"Многоугольная циклоида", или о фигуре, образованной качением правильного многоугольника.

Пусть мы имеем правильный многоугольник с числом сторон и стороной . Внутренний угол многоугольника , площадь многоугольника , радиус описанной около многоугольника окружности . Переменные связаны между собой соотношениями:

, , , .

Очевидно, что, бесконечно увеличивая число сторон многоугольника, получаем плавный переход к окружности и кругу, для площади которого справедлив предельный переход:

.

Будем катить (перекатывать, “кантовать”) многоугольник вдоль прямой наподобие колеса. Как это выглядит для первых четырех правильных многоугольников, представлено на рис.1-4. В процессе качения одна из вершин многоугольника (для единообразия она обозначается большой латинской буквой A, остальные вершины маленькими буквами латинского алфавита) выбранная за базовую (опорную), будет перемещаться по дугам окружностей с радиусами, равными расстояниям от базовой точки до остальных вершин многоугольника, попадая поочередно в точки A', A'', A''' и так далее.

Общим для рис.1-4 является то, что треугольники, образуемые при повороте опорной точки A, выделены зеленым цветом. Эти треугольники создают внешний контур многоугольной фигуры, образующейся в результате качения. Кроме того, выделяются белые треугольники, которые вклиниваются между треугольниками, образованными поворотами базовой точки.

Помимо поворотов с ненулевыми радиусами, можно выделить еще дополнительно два поворота с нулевыми радиусами – в самом начале и в самом конце процесса качения, – когда центр поворота совпадает с опорной точкой.

Таким образом, базовая точка испытает поворот, каждый раз на угол, дополняющий внутренний угол многоугольника до развернутого, то есть на угол . При этом радиус поворота будет равен расстояниями от базовой точки до остальных вершин многоугольника (рис.5), включая также одну из сторон многоугольника, то есть

, где – порядковый номер поворота, .

Несложно заметить, что и соответствуют поворотам с нулевым радиусом, а при и радиус поворота равен .

То, что величина определяется синусом углов, кратных углу , не так очевидно, хотя легко доказывается на основе элементарных свойств треугольников. Мы не будем рассматривать доказательство, а лишь ограничимся констатацией, что треугольники, образуемые в правильном многоугольнике его диагоналями, проведенными из одной вершины, как это показано на рис.5, имеют равные углы при общей вершине этих треугольников. Можно сказать, что диагонали правильного -угольника, проведенные из вершины, будут делить угол при данной вершине на равные части, то есть эти диагонали будут своего рода “полисектрисами” для данного угла.

Нас интересует ломаная, образованная перемещением базовой точки A и состоящая из отрезков длины , равных отрезкам AA', A' A'', A'' A''' и т.д. Для них справедливо выражение

.

Очевидно, что длина ломаной составит .

Сделаем предельный переход к многоугольнику с бесконечно большим числом сторон:

.

Итак, длина ломаной, возникшей при качении правильного многоугольника с бесконечно большим числом сторон, равна 8 радиусам описанной около него окружности.

Поскольку правильный многоугольник с бесконечно большим числом сторон есть не что иное, как окружность, то это означает, что длина дуга, образуемой при качении окружности, составит 8 радиусов окружности. Таким свойством, как известно, обладает циклоида.

Таким образом, мы выводим длину дуги циклоиды как предельный переход от качения правильных многоугольников к окружности.

Теперь выведем формулу для площади фигуры, образованной качением правильного многоугольника с числом сторон . Данная фигура ограниченна сверху отрезками ломаной AA' ’, A' A ' ' , A' ' ’A' ' ' и т.д., а снизу отрезком, связывающим начальную и конечную точки качения.

В общем случае эта фигура будет состоять, во-первых, из равнобедренных треугольников со сторонами в количестве (на рис.1-4 этим треугольникам соответствуют уже треугольники голубого цвета, возникшие при поворотах базовой точки); во-вторых, из неравносторонних треугольников со сторонами в количестве (на рис.1-4 этим треугольникам отвечают белые треугольники, находящиеся между голубыми).

Сначала рассмотрим неравносторонние треугольники.

Нетрудно заметить, что треугольники в количестве со сторонами , имеющие угол между сторонами и , будучи сложены вместе сторонами одинаковой длины (сторона одного такого треугольника прикладывается к стороне следующего треугольника и так далее), образуют в итоге не что иное, как исходный многоугольник. Следовательно, суммарная площадь треугольников со сторонами равна площади исходного многоугольника, то есть .

Как это выглядит в правильном шестиугольнике, показано выше на рис.5, на котором мы видим все белые треугольники, возникшие при качении этой фигуры вдоль прямой (рис.4).

Далее переходим к нахождению суммы площадей равнобедренных треугольников вида в количестве .

Для этого начертим отдельно угол и будем откладывать на его лучах отрезки такие, что мы получаем последовательно все неравносторонние треугольники вида (рис.6).

В целях уменьшения количества условных обозначений, перегружающих рисунок, будем иметь в виду, что символы возле точек служат одновременно как обозначением данной точки, так и длины соответствующего отрезка. Если сопоставить эту схему с рис.1-4, то отрезки сначала удлиняются вместе с увеличением порядковых номеров, то есть мы как бы движемся от вершины угла вдоль его лучей (это соответствует восходящей части траектории базовой точки A при качении многоугольника), затем обратно укорачиваются, и мы как бы возвращаемся вдоль лучей обратно к вершине угла (это будет соответствовать нисходящей части траектории точки A при качении многоугольника).

