При изучении темы “Касательная к графику функции” можно выделить 5 типов задач.
I. Задачи на составление уравнения касательной к графику функции в точке, принадлежащей графику
Обучение решению задач на касательную осуществляется при помощи алгоритма.
Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в
точке х
: y = f(х
) + f '(х
)(x – х)
Алгоритм составления уравнения касательной к графику функции y = f(x):
1. Обозначить х
абсциссу точки касания.
2. Найти f(х)
3. Найти f '(x) и f '(х) 4. Подставить найденные числа х, f(х), f '(х) в общее
уравнение касательной
Задача. Составьте уравнение касательной к
графику функции
в точке с
абсциссой х=3.
Решение.
1. х = 3 – абсцисса
точки касания.
2. f(3) = – 2.
3. f '(x) = x2 – 4, f '(3) = 5. 4.Подставив в
уравнение касательной значения х=3, f(х)=-2,
f '(х
)=5, получим y =
– 2 + 5(x – 3), т.е. y = 5x – 17. Это и есть
искомое уравнение касательной. Ответ: y = 5x-17.
УПРАЖНЕНИЯ
Найти уравнение касательной к графику функции
f(x) в точке с абсциссой х.
1. f(x)=-x -4x+2, х=-1. |
1) y=-2x-3; | 2) y=2x-1; | 3) y=-2x+3; | 4) y=2x+3. |
| 2. f(x)=-x+6x+8, х=-2. |
1) y=2x-6; | 2 )y=10x+12; | 3) y=4x+8; | 4) y=-10x+8. |
3. f(x)=x +5x+5, х=-1. |
1) y=7x+8; | 2) y=8x+7; | 3) y=9x+8; | 4) y=8x+6. |
4. f(x)=2cosx, х= |
1) y= |
2) y= |
3) y= |
4) y= |
5. f(x)=tgx, х= 1) y=x; |
2) y=x+ |
3) y=x- |
4) y=x-1. | |
| 6. f(x)=1-sin2x, х=0. |
1) y=1-2x; | 2) y=2x; | 3) y = -2x; | 4) y=2x+1. |
7. f(x)=
х=-2. |
1) y = -x+1; 2) y = x+1; | 3) y = -x-1; | 4) y = -x-2. |
8. Уравнение касательной, проведённой к графику функции y=lnx в точке его пересечения с осью абсцисс, имеет вид. 1) y = 2x-2; 2) y = x-1; 3) y = x+1; 4) y = x.
9. Уравнение касательной, проведённой к графику
функции y=e
-1 в точке его
пересечения с осью абсцисс, имеет вид. 1) y = 2x; 2) y =
3x-1; 3) y = x-1; 4) y = x.
10. Уравнение касательной, проведённой к графику
функции y=sin(x-
)+1 в точке
его пересечения с осью ординат, имеет вид. 1) y = x+1;
2) y = x-1; 3) y =- x-1; 4) y =1- x.
Ответы к упражнениям
Задание 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Номер ответа 3 2 2 2 3 1 3 2 4 4
II. Проведение касательной параллельно заданной прямой
Задача 1. В каких точках касательные к кривой
у=
- х
- х+1 параллельны прямой
y=2x-1?
Решение. Так как касательные параллельны прямой у=2х-1 то их угловые коэффициенты совпадают. Т. е. угловой коэффициент касательной в этой точке есть к = 2 .
Находим у' = х-2х-1; к=
у'(х)= х-2х-1=2.
Решив уравнение х-2х-1=2; х-2х-3=0, получим (х)
=3, (х)
=-1, откуда (у)=
-2, (у)
= 
.
Итак, искомыми точками касания являются А(3;-2) и
В(-1;
)
Ответ: (3;-2) и (-1;).
Задача 2. Найти абсциссу точки, в которой касательная к графику функции f(x) = 2x-lnx, параллельна прямой у = х.
Решение. Пусть х
-
абсцисса точки касания. Угловой коэффициент
касательной в этой точке есть к=1. Находим f '(x)=2-
. К= f ' (х)=2-
=1.
Решив уравнение 2-
=1, получим х=1.
Ответ: 1.
УПРАЖНЕНИЯ
Найти абсциссу точки, в которой касательная к графику функции f(x) параллельна прямой у(х).
1. f(x)= х+е , у(х)=
-х. |
1) - ;
2) 0; 3)  ; 4) 1. |
2. f(x)=2 +х, у(х)= 2х. |
1) 1; 2) 4; 3) 0; 4)  . |
3. f(x)=х -5х, у(х)=
-х. |
1) -2; 2) 3; 3) -3; 4) 2. |
| 4. f(x)=2lnх-x, у(х)= 0. | 1) -2; 2) 0; 3) 2; 4) 1. |
5. f(x)=-х-е , у(х)=
4-2х. |
1) 3; 2) 2; 3) 0; 4) –2. |
6. Найти сумму абсцисс точек, в которых
касательные к графику функции у=х
- 3х+1 параллельны оси абсцисс. 1) 0; 2) 2; 3)
1; 4) –2.
7. Найти сумму абсцисс точек в которых
касательные к кривой у=
параллельны прямой у=х+5. 1) –2; 2) 4; 3) 2; 4)
–4.
