Цели:
- научить решать линейные уравнения с двумя переменными, используя алгоритм Евклида;
- развивать культуру самоуправления учебной деятельностью, вычислительные навыки, внимание;
- воспитывать чувство товарищества.
Ход урока
1. Организационный момент.
Объявление темы урока, цели урока.
2. Разминка.
а) Повторение алгоритма Евклида. Как с помощью алгоритма Евклида найти НОД двух чисел?
(плакат на доске: Если а и b положительные числа, а>b и r – остаток от деления большего из них на меньшее, то НОД (а, b)=НОД (b, r).)
б) Работа в парах:
Каждой паре дается пример на нахождение НОД двух чисел, применяя алгоритм Евклида, оформление решения в тетради (Найти НОД (654;792); НОД (360;525); НОД (400;288); НОД (490;518); НОД (490;518); НОД (510;272)).
Каждая пара находит ответ на столе и составляют совместно со своей группой высказывание: “Математику нельзя изучить, наблюдая, как это делает сосед”.
1 – математику (6)
2 – нельзя изучить (15)
3 – наблюдая (16)
4 – как это делает (14)
5 – сосед. (34)
Высказывание вывешивается на доске, как девиз урока.
Приводится высказывание французского писателя Анатоля Франса: “Учиться можно только весело. Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом”
Французский писатель Анатоль Франс
3. Объяснение новой темы.
Учащимся предлагается задача:
Как, имея монеты в 5 копеек и в 3 копейки, заплатить кассиру в магазине 13 копеек?
5х + 3у = 13
х = 2, у = 1
Ответ очевиден.
Существуют ли еще числа, обращающие данное уравнение в верное равенство?
Да, например, х = 5, у = -4 или х = -1, у = 6
Что значат в нашем случае отрицательные значения переменных?
(сдачу кассира в магазине)
Итак, мы продолжаем рассматривать уравнения вида ах + bу = с.
Эти уравнения носят название “диофантовы” по имени математика Диофанта, жившего в 3 веке до нашей эры. История сохранила мало чего из биографии Диофанта. Все, что известно о нем, почерпнуто из надписи на его гробнице – надписи, составленной в форме математической задачи:
“Путник! Здесь прах погребен Диофанта.
И числа поведать могут, о чудо,
Сколь долог был век его жизни.
Часть шестую
Его представляло прекрасное детство.
Двенадцатая часть протекла еще жизни –
Покрылся пухом тогда подбородок.
Седьмую – в бездетном браке
Провел Диофант.
Прошло пятилетие; он
Был осчастливлен рожденьем
Прекрасного первенца сына.
Коему рок половину лишь
Жизни прекрасной и светлой
Дал на земле по сравненью с отцом.
И в печали глубокой
Старец земного удела конец
Восприял, переживши
Года четыре с тех пор,
Как сына лишился”.
Составить уравнение и решить его учащимся предлагается дома.
В своем труде “Арифметика” Диофант рассматривает разнообразные уравнения с целочисленными и рациональными неизвестными и приводит способы их решения. Сегодня мы познакомимся с одним из них.
Для решения линейных уравнений с двумя переменными в целых числах существует несколько правил (на плакатах записать все правила):
Правило 1.
Если с не делится на НОД (а, b), то уравнение не имеет решений в целых числах.
Правило 2.
Если с делится на НОД (а, b), то уравнение следует упростить, разделив обе его части на НОД (а, b).
Например, уравнение вида:
231х + 525у = 210.
НОД (231; 525) = 21.
После упрощения уравнения получаем:
11х + 25у = 10
НОД (25,11) = 1, 10 делится на 1.
Вывод: если числа взаимно просты, то уравнение имеет целочисленные решения.
Правило 3.
Если х = 1, а у = 0, то с = а. Если х = 0, а у = 1, то с = b
Составляем таблицу, записывая эти числа, начиная с большего коэффициента:
| q | x | y | r |
| 0 | 1 | 25 | |
| 2 | 1 | 0 | 11 |
| 3 | -2 | 1 | 3 |
| 1 | 7 | -3 | 2 |
| -9 | 4 | 1 |
Продолжаем заполнять таблицу, пока не получим 1 в последнем столбце.
Эти значения х и у являются решением уравнения 11*(-9) + 25*4 = 1
Как получить 10 после знака “=”?
11*(-90) + 25*40 = 10
Правило 4.
Чтобы найти решение уравнения ах + bу = с, нужно сначала найти решение уравнения ах + bу = 1, затем умножить их на с.
Общее решение уравнения ах + bу = с имеет вид: х = х1 + bn, y = y1 – an, где n – любое целое число. Почему? Подставим эти выражения в уравнение и раскроем скобки:
а*(х1 + bn) + b*(y1 – an) = с
Правило 5.
Если числа а и b взаимно просты, то все решения уравнения ах + bу = с получаются по формулам х = х1 + bn, y = y1 – an, где n – любое целое число.
х = -90 + 25 n, у = 40 - 11 n.
При n = 3: х = -15, у = 7
4. Закрепление.
В некотором царстве в обращении ходили монеты 12 и 19 копеек. Можно ли купить булку по цене 4 копейки? Решение задачи в парах.
12х + 19у = 4
| q | x | y | r |
| 0 | 1 | 19 | |
| 1 | 1 | 0 | 12 |
| 1 | -1 | 1 | 7 |
| 1 | 2 | -1 | 5 |
| 2 | -3 | 2 | 2 |
| 8 | -5 | 1 |
12*8 + 19*(-5) = 1
12*32 + 19*(-20) = 4
Вывод: заплатить 32 монетки по 12 копеек и получить сдачу 20 монет по 19 копеек.
Все решения уравнения:
х = 32 + 19*n, у = -20 – 12* n.
5. Итог урока.
Выводы: что нового узнали на уроке, повторить все правила для решения линейных уравнений.
Рефлексия: показать свое отношение к уроку с помощью рисунков солнышек и тучек.