Числа больших и малых пространств

§1. Теорема №1

Существуют величины больших пространств, характеризуемые числом, величина которого не изменяется, если к нему прибавить действительное число. Это число назовём тьмой и дадим ему знак T_n.

Доказательство первым методом.

Рассмотрим треугольник согласно рис. 1.

Рис.1.

Площадь данного треугольника можно определить по стороне и двум прилежащим к ней углам по формуле (1).

(1),

где с – длина любой из сторон треугольника, и – величины прилежащих углов к стороне с и S – величина искомой площади треугольника.

Если вершину В треугольника переместить в точку О согласно рисунка (1), то длина стороны АВ= с уменьшится до х, а угол достигнет величины 90° и треугольник АВС будет прямоугольным, тогда его площадь можно будет определить по формуле (2).

.

Доказательство формул (1) и (2) , а также их широкое применение в различных отраслях народного хозяйства, можно найти в статье “Площадь треугольника. Новые задачи” еженедельного учебно-методического приложения “Математика” за №2, 1999 года к газете “Первое сентября”. На эту тему можно получить достаточную информацию на сайтах фестивалей педагогических идей 2003-2004 и 2004-2005 учебных годов, данную преподавателем математики и информатики высшей категории Зудиным Василием Павловичем. Адрес этого сайта: https://urok.1sept.ru.

При величине 90° одного из прилежащих углов к стороне с треугольника формула (1) значительно упрощается и принимает вид (2). Это даёт нам право сравнивать величины значений этих формул с правой стороны, так как угол не сократился, а только принял значение 90°. На основании этого перемещения пишем тождественное равенство (3).

(3)=

Сокращаем левую и правую части последнего равенства на величину > 0. Это будет равносильным преобразованием, после чего получим следующее выражение (4).

(4) . Полученная дробь (4), равна единице, то есть числитель и знаменатель равны между собой, откуда следует .

Этим доказательством нашли большую величину, которая не изменяется, если к ней прибавить действительное число. Данную величину назовём числом тьма и дадим ему знак Тn . Из данного доказательства следует, что tg 90° = Тn .

Согласно определению основных тригонометрических функций, они получаются при повороте точки (1,0) вокруг начала координат, где считается точка (1,0) материальной, поэтому она должна иметь определённую величину несколько отличающейся от нуля, иначе нечему будет поворачиваться, так как нуль в действительных числах отражает отсутствие движения и наличия материальных тел. Величина tg90° равна числу тьма (Т_n), что доказали выше, а величину обратную числу Т_n , назовём числом мал (0_n) , определяющим величину материальной точки (1, 0_n ) и точек при переходе n – мерных пространств в (n-1) мерные пространства.

На основании доказанной теоремы получаем необычные свойства чисел и .

=+ а, , где а действительное число.

2. .

На основании доказанного свойства числа , найдём отличительное свойство числа , как обратного числу .

3..

На основании данного доказательства получили, что величина действительного числа не изменяется, если к нему прибавить число мал или число мал, умноженное на действительное число.

Данные выше свойства чисел тьма и мал нарушают аксиому Архимеда, которая утверждает, что для любых двух действительных чисел а и b, для которых 0 < a < b, одно из неравенств a+ a > b, a+ a+ a > b, …обязательно выполнимо. Ввиду того, что при сложении чисел тьма и мал с действительными числами нарушается аксиома Архимеда, то в равенствах с этими числами переносить из левой части в правую и наоборот числа с противоположными знаками, как действительные, так и числа мал, тьма нельзя. В этих случаях перенос членов равенства с противоположным знаком из одной части в другую не является равносильным преобразованием. В таких равенствах и уравнениях необходимо путём равносильных преобразований вида: =+ а, a+ 0_n = a, , сначала привести их к простейшему виду, используя нестандартные свойства чисел тьма и мал, а затем равносильными преобразованиями получить одни действительные числа или числа больших и малых пространств, и достигать требуемого результата.

