Цели:
- Обобщить и систематизировать материал по теме “Решение тригонометрических уравнений”
- Провести диагностику усвоения системы знаний и умений ее применения для выполнения заданий стандартного уровня с переходом на более высокий уровень.
- Содействовать рациональной организации труда.
- Развивать познавательные интересы, память, воображение, мышление, внимание, наблюдательность, сообразительность.
- Выработать критерии оценки своей работы.
- Повышать интерес учащихся к нестандартным задачам.
- Формировать у учащихся положительный мотив учения.
Содержание темы. Исследование и решение тригонометрических уравнений, в которых требуется установить, при каких значениях параметра а уравнение имеет решения или не имеет их.
Тип урока. Интегрированный урок обобщения и систематизации знаний.
Организационные формы общения. Групповая, индивидуальная.
Оборудование.
- ноутбук,
- проектор,
- экран.
Структура урока:
- мотивационная беседа с последующей постановкой цели;
- актуализация опорных знаний – устная работа, с помощью которой ведется повторение основных фактов, ведущих идей и основных теорий на основе систематизации знаний.
- Диагностика усвоения системы знаний и умений и ее применение для выполнения практических заданий стандартного уровня с переходом на более высокий уровень.
- Подведение итогов урока.
- Творческое домашнее задание
- Рефлексия.
Ход урока
Мотивационная беседа. Решая тригонометрические уравнения, мы использовали различные способы. Их немало, повторим некоторые. На сегодняшнем уроке нам предстоит исследование и решение тригонометрических уравнений, в которых требуется установить, при каких значениях параметра а уравнение имеет решения или не имеет их.
Актуализация опорных знаний.
Устно среди уравнений (слайд)
- 2sin2x - 5cos2x = 3sinxcosx
- sin2x + cos22x = 3/2.
- cosx·sin7x = cos3x·sin5x,
- sin2x - 2sinx – 3 = 0,
- 2 cosx – sinx = 0,
- sinx + sin3x = sin5x – sinx,
- sinx – sin2x + sin3x – sin4x = 0,
- 3sin2x + 2cos2x +2 cosx = 0,
- sin2x - √3/3 sin2x = cos2x,
- sinx + cosx = 1,
выбрать те, которые решаются:
а) заменой переменной;
б) приведением к квадратному;
в) делением на старшую степень синуса или косинуса, т. е. как однородные;
г) понижением степени;
д) с помощью формул суммы или разности;
е) методом вспомогательного аргумента.
а) Приведением к квадратному и заменой переменной решаются уравнения 4, 8.
sin2x - 2sinx – 3 = 0
пусть sinx = t, тогда t2+ 2 t – 3 = 0, где t = -3; 1.
Учитывая, что |sinх|≤1, а -3<-1, имеем sinx = 1,
Х =π/2+2 π n, n Є Z.
Ответ: π /2+2 πn, n Є Z.
3sin2x + 2cos2x +2 cosx = 0
sin2x = 1 - cos2x, значит, 3 - 3cos2x + 2cos2x +2cosx = 0,
cos2x - 2cosx – 3 = 0,
пусть cosx = t, тогда t2- 2 t – 3 = 0, где t = 3; -1
3>1, значит, cosx = -1,
Х = π + 2 π n, n Є Z.
Ответ: π + 2 π n, n Є Z.
б) Делением на старшую степень решаются уравнения 1, 5, 9.
2sin2x - 5cos2x = 3sinxcosx
Разделив каждое слагаемое на cos2x,получим.
2tg2х - 3tgх - 5 = 0,
Пусть tgх = p, тогда 2p2 - 3p - 5 = 0, где p = 2,5; -1,
tgх =2,5, х = arctg2,5 + πn, n Є Z;
tgх = -1, х = π /4 + π n, n Є Z.
Ответ: arctg2,5 + π n, n Є Z; π /4 + π n, n Є Z.
√2 cosx – sinx = 0 |: cosx, cosx≠0,
tgх = √2, х = arctg√2 + πn, n Є Z
ответ: arctg√2 + π n, n Є Z
sin2x - √3/ 3sin2x = cos2x |: cos2x, cosx≠0
tg2х - √3/3 tg x- 1 = 0,
tgх = √3/6(1 ± √13), х = arctg √3/6(1 ± √13)+ π n, n Є Z;
ответ: arctg √3/6(1 ± √13)+ π n, n Є Z
в) Понижение степени используют при решении уравнения 2.
sin2x + cos22x = 3/2.
sin2x + 1/2(1 +cosx) =3/2,
2 sin2x + 1 +cosx -3 = 0,
2 - 2 cos2x + 1 +cosx -3 = 0,
2 cos2x - cosx = 0,
cosx(2 cosx – 1) = 0,
cosx = 0 или cosx = 1/2
Х = π /2 + π n, n Є Z или Х = ± π /3 + 2 π n, n Є Z.
Ответ: ± π /3 + 2 π n, n Є Z; π /2 + π n, n Є Z.
