – М.: Валент, 1996.

11. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. Геометрия, 8 класс. – М., 1999.

12. Вараданян С.С. Задачи по планиметрии с практическим содержанием. Книга для учащихся 6-8 классов средней школы. – М.: Просвещение, 1989.

13. Левитас Т.Г. О пифагоровых числах//Математика в школе № 2, 1976, с. 68-70.

14. Авилов Н.И. Знакомая и незнакомая таблица Пифагора//Математика в школе №1, 1989, с. 117-120.

15. Кордемский Б.А. Предлагается некая система пифагоровых триад//Математика в школе № 3, 1990, с. 58-60.