Серия уроков, которая включает и объяснение нового материала, и уроки закрепления материала, решения задач, и уроки контроля. Уроки разработаны по учебнику “Геометрия 10–11”, авторы: Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и другие, 12 издание – М.: Просвещение, 2003.
Уроки № 1, № 2
Тема: “Цилиндр. Понятие. Площадь поверхности цилиндра”
Цели:
- Формирование умений задавать вопросы и строить цепочку логических рассуждений, выводов.
- Формирование навыков работы с текстом, с новыми понятиями.
- Знакомство с понятием цилиндра;
- Формирование навыков доказательства теорем стереометрии.
Задачи:
- Учить наблюдать, рассуждать, анализировать.
- Учить грамотной математической речи, развивать все виды памяти.
Ход урока:
1. Введение в тему:
С этим геометрическим телом человек знаком давно. Этому способствовали виды стволов деревьев, из которых со временем начали изготавливать балки для строительства жилищ, мостов и других сооружений. Ещё 3–4 тысячи лет назад люди научились украшать храмы и дворцы высокими колоннами, для чего из каменных глыб вытёсывали это. Древний термин названия этого происходит от греческого слова “килиндро” – вращаю, катаю. “Килиндрос” – свиток, валик. Евклид, указывая на способ образования этого, говорит, что если прямоугольник, вращающийся около одной из сторон, снова вернётся в то же самое положение, из которого он начал двигаться, то описанная фигура и будет этим геометрическим телом.
Как вы думаете, о чём идёт речь?
(Учащиеся предлагают варианты ответов)
Вот и поговорим сегодня о геометрическом теле, о цилиндре.
2. Работа с новым материалом.
Рассмотрим рисунок цилиндра, изображённый в учебнике на странице 120, составим перечень новых понятий и покажем на рисунке в тетради.
Попробуем сформулировать определение цилиндра.
Цилиндр – это…
Как может быть образован цилиндр?
Какие сечения могут быть образованы секущей плоскостью при пересечении цилиндра? (Готовые рисунки можно рассмотреть в учебнике.)
Отдельно в цилиндре выделяют боковую поверхность и основания. Чтобы более наглядно представить боковую поверхность, возьмём лежащий на столе лист бумаги и свернём в виде свитка. Теперь вернём лист в первоначальное положение. Какую геометрическую фигуру вы получили? Этот прямоугольник называют развёрткой боковой поверхности цилиндра.
Как вы думаете, чему равна площадь боковой поверхности?
Предлагаю доказать теорему о площади боковой поверхности цилиндра.
(Учащиеся приводят доказательство, основываясь
на том, что за площадь боковой поверхности
цилиндра принимают площадь его развёртки, т.е.
прямоугольника, и приходят к формуле: S= 2
rh). Вывод и доказательство
учащиеся записывают в тетрадь.
Кроме площади боковой поверхности у цилиндра вычисляют и площадь полной поверхности. Чем образована полная поверхность цилиндра? По какой формуле можно вычислить её площадь?
S= 2rh +2r2.
3. Закрепление нового материала.
Рассмотрим применение данного материала при решении практических задач.
Страница 123 учебника, № 539, № 522, № 526.
(Комментарии учащимися каждой задачи у доски и оформление в тетради).
4. Домашнее задание:
- выучить определения, теорему;
- № 523;
- составить практическую задачу по данной теме.
5. Рефлексия.
А теперь вернемся к тому, с чем познакомились в течение этих двух уроков. Какие моменты уроков вам запомнились больше всего, что показалось трудным, какой этап урока показался самым успешным?
Оцените свою активность на уроке по 10 балльной шкале.
(Отметку каждый учащийся ставит в тетради).
6. Составление синквейна (на выполнение задания дается 2–3 мин).
Цилиндр
Знакомо, но много неизвестно
Построить, найти, вычислить
В свои силы надо верить
Интересно!
Уроки № 3, № 4
Тема “Решение задач с цилиндром”
Цели:
- Формирование навыков по решению задач.
- Развитие навыков самостоятельной работы при решении задач.
- Развитие индивидуальных способностей учащихся посредством дифференцированного подхода в обучении.
Задачи:
- Научить решать задачи, применяя полученные теоретические знания.
- Закрепить вычислительные навыки.
- Создать условия для дифференцированной работы учащихся в зависимости от их темпа усвоения материала.
- Создать условия для развития индивидуальных способностей учащихся.
Ход урока:
1. Начнём с представления тех практических задач, которые учащиеся приготовили дома.
2. Повторение теоретических знаний. Подготовка к решению задач.
Что необходимо знать, чтобы успешно решить представленную задачу?
(Ответ учащихся у доски по готовым рисункам).
- Что такое цилиндр, его составляющие?
- Как найти площадь боковой поверхности цилиндра?
- Как найти площадь полной поверхности цилиндра?
2. Решение задач.
Начнём с задач-алгоритмов, т.е. с задач, в которых задан план решения.