Опустим из конца каждого отрезка перпендикуляр на противоположный луч угла .

Поскольку точки связаны между собой отрезками , то все треугольники внутри угла являются равнобедренными с боковыми сторонами . Следовательно, опущенные из их вершин перпендикуляры будут одновременно биссектрисами углов при вершинах треугольников, а два прямоугольных треугольника внутри каждого равнобедренного будут иметь равные площади.

Введем в рассмотрение прямоугольные треугольники с гипотенузами .

Достроив с внешней стороны лучей угла симметричные прямоугольные треугольники, мы получим равнобедренные треугольники с боковыми сторонами и углом при вершине, равным удвоенной величине . Это не что иное, как треугольники вида , то есть те самые треугольники, которые образуются при повороте базовой точки A и которым на рис.1-4 соответствуют голубые треугольники (на рис.6 отрезки также показаны).

При таком совмещении равнобедренных треугольников вида и неравносторонних треугольников вида , как показано на рис.6, легко обнаруживается, что при площади равносторонних треугольников вида равны сумме площадей двух последовательно расположенных неравносторонних треугольников и , то есть соседствующих с равнобедренным треугольником . Это равенство площадей также справедливо, если при и в качестве неравносторонних треугольников рассмотреть два крайних теоретических треугольника и с нулевой длиной одной из сторон (соответственно и ) и соответственно с нулевой площадью.

Из этого соотношения следует, что сумму площадей равнобедренных треугольников вида мы можем заменить суммой площадей неравносторонних треугольников вида и , причем такой, что в этой второй сумме каждый неравносторонний треугольник вида и встретится дважды. Исключение составят только крайние теоретические треугольники и , будут фигурировать только по одному разу. Но выше было сказано, что они имеют нулевые площадь и на конечный итог суммирования не влияют.

В итоговой сумме площадь каждого неравностороннего треугольника вида встречается дважды, а простая (однократная) сумма площадей всех этих треугольников, как было выяснено, равна площади исходного перекатываемого многоугольника, то есть . Очевидно, двойное суммирование их площадей даст уже удвоенную величину площади перекатываемого многоугольника, то есть .

Складывая площади неравносторонних и равнобедренных треугольников, мы получаем утроенную величину площади исходного многоугольника, то есть .

Итак, площадь фигуры, образованной качением правильного многоугольника, равняется трем площадям данного многоугольника.

Если перейти к правильному многоугольнику с бесконечным числом сторон, то есть к кругу, то нетрудно догадаться, что площадь под дугой, образованной при качении данного круга, равна трем его площадям. Как известно, это тоже свойство циклоиды.

Проверим, подтверждается ли правило, что площадь циклоиды равна трем площадям образующего ее круга, через предельный переход от правильного многоугольника с бесконечным числом сторон к окружности:

Действительно, предельный переход от правильного многоугольника с бесконечным числом сторон к кругу подтверждает, что площадь фигуры, образованной качением круга, равна трем его площадям.

В заключение еще раз обратим внимание на следующее.

Мы убедились, что замечательные свойства, присущие циклоиде, такие как равенство длины дуги 8 радиусам производящего ее круга и равенство площади под аркой циклоиды трем площадям производящего круга, в значительной степени справедливы для фигур, образованных качением правильного многоугольника. Но с некоторыми отличиями.

Длина ломаной, образующейся при качении правильного многоугольника, только при переходе к многоугольнику с бесконечным числом сторон, то есть к окружности, приближается к 8 радиусам окружности. Иначе говоря, для длины ломаной нет полного тождества с длиной дуги циклоиды.

Для площади фигуры, образованной качением любого правильного многоугольника, справедливо то же самое правило, что и для циклоиды: эта площадь всегда равна трем площадям исходного многоугольника, как в случае циклоиды – трем площадям производящего ее круга. Другими словами, в отличие от длины ломаной и длины арки циклоиды, между площадью фигуры, образованной качением правильного многоугольника, и площадью циклоиды есть полное тождество.

Достоинство представленного выше доказательства – его относительная простота: ведь в нем используются сведения о свойствах геометрических фигур, известные из школьной программы.

И уже в развитие темы, но без математики, в форме вопроса.

Если взглянуть на рис.1-4, то фигуры, образующиеся при качении правильного многоугольника, напоминают … арки железнодорожных мостов. При этом чем больше сторон имеет многоугольник, тем более живые ассоциации они вызывают. Стороны треугольников, образующих эти фигуры, выглядят как опоры этих арок.

Возможно, конечно, что это только фантазии автора. Но разве не может быть так, что арки железнодорожных мостов, если их конструировать в соответствии с фигурами, образующимися при качении правильных многоугольников, будут иметь положительное влияние на прочность и долголетие моста. Ведь циклоида имеет весьма важное значение в физике; в частности, ее свойства применялись Х.Гюйгенсом и И.Бернулли при изучении оптических явлений и конструировании особо точных механических маятниковых часов.

Разве не могут найти фигуры, подобные циклоиде, но образованные качением правильных многоугольников с большим числом сторон, и в других сферах жизни человека?

Впервые данные построения были сделаны автором в феврале 1985г. Сейчас они только оформлены в виде файла.