На основании доказанной теоремы принимаем величину материальной точки (1, 0_n) равной числу 0_n (мал), при повороте которой вокруг начала координат получаются тригонометрические функции. Равной числу мал принимаем также величину точек пространства, при которых n – мерные пространства переходят в пространства (n-1) размера. Исходя из определений и значений тригонометрических функций, а также новых чисел тьма, мал принимаем:

sin 0 = sin 0_n = 0_n , cos 0 = cos 0_n =1, cos 90° = 0_n , sin 90° = 1. Тангенсом угла называется отношение синуса угла к его косинусу. Таким образом,

.

Аксиоматика чисел тьма и мал.

Мы хотим, чтобы числа тьма, мал можно было складывать, умножать, вычитать и делить, чтобы эти операции обладали обычными свойствами, называемыми “аксиомами поля”.

Числа, состоящие из произведения числа мал с действительными числами, будем считать числами поля мал. Произведение действительных чисел на число тьма будем относить к полю чисел тьма. Числа вида a·0_n будем называть малыми числами, где 0_n – число мал, а а – действительная часть малого числа. Числа вида а·Т_n называем большими числами, где Т_n – число тьма, а а – действительная часть большого числа. При этом должны выполняться такие свойства:

(1) 0_n + a·0_n = a·0_n + 0_n , где а – действительное число ;

;

(2) 0_n + (a·0_n + b·0_n) = (0_n + a·0_n) + b·0_n , где b – действительное число;

;

(3) 0_n + 0 = 0_n ;

(4) 0_n + ( - 0_n ) = 0;

;

(5) 0_n · (a·0_n ) =(a·0_n ) · 0_n;

T_n · (a·T_n ) =(a·T_n ) · T_n;

(6) 0_n · ((a·0_n ) · (b·0_n )) = (0_n ·(a·0_n)) · (b·0_n) ;

T_n · ((a·T_n ) · (b·T_n )) = (T_n ·(a·T_n)) · (b·T_n) ;

7) 0_n · 1 = 0_n;

T_n · 1 = T_n;

(8) 0_n · ((a·0_n )+ (b·0_n )) = 0_n · (a·0_n) + 0_n · (b·0_n );

T_n · ((a·T_n )+ (b·T_n )) = T_n · (a·T_n ) + T_n · (b·T_n );

9) , что доказали выше.

Множество с операциями, обладающими этими свойствами, называется полем.

Выявление свойств числа мал.

Выше были даны формулы определения площади треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Если один из прилежащих углов к стороне с будет равен 90°, например угол , то формула (1) примет вид (2)

.

Из тригонометрии известно, что . Подставим в формулы (1) и (2) вместо значений их значения через котангенсы, данные выше, получим формулы (3) и (4)

(3) . Итак получили (3) . (4) . Окончательно получили из формулы (2) формулу (4)

(4) .

С помощью формулы (3) можно определять площади любых треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам, а формула (4) пригодна для прямоугольных треугольников, когда угол , прилежащий к стороне с острый, а угол, также прилежащий к стороне с, прямой. При величине угла =90° формулы (3) и (4), согласно рисунка №1, а также формул (1), (2), будут давать равные результаты, поэтому их можно соединить знаком равенства

. Сократим дроби на величину , получим .

Согласно свойств пропорции последнее полученное равенство равносильно можно записать в виде .

Откуда видно, что величина действительного числа, равная котангенсу угла , не изменяется если к ней прибавить величину котангенса угла 90°. На основании этого делаем вывод, что нашли величину с нестандартными свойствами, равную величине котангенса 90°. Эту величину назовём числом 0_n (мал). Котангенсом угла называется отношение косинуса угла к его синусу. Таким образом, . Значения тригонометрических величин и аксиоматика числа мал в этой формуле были даны выше. Свойства найденного числа мал совпали с его свойствами полученными выше с помощью числа тьма. Если к действительному числу прибавить число мал или действительное число, умноженное на число мал, то величина действительного числа не изменяется.

§2. Применение чисел тьма и мал при решении задач.

