Готовимся к экзаменам. Обобщающий урок в 9-м классе по теме "Прогрессии"

ТИП УРОКА: интегрированный с мультимедийным сопровождением.

ЦЕЛИ:

1. обобщить знания по теме “Прогрессии”, повторить все формулы по теме;
2. показать актуальность темы, ее применение в жизнедеятельности человека;
3. развивать творческие способности учащихся;
4. продолжить подготовку к выпускному экзамену.

ОБОРУДОВАНИЕ:

1. таблица “Прогрессии”;
2. компьютерное обеспечение (презентация учеников).

ПЛАН УРОКА:

1. вводная часть (исторические сведения о прогрессиях);
2. сообщение цели урока;
3. проверка домашнего задания (презентация учащимися своих задач;
4. решение задач;
5. задание на дом;
6. самостоятельная работа (разноуровневая).

ВВОДНАЯ ЧАСТЬ: ИСТОРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ О ПРОГРЕССИЯХ

(сообщают ученики)

Первые представления об арифметической и геометрической прогрессиях были еще у древних народов. В клинописных вавилонских табличках и египетских папирусах встречаются задачи на прогрессии и указания, как их решать.

В древнеегипетском папирусе Ахмеса (ок. 2000 до н.э.) приводится задача: “Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между 10 людьми так, чтобы разность мер ячменя, полученного каждым человеком и его соседом, равнялась 1/8 меры”.

В этой задаче речь идет об арифметической прогрессии. Условие задачи, пользуясь современными обозначениями, можно записать так: S=10, d=1/8, а1, а2, …, а10.

В одном древнегреческом папирусе приводится задача: “Имеется 7 домов, в каждом по 7 кошек, каждая кошка съедает 7 мышей, каждая мышка съедает 7 колосьев, каждый из которых, если посеять зерно, дает 7 мер зерна. каждая кошка съедает 7 мышей, каждая мышка съедает 7 колосьев, каждый из которых, если посеять зерно, дает 7 мер зерна. нужно подсчитать сумму числа домов, кошек, мышей, колосьев и мер зерна.”

Решение этой задачи приводит к сумме пяти членов геометрической прогрессии.

О прогрессиях и их суммах знали древнегреческие ученые. Так, им были известны формулы n первых чисел последовательности натуральных, четных и нечетных чисел.

Архимед (3 век до н. э.) для нахождения площадей и объемов фигур применял “атомистический метод”, для чего ему потребовалось находить суммы членов некоторых последовательностей. Он вывел формулу суммы квадратов натуральных чисел и показал, как найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Отдельные факты об арифметической и геометрической прогрессиях знали китайские и индийские ученые. Об этом говорит, например, известная индийская легенда об изобретателе шахмат.

В древней индии шах Шерам посулил любую награду за интересную игру, к которой он долгой время не потерял бы интерес. Ученый Сета изобрел шахматы и попросил в награду за свое изобретение столько пшеничных зерен, сколько их получится, если на первую клетку шахматной доски положить одно зерно, на вторую - в 2 раза больше, т. е. 2 зерна, на третью - еще в 2 раза больше, т. е. 4 зерна, и т. д. до 64 клетки. К ужасу шаха он не мог выполнить пожелание ученого. Число зерен, о которых идет речь, является суммой шестидесяти четырех членной геометрической прогрессии, первый член которой равен 1, а знаменатель равен 2. Вот это число:

18 446 744 073 709 551 615. Такое количество зерен пшеницы можно собрать лишь с урожая планеты, поверхность которой примерно в 2000 раз больше поверхности Земли.

Термин “прогрессия” был введен римским автором Боэцием (в 6 веке) и понимался в более широком смысле, как бесконечная числовая последовательность. Названия “арифметическая” и “геометрическая” были перенесены из теории непрерывных пропорций, которыми занимались древние греки.

Формула суммы членов арифметической прогрессии была доказана древнегреческим ученым Диофантом (в 3 веке). Формула суммы членов геометрической прогрессии дана в книге Евклида “Начала” (3 век до н.э.).

Известна интересная история о знаменитом немецком математике К. Гауссе (1777 - 1855), который в детстве обнаружил выдающиеся способности к математике. Учитель предложил учащимся сложить все натуральные числа от 1 до 100. Маленький Гаусс решил эту задачу за минуту. Сообразив, что суммы 1+100, 2+99 ит. д. равны, он умножил 101 на 50, т. е. на число таких сумм. Иначе говоря, он заметил закономерность, которая присуща арифметической прогрессии.

ПРОВЕРКА ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ (Приложение 2)

Задачи на арифметическую и геометрическую прогрессию класс решает по вариантам. Первый вариант - на арифметическую, второй - на геометрическую. Затем проводится устный обмен решениями. От к5аждого варианта по одному человеку решают на доске.

№6.1(1) (2 балла)

Пятый член арифметической прогрессии равен 8,4, а десятый член равен 14,4.

Найдите пятнадцатый член этой прогрессии.

№6.17(1) (4 балла)

Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 3 и не превосходящих 150.

№6.29(1) (6 баллов)

Решить уравнение (Х+1)+(Х+5)+(Х+9)+…+(Х+157)=32000.

№6.8(1) (2 балла)

В геометрической прогрессии двенадцатый член равен трем в пятнадцатой степени и четырнадцатый член равен трем в семнадцатой степени. Найдите первый член.

№6.26(1) (4 балла)

Найдите сумму первых восьми членов геометрической прогрессии, второй член которой равен 6, а четвертый равен 24.

№6.36(1) (6 баллов)

Сумма первого и пятого членов геометрической прогрессии равна 51, а сумма второго и шестого членов равна 102. сколько членов этой прогрессии, начиная с первого, нужно сложить, чтобы их сумма была равна 3069?

ЗАДАНИЕ НА ДОМ

Из сборника Л. В. Кузнецовой решить на выбор из раздела 6 по две задачи на арифметическую и геометрическую прогрессии. Работу сдать через неделю.

(по разноуровневым дидактическим материалам)

№5 (а, в) (стр. 28)

Представить в виде обыкновенной дроби число: а) 0,(7), в) 0,4(6).

№4 (стр. 63)

Второй член бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем q, где его модуль меньше 1, а сумма прогрессии равна 54. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.

№5 (стр. 100)

Дан квадрат со стороной 12см. В него вписан квадрат, вершинами которого служат середины сторон данного квадрата. В полученный квадрат таким же способом вписан новый квадрат и т. д. Сравните площадь данного квадрата с суммой площадей вписанных квадратов.

Приложение 1

ЛИТЕРАТУРА:

1. Л.Г. Мордкович, Учебник “Алгебра 9 класс”, М. “Мнемозина”, 2000г.
2. С.А. Теляковский, учебник “Алгебра 9 класс”, М “Просвещение”, 2003г.
3. Л.В. Кузнецова и др., “Сборник для подготовки к итоговой аттестации в 9 классе”, М “Просвещение”.
4. М.Б. Миндюк, Н. Г. Миндюк, “Разноуровневые дидактические материалы по алгебре. 9 класс”, Издательский дом “Генжер”, 1999г.