г) С помощью формул суммы или разности решаются уравнения 6, 7.
sinx + sin3x = sin5x – sinx
2 sin2x cosx - 2 sin2x cos3x = 0,
sin2x (cosx - cos3x) = 0,
sin22x sinx = 0,
sin2x = 0 или sinx = 0,
Х = π /2 n, n Є Z или Х = π n, n Є Z.
Объединив множества, получим, Х = π /2 n, n Є Z
Ответ: π /2 n, n Є Z
д) Методом вспомогательного аргумента, который состоит в преобразовании выражения asinx ± bcosx к виду √(a2 + b2) sin(x±φ), где φ = b/√(a2 + b2) решается уравнение 10.
sinx + cosx = 1.
Учитывая, что a= 1, b = 1, получим уравнение
√2 sin(x+φ) = 1, где φ = arcsin√2/2,
sin(x+ φ /4) = √2/2,
х = - π /4 + (-1) π /4+ π n, n Є Z.
Ответ: - π /4 + (-1) π /4+ π n, n Є Z.
Диагностика.
После повторения основ решения тригонометрических уравнений проверим ваше умение исследовать и решение тригонометрических уравнений, в которых требуется установить, при каких значениях параметра а уравнение имеет решения или не имеет их. Вам предлагаются следующие задания:
- найти а, при которых данные уравнения имеют решения:
- 2sinx -3 cosx = а.
Первое уравнение решаем вместе, рассуждая, дополняя друг друга.
Поделим обе части уравнения на √( 22+ 32) = √13, получим
2/√13 sinx – 3/√13cosx = а/√13. Так как (2/√13)2+ (3/√13)2 = 1, то, обозначая 2/√13 = cosφ, 3/√13 = sinφ, приведем уравнение к виду
sin(х – φ) = а/√13, где φ = arctg3/2. Из условия |sin(х – φ)|≤1 получаем
|а|≤√13.
Ответ: а Є [-√13;√13].
Над решением второго уравнения работаем группами, потом обменяемся идеями. Правильное решение спроецируем на экран.
- а cosx – sinx = 3.
Поделим обе части уравнения на √a2+ 1, получим
а cosx/√(a2+ 1) - sinx /√(a2+ 1) = 3/√(a2+ 1),где sinφ =а /√(a2+ 1)
cosφ =а /√(a2+ 1),отсюда, sin (х – φ) = 3/√(a2+ 1).
Из условия 3/√(a2+ 1)≤1 имеем a2+ 1≥9, значит,|а|≥2√2.
Ответ: а Є(-∞,-2√2]∪[ 2√2,+∞).
Вспомним решения уравнений 2 и 8 из устной работы, используем навыки при работе с третьим уравнением.
- sin2x - 5 cosx + а = 0.
Используя формулу sin2x + cos2x = 1, получим,
1 - cos2x - 5 cosx + а = 0.
После замены cosx = t уравнение примет вид f (t) = 0, где
До этого момента в работу детей вмешиваться не надо. Остальное необходимо разбирать совместно, привлекая рисунки параболы.
f (t) = t2+ 5 t – (а + 1 )
абсцисса вершины параболы у = t2+ 5 t – (а + 1 )
t = -5/2 не принадлежит [-1;1], следовательно, уравнение
f (t) = 0 на отрезке [-1;1] может иметь не более одного корня. Искомые значения а находим из неравенства f (-1) f (1) ≤ 0,
значит, (-5- а) (5 – а) ≤ 0.
Ответ: а Є [-5;5].
Поддержать групповую работу детей. Лучшую отметить, прокомментировать, если потребуется поправить.
- х + 2х sinφ - cos
Уравнение не имеет решений, если 1/4D < 0, т. е. при условии
sin2φ + cos2 φ + 2 sinφ < 0, sinφ > 1/2, откуда, учитывая условие
φ Є (-π /2; π /2), получаем φ Є (π /6; π /2).
Ответ: φ Є (π /6; π /2).
Решение этого уравнения прокомментировать, используя уже готовый слайд
- 2 sinх = (а + 1):(а – 3), а ≠ 3.
Уравнение не имеет корней при условии |(а + 1):(а – 3)|>2.
Так как | а + 1| >2 |а – 3|, то (а + 1 + 2а – 6)(а + 1 – 2а + 6)>0,
А, отсюда, ( 3а – 5)(а – 7) < 0, поэтому, а Є ( 5/3;7).
С учетом а ≠ 3, получим а Є ( 5/3;3)∪(3;7).
Ответ: аЄ( 5/3;3)∪(3;7).
Подведение итогов урока
Мы замечательно поработали. Те навыки, которые вы получили на уроке, помогут нам в дальнейшей работе. А чтобы вы их не потеряли, но продолжили развивать
выполните дома следующие задания.
Домашнее задание.
Выясните, при каких значениях параметра а уравнения имеют решения:
- sinх + 2 cosx = а,
- sin2x + 3sinx cosx - 2cos2x = а,
- sin2х = -3а2 + 6а – 4
При каких значениях параметра а уравнения не имеют решений.
- 2tg2х + 5tgх + а = 0,
- sin2x – 2(а – 3) sinx + а2 - 6а + 5 = 0
Рефлексия.
С учащимися обсуждается работа на уроке; выясняется, что нового узнали.