8. К графику функции у =
проведены две параллельные
касательные, одна из которых проходит через
точку графика с абсциссой х= -1. Найдите абсциссу точки, в которой
другая касательная касается графика данной
функции. 1) –2; 2) 2; 3) 1; 4) –3.
9. К графику функции у =-
проведены две параллельные
касательные, одна из которых проходит через
точку графика с абсциссой х= 1. Найдите абсциссу точки, в которой
другая касательная касается графика данной
функции. 1) –1; 2) 5; 3) 2; 4) –3.
10. На графике функции у = х (х-4) указать точки, в которых касательные
параллельны оси абсцисс. Найти сумму абсцисс
данных точек. 1) 5; 2) 4; 3) 3; 4) – 27.
Ответы к упражнениям
Задание 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Номер ответа 2 1 4 2 2 1 4 3 2 1
III. Задачи на касательную, связанные с ее угловым коэффициентом
Задача 1. К графику функции f(x) = 3x+5x-15 в точке с абсциссой x=
проведена касательная. Найти
тангенс угла наклона касательной к оси Ох.
Решение.
f'(x) является угловым
коэффициентом касательной к графику функции у
=f(x) в точке x. Угловой
коэффициент прямой равен тангенсу угла,
образованного этой прямой с положительным
направлением оси Ох.
k= f '(x)=tg
, где x-
абсцисса точки касания, а - угол наклона касательной к оси Ох.
f '(x)=6x+5;
f '(x)= f '(
)=6. tg=6.
Ответ: 6.
Задача 2. Напишите уравнение касательной к графику функции f(x) = 0,5x2 – 3x + 1, проходящей под углом 45° к прямой y = 0.
Решение. f '(x)= x-3. Из условия f '(x) = tg 45° найдем x: x – 3 = 1, x= 4.
1. x= 4 – абсцисса
точки касания.
2. f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.
3. f '(4) = 4 – 3 = 1.
4. y = – 3 + 1(x – 4). y = x – 7 – уравнение касательной
Ответ: y=x-7.
Задача 3. Под каким углом к оси Ох наклонена
касательная к графику функции f(x)=xlnx в точке x=1.
Решение. k= f'(x)=tg.
Находим f '(x)= 2xlnx+x
=2xlnx+x=x(2lnx+1).
При x=1 получим f '(1)=1,
откуда tg
=1 и, значит,
=
.
Ответ: .
УПРАЖНЕНИЯ
К графику функции f(x) в точке с абсциссой x проведена касательная.
Найти тангенс угла наклона касательной к оси Ох
если:
1. f(x)= 2+x-2x , x=1. |
1) -1; 2) –7; 3) 3; 4) 0. |
2. f(x)=  , x=8. |
1) 1; 2) 32; 3) 8; 4) 16. |
| 3. f(x)= 5x-3x-7, x=-1. |
1) 21; 2) 14; 3) 9; 4) -21. |
| 4. f(x)= 3x-2lnx, x=2. |
1) 10; 2) 8; 3) 11; 4) 11,5. |
5. f(x)=  -x+14, x=1. |
1) -51; 2) –65; 3) 63; 4) 77. |
Найти угловой коэффициент касательной
проведённой к графику функции f(x) в точке x
| 6. f(x)=e-x, x=1. |
1) e-2; 2) –1; 3) e-1; 4) –2. |
| 7. f(x)=2sinx+2, x=0. |
1) -2; 2) 0; 3) 4; 4) 2. |
8. f(x)=4cosx-1, x= . |
1) 4; 2) 2; 3) -2; 4) 1. |
| 9. f(x)=2+3, x=4. |
1) 3,5; 2) 0,5; 3) 7; 4) 2,5. |
10. Под каким углом к оси Ох наклонена
касательная к графику функции f(x)=3lnx - x, в точке x=1. 1) 
2) 
3) arctg2; 4) 
Ответы к упражнениям
Задание 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Номер ответа 2 3 1 3 2 1 4 3 2 4
IV. Нахождение касательной проходящей через точку, внешнюю по отношению к заданному графику
Задача 1. Составить уравнения касательных к
кривой y = x- 4x+3,
проходящих через точку М(2;-5).
Решение.
При х =2, находим у = 4-8+3=-1
-5, то есть точка М не лежит на
кривой y = x-4x+3 и не
является точкой касания.
Пусть (х
) –
точка касания.
у ' =2х-4, k = 2x- 4. Составим
уравнение касательной, проходящей через точку М:
у=-5-(2х-4)(2-х).
Поскольку точка (х)
лежит на кривой, получим y = x
-4x+3.
Решим уравнение x-4x+3 = -5-(2х-4)(2-х);
x
-4x+3=2x-8x+3, x- 4x=0, (х)=0, (х)= 4.
Таким образом, получили две точки касания А(0;3) и
В(4;3). Итак, существуют две касательные к данной
кривой; одна из них имеет угловой коэффициент k= -4 (при х=0) и уравнение у = -4х+3, а другая –
угловой коэффициент k
=4
(при х=4) и уравнение
у=4х-13.
