Урок "Иррациональные неравенства"

Филиппова Ирина Владимировна

Разделы: Математика

Цели урока:

ознакомить учащихся с приёмами решения иррациональных неравенств, представляющих сложность для самостоятельного изучения;
учить планировать работу, вырабатывать навыки конспектирования, развивать умение выделять главное, обобщать;
развивать память, внимание;
воспитывать ответственное отношение к учебному труду.

Оборудование: таблицы, памятки.

Ход урока

1. Организационный момент.

На доске записаны вопросы, на которые учитель даёт ответ в ходе выступления.

Вопросы для учащихся:

1) Какие неравенства называются иррациональными?
2) Что необходимо помнить при решении иррациональных неравенств?
3) Каковы приёмы решения иррациональных неравенств?
4) Каков примерный алгоритм решения иррациональных неравенств?

Задания для учащихся:

1) Составить тезисы в ходе выступления учителя.
2) Найти ответы на поставленные вопросы.
3) Заполнить таблицу.

2. Изложение материала лекции.

Под иррациональными неравенствами понимаются неравенства, в которых неизвестные величины находятся под знаком корня (радикала) .

При решении иррациональных неравенств используются те же приёмы, что и при решении иррациональных уравнений:

возведение обеих частей неравенства в одну и ту же степень;
введение новых (вспомогательных) переменных и др.

Обычный способ решения таких неравенств заключается в сведении их к иррациональным неравенствам (не содержащим корней) . Освободиться от корней иногда удаётся путём возведения обеих частей неравенства в степень. При этом, в силу того, что проверка полученных решений подстановкой затруднена, необходимо следить за тем, чтобы при преобразовании неравенств каждый раз получалось неравенство, равносильное данному.

При решении иррациональных неравенств следует помнить, что при возведении обеих частей неравенства в нечётную степень всегда получается неравенство, равносильное исходному неравенству. Если же обе части неравенства возводят в чётную степень, то полученное неравенство будет равносильно исходному и иметь тот же смысл лишь в случае, если обе части исходного неравенства неотрицательны.

Пример 1. Решить неравенство

<1.

Решение.

Обе части неравенства неотрицательны, можно возводить в квадрат, значит,

;

x<6;

Ответ:

Пример 2. Решить неравенство

>-1.

Решение.

Допустимые значения неравенства:

x+8x

Левая часть неотрицательна, правая – отрицательна, т.е. неравенство выполняется при всех допустимых x.

Ответ:

Пример 3. Решить неравенство

<x.

Решение.

Допустимые значения неравенства:

Правая часть неравенства может быть отрицательной, но с учётом допустимых значений, обе части неотрицательны. Возводим в квадрат:

Ответ:

Пример 4. Решить неравенство

< +5.

Решение.

Допустимые значения неравенства:

+61

Правая часть неравенства может быть отрицательной.

Рассмотрим два случая.

1.				;

В этом случае левая часть исходного неравенства неотрицательна, а правая отрицательна. Нет решений.

Ответ:

Пример 5. Решить неравенство

>x+1.

Решение.

Допустимые значения неравенства:

Правая часть неравенства может быть отрицательной.

Рассмотрим два случая.

1.

2. т. е. левая часть исходного неравенства неотрицательна, а правая отрицательна. Следовательно, та часть рассматриваемого участка, которая входит в область допустимых значений исходного неравенства, является его решением.