Формулы приведения в тригонометрии.

При изучении формул приведения часто возникают вопросы их доказательства с помощью формул сложения. Например, формулу приведения для тангенса требуется доказать с помощью формулы сложения Проводя преобразования в формуле приведения с помощью формулы сложения, получим

, где пришли в тупик, так как tg в настоящий период не определён. С помощью применения нового числа тьма, его свойств, аксиом и принятия величины tg 90° = T_n(тьма) можно легко выйти из этой тупиковой ситуации.

, что требовалось доказать.

Число тьма в формуле определения площади треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам.

(1) . Данная формула (1) дана выше. Эта формула имеет большое практическое значение при определении площадей треугольников, когда можно легко замерить только одну его сторону и два прилежащих к ней угла, а также при составлении тригонометрических и дифференциальных уравнений. Если один из прилежащих углов к стороне треугольника равен 90°, то данная формула преобразуется в формулу (2) с помощью различных преобразований, которые можно посмотреть в выше указанной литературе.

(2) .

На такие преобразования необходимо затрачивать много времени, а на их поиск требуется достаточный творческий потенциал. Для облегчения решения этой задачи можно применить число тьма. Если угол b = 90°, то принимаем tgb = T_n и проводим в формуле (1) соответствующие преобразования.

.

Откуда видно, что число тьма даёт универсальность формулы (1) определения площади треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Применение чисел тьма в тригонометрических и дифференциальных уравнениях.

Задача № 1

Фермеру требуется сделать перекрытие на садовый домик, профиль которого будет иметь форму прямоугольного треугольника с гипотенузой 12 (м.) и площадью (32 кв. м.). Определить углы, прилежащие к гипотенузе, то есть основанию перекрытия, чтобы точно сделать объект и оптимально израсходовать строительный материал. ( См. рис. 2)

Рис. № 2

Самый рациональный способ решения этой задачи достигается применением тригонометрического или дифференциального уравнений, составленных с помощью формулы (1) определения площади треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам, с которыми можно глубже познакомиться в указанных выше источниках информации. Особенностью решения этой задачи является то, что угол напротив известной стороны дан величиной 90°. Для решения данной задачи применим тригонометрическое уравнение автора , где S – площадь профиля перекрытия = 32 (м. кв.), с – длина основания (гипотенузы) = 12 (м.), Y = 90°, то есть tg Y стандартным способом не определён. Принимаем tgY = Т_n . Для решения данного уравнения используем число тьма и преобразуем его к виду (2).

(2)

Откуда согласно свойств числа тьма последнее уравнение примет следующий вид

. Поделим последнее уравнение на –Т_n , получим требуемое уравнение вида

(3) . В уравнение (3) подставляются данные из задачи №1 и получается уравнение вида

.Делаем подстановку , получим квадратное уравнение. Решаем квадратное уравнение по общей формуле . Подставляем значения t_1,2 в подстановку , получим , откуда

Определение производной функции с применением чисел мал и тьма.

Перейдём к общему определению производной. Пусть функция f(x) определена на некотором промежутке. Зафиксируем какую-нибудь точку х из этого промежутка и возьмём число 0_n (мал), так, чтобы точка х+0_n также лежала в этом промежутке. Рассмотрим разность значений функции в точках х+0_n и х, то есть f(х+0_n) – f(x). Составим дробь

.

Числитель этой дроби — приращение функции f в точках х+0_n и х, а знаменатель — приращение аргумента х + 0_n и х. В этом случае говорим, что функция f(x) имеет в точке х производную, равную данному отношению. Производная обозначается так: (читается: “эф штрих от икс”).

Производной функции f(x) в точке х называется отношение приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента равно числу мал.

Теорема 2. Тригонометрическая функция sin x дифференцируема в каждой точке и .

Доказательство.

Согласно выше данного определения производной функции и свойств чисел тьма, мал создадим отношение

Данные в статье числа ближе к истине делают аксиоматику и могут применяться во всех отраслях народного хозяйства.