Ответ: у =-4х+3, у = 4х-13.
УПРАЖНЕНИЯ
Через точку М(х;у) проведены две касательные к графику функции f(x). Найти сумму абсцисс точек касания.
| 1. f(x)=4х-8х-2,
М(3;-90). |
1) 4; 2) 6; 3) 5; 4) 3. |
2. f(x)=7х -2х-5,
М(2;-93). |
1) 4; 2) 6; 3) 5; 4) 3. |
3. f(x)=6х -4х-1,
М(1;-23). |
1) 1; 2) 5; 3) 2; 4) 3. |
| 4. f(x)=х-8х-2,
М(1,5;-54). |
1) 2; 2) 4; 3) 5; 4) 3. |
| 5. f(x)=х-9х-5,
М(-1,5;4,5). |
1) -2; 2) -5; 3) 2; 4) - 3. |
| 6. f(x)=7х-7х-1,
М(2;-50). |
1) 4; 2) 6; 3) 5; 4) 3. |
7. Напишите уравнение касательной к графику
функции f(x)= х- 4х + 5, если
эта касательная проходит через точку А(0;4) и
абсцисса точки касания положительна.
1) у = 2х+4; 2) у = -2х+4; 3) у = -4х+4; 4) у = 4х-3.
8. Напишите уравнение касательной к графику
функции f(x)= х+ 3х + 5, если
эта касательная проходит через точку А(0;1) и
абсцисса точки касания отрицательна.
1) у = 2х+1; 2) у = х+1; 3) у = -х+1; 4) у = -2х-5.
9. Напишите уравнения касательных к графику
функции f(x)= -0,5 х+3, если
эта касательные проходят через точку на оси Оу и
образуют между собой угол 90o?.
1) у = х+3,5 и у = х-3,5 ; 2) у = -х+3,5 и у = х+3,5; 3) у = -х+4 и у =х+4; 4) у = -х+3 и у =х+3.
10. Через точку В(-2;3) проходят касательные к
графику функции у=
. Найти уравнения этих касательных.
1) у = 2х+2 и у = -22х+2; 2) у =-х+3 и у = х-3; 3)у =-0,5х+2 и у =х+4; 4)у =-0,5х+2 и у =-0,1х+2,8.
Ответы к упражнениям
Задание 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Номер ответа 2 1 3 4 4 1 2 4 2 4
V. Нестандартные задачи, связанные с касательной
1. Напишите уравнения касательных, проведенных к графику функции y = 2x2 – 4x + 3 в точках пересечения графика с прямой y = x + 3. Ответ: y = – 4x + 3, y = 6x – 9,5.
2. При каких значениях a касательная, проведенная к графику функции y = x2 – ax в точке графика с абсциссой x0 = 1, проходит через точку M(2; 3)? Ответ: a = 0,5.
3. При каких значениях p прямая y = px – 5 касается кривой y = 3x2 – 4x – 2? Ответ: p1 = – 10, p2 = 2.
4. Найдите все общие точки графика функции y = 3x – x3 и касательной, проведенной к этому графику через точку P(0; 16). Ответ: A(2; – 2), B(– 4; 52).
5. На кривой y = x2 – x + 1 найдите точку, в которой касательная к графику параллельна прямой y – 3x + 1 = 0. Ответ: M(2; 3).
6. Напишите уравнение касательной к графику функции y = x2 + 2x – | 4x |, которая касается его в двух точках. Сделайте чертеж. Ответ: y = 2x – 4.
7. На параболе y = x2 взяты две точки с абсциссами x1 = 1, x2 = 3. Через эти точки проведена секущая. В какой точке параболы касательная к ней будет параллельна проведенной секущей? Напишите уравнения секущей и касательной.
Ответ: y = 4x – 3 – уравнение секущей; y = 4x – 4 – уравнение касательной.
8. Найдите угол 
между касательными к графику функции y
= x3 – 4x2 + 3x + 1, проведенными в точках с
абсциссами 0 и 1. Ответ: 
= 45°.
9. Напишите уравнение всех общих касательных к графикам функций y = x2 – x + 1 и y = 2x2 – x + 0,5. Ответ: y = – 3x и y = x.
10. Определите, под какими углами парабола y = x2 + 2x – 8 пересекает ось абсцисс.
Ответ: 1 =
arctg 6, 2 =
arctg (– 6).
11. Прямая y = 2x + 7 и парабола y = x2 – 1 пересекаются в точках M и N. Найдите точку K пересечения прямых, касающихся параболы в точках M и N. Ответ: K(1; – 9).
12. При каких значениях b прямая y = 9x + b является касательной к графику функции y = x3 – 3x + 15? Ответ: – 1; 31.
13. При каких значениях k прямая y = kx – 10 имеет только одну общую точку с графиком функции y = 2x2 + 3x – 2? Для найденных значений k определите координаты точки.
Ответ: k1 = – 5, A(– 2; 0); k2 = 11, B(2; 12).
14. При каких значениях b касательная, проведенная к графику функции y = bx3 – 2x2 – 4 в точке с абсциссой x0 = 2, проходит через точку M(1; 8)?
Ответ: b = – 3.