Цели урока:

• Познакомить учащихся с историей задачи;
• Закрепить конструктивные умения при выполнении построений циркулем и линейкой;
• Формирование умений выделять существенные свойства фигур, четко формулировать выводы на основе наблюдений;
• Активизация деятельности учащихся, побуждая их к творческому поиску;
• Формирования навыков самообразования, самостоятельности.

Оборудование урока: ПК, проектор, чертежные инструменты.

Дидактические материалы: Энциклопедический словарь Юного математика, М. Педагогика”.1989, учебник геометрии под редакцией Атанасяна, программное обеспечение (презентация 1 PowerPoint, презентация 2).

Ход урока

I. Организационный момент

II. Историческая справка

Учитель:

Восемнадцатое столетие было временем удивительных судеб.

Люди без роду, без племени, оказались вознесенными на вершину общества.

И сегодня мы будем говорить, именно о таком человеке.

Слайд №1.

Член Института Франции (так в революционные годы именовалась Академия наук), незаурядный математик стал академиком за решение нескольких довольно сложных задач по построению циркулем и линейкой. Но мы его знаем как Французского государственного деятеля, полководца, императора Франции.

Слайд №2.

Семья была небогата и многодетна, но отец стремился дать сыновьям образование.

В1784 году Наполеон поступил в Парижскую военную школу. Бонапарт обнаружил исключительные способности к математике, оставаясь в этом предмете первым, и будучи уже Французским императором он находил время заниматься ею для собственного удовольствия, чувствовал в ней красоту и объект, достойный приложения остроумия и изобретательности. Одно из свидетельств тому несколько составленных им геометрических задач. И сегодня у нас есть с вами уникальная возможность рассмотреть задачу, составленную самим Наполеоном.

III. Исследование задачи

Слайд № 3

Задача Наполеона.

Чем являются центры равносторонних треугольников, построенных внешним образом на сторонах произвольного треугольника ABC?

Учитель:

Эта задача имеет довольно изящное решение. Но сначала определим к какому типу она относится – отвечают ученики.

Учитель:

Тогда несложно сформулировать тему сегодняшнего урока? – отвечают учащиеся.

Учитель:

Тема нашего урока – “Геометрическое исследование задачи при помощи чертежных инструментов”.

Объектом исследования является задача Наполеона.

Идет беседа учителя с классом по следующим вопросам:

Учитель:

Как вы думаете, чем являются центры равносторонних треугольников? – ученики выдвигают гипотезу и составляют план проверки гипотезы.

Слайд № 4

План исследования задачи

1. Построить произвольный треугольник;
2. На стороне AB построить равносторонний треугольник;
3. Построить центр O₁ равностороннего треугольника;
4. На стороне BC построить равносторонний треугольник;
5. Построить центр O₂ равностороннего треугольника;
6. На стороне AC построить равносторонний треугольник;
7. Построить центр O₃ равностороннего треугольника;
8. Соединить центры O₁, O₂, O₃;
9. Сравнить отрезки O₁O₂, O₂O_3, O₁O₃;
10. Вывод.

Учащиеся выполняют построение по плану.

Слайд № 5.

Учащиеся сверяют чертежи и делают вывод о том, чем являются центры равносторонних треугольников, построенных внешним образом на сторонах произвольного треугольника.

Учащиеся отвечают на вопросы учителя:

• Можно ли утверждать, что _?O₁O₂O₃ – равносторонний? – нет;

Учитель:

Да, такого исследования, которое мы провели недостаточно. Этот факт необходимо доказать.

Слайд № 5.

Идет беседа с классом по доказательству задачи.

Учитель:

• Чем являются точки O_1, O₂, O₃? – центры равносторонних треугольников;
• Расшифруйте фразу “Центр равностороннего треугольника” - точка, которая является центром вписанной и описанной окружности;
• Чем является центр вписанной окружности? – точка пересечения биссектрис.

Слайд №6.

Для доказательства выполним дополнительное построение: соединим центры O_1, O₂, O₃ с ближайшими двумя вершинами треугольника ABC.

Беседа с классом:

• Чем являются отрезки BO₂, CO₂… ? – биссектрисами; радиусами описанных окружностей;
• Что мы можем сказать о радиусах окружности? – они равны;
• Каким свойствам обладает равносторонний треугольник? – все углы равны по 60⁰;
• Что мы можем сказать про углы O₂BC, O₂CB? – углы равны по 30⁰;
• Чему равен угол BO₂C? - <BO₂C=180⁰-30⁰*2=120⁰:
• Что можно сказать про углы AO₁B, AO₃C? – они равны по 120⁰;
• Какая фигура помимо треугольников есть на чертеже? – шестиугольник AO₁BO₂CO₃.
• Чему равна сумма внутренних углов n – угольника? – 180⁰(n-2);
• Чему равна сумма внутренних углов шестиугольника? – 180⁰(6-2)=720⁰
• Чему равна сумма <O₁AO₃ + <O₁BO₂ + <O₂CO₃? – 360⁰;

Для дальнейшего доказательства отбросим невыпуклые четырехугольники:

Слайд № 6.

Что при этом получим? - шестиугольник AO₁BO₂CO₃.

Отрежем от четырехугольника треугольники O₁AO₃, O₂CO₃. Как показано на рисунке.

Слайд № 7.

Переместим их по плоскости, как указано на чертеже, получим четырехугольник O₁DO₂O₃.

Беседа по чертежу:

• Что можно сказать о O₁DO₂, O₁O₃O₂? – они равны;
• Докажите, что эти треугольники равны? –

1. O₁D=O₁O₃–по построению;
2. DO₂=O₃O - по построению;
3. O₁O₂ – общая.

O₁DO₂ =O₁O₃O₂ по трем сторонам, значит, все соответственные элементы равны:

<DO₁O₂=<O₃O₁O₂=60⁰, <DO₂O₁=<O₁O₂O₃=60⁰ , значит <O₁O₃O₂=60⁰, значит _?O₁O₂O₃ – равносторонний, что и требовалось доказать.

• Можно ли утверждать, что данная задача справедлива всегда? - Да.

Вывод по задаче делают ученики.

IV. Рефлексия. “Все в твоих руках” (Приложение “Ладонь”).

Ученики на листе бумаги обводят свою левую руку. Каждый палец – это позиция, по которой надо высказать свое мнение.

1. Большой – для меня было важным и интересным…
2. Указательный – по этой теме я получил прочные знания.
3. Средний – мне было трудно (мне не понравилось).
4. Безымянный – моя оценка психологической атмосферы…
5. Мизинец – мне было недостаточно…

V. Домашнее задание

1. Проверить, будут ли центры равносторонних треугольников, построенных внутренним образом на сторонах произвольного треугольника как на основаниях, являться равносторонним треугольником (Провести геометрическое исследование).
2. От природы каждый человек склонен к познанию и исследованию окружающего мира, вторая часть домашнего задания будет творческой: собрать материал, систематизировать его, оформить в виде презентации по теме: “Великие люди и математика”. Срок выполнения второй части домашнего задания до конца четверти, в каникулы пройдет конференция по данной теме.