Рисунки и условия задач представлены на слайдах. Работа идёт в группах (класс разбит на 4–5 групп по принципу “сильный + средний + слабый”). На обсуждение первой задачи даётся 5–7 минут, затем одна из групп защищает решение у доски. Остальные группы имеют право представить своё решение, задать вопросы. Оценивается не только ответ, но и грамотное дополнение или вопрос.
3. Затем идёт такая же работа со второй задачей: концы
отрезка АВ, равного а, лежат на окружностях
оснований цилиндра. Радиус цилиндра равен r ,
высота h, а расстояние между прямой АВ и осью ОО1
цилиндра равно d.
Объясните, как построить отрезок, длина
которого равна расстоянию между скрещивающимися
прямыми АВ и ОО1.
Плоскость 
,
параллельная оси цилиндра, отсекает от
окружностей основания дугу АmD с градусной мерой
дуги . Радиус цилиндра
равен r, высота h, а расстояние между осью ОО1
цилиндра и плоскостью
равно d.
- Докажите, что сечение цилиндра плоскостью есть прямоугольник.
- Объясните, как построить отрезок, длина которого равна расстоянию между осью цилиндра и секущей плоскостью.
- Найти АD, если r = 10см, = 60°.
- Составьте (и объясните) план вычисления площади сечения по данным d, r, h.
4. Самостоятельная работа по задачам.
Перед решением самостоятельной работы учащимся предлагается выбрать уровень, на котором каждый будет работать самостоятельно. Для этого учитель поясняет нормы оценок.
1 уровень – обязательный. При решении задач надо знать основные формулы и не требуется приведения доказательств или больших теоретических выкладок.
Задачи для первого уровня:
(1 вариант) развёртка боковой поверхности цилиндра является квадратом, диагональ которого равна 10 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
(2 вариант) развёртка боковой поверхности цилиндра является прямоугольником, диагональ которого равна 8 см, а угол между диагоналями – 30°. Найти площадь боковой поверхности цилиндра.
2 уровень для более подготовленных учащихся. Решение требует более полных знаний не только в стереометрии, но и в планиметрии, предусматривает анализ рисунка к задаче.
Задачи для второго уровня:
(1 вариант) плоскость, параллельная оси цилиндра, отсекает от окружности основания дугу в 120°. Высота цилиндра равна 5 см, радиус цилиндра – 2V3 см. Найти площадь сечения.
(2 вариант) сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси, есть квадрат. Эта плоскость отсекает от окружности основания дугу в 90°. Радиус цилиндра равен 4 см. Найти площадь сечения.
Домашнее задание:
- повторить формулы площадей полной и боковой поверхностей цилиндра;
- № 527а;
- построить все сечения цилиндра.
5. Итог уроков:
Оценки за устные ответы уже выставлены на первом уроке, оценки за решение задач будут известны на следующем уроке. Я сейчас предлагаю оценить свои решения самим по пятибалльной системе и поставить оценку в тетрадь после выполненной самостоятельной работы.
Уроки № 5, № 6
Тема “Понятие конуса. Площадь поверхности конуса. Усечённый конус”
Цели:
- Формирование умений задавать вопросы и строить цепочку логических рассуждений, выводов.
- Формирование навыков работы с текстом, с новыми понятиями.
- Знакомство с понятием конуса.
- Формирование навыков доказательства теорем стереометрии.
Задачи:
- Учить наблюдать, рассуждать, анализировать.
- Учить грамотной математической речи, развивать все виды памяти.
Ход урока:
1. Введение в тему, введение новых понятий.
Работа с учебником по абзацам (последующий текс закрывается листом бумаги).
Прочитали первый абзац, проанализировали и выдвинули гипотезу о том, что написано дальше. Открыли следующий абзац, прочитали, сравнили с тем, о чём мы говорили. И так идёт работа с пунктом “Понятие конуса”. Такой вид работы позволяет активизировать мыслительную деятельность учащихся сразу же на первом этапе изучения нового материала, что увеличивает процент успешности при запоминании и воспроизведении.
2. Систематизация новых понятий, вывод формул.
Чтобы систематизировать весь прочитанный материал, оформим на доске и в тетрадях кластер.
В первом пункте учебника мы познакомились с понятием конуса. Многие термины совпадают с терминами цилиндра. Найдём различия и сходство между ними. Проведём сравнительный анализ и заполним в тетради таблицу. (Приложение 1)
Вот и появились два новых вопроса, на которые требуется дать ответы.
Постараемся сами найти формулы, по которым можно вычислить площади боковой и полной поверхностей, используя аналогию с цилиндром.
(Учащиеся приводят доказательство, основываясь
на том, что за площадь боковой поверхности конуса
принимают площадь развёртки, т.е. кругового
сектора, и приходят к формуле: S= rL). Вывод и доказательство учащиеся
записывают в тетрадь.
Кроме площади боковой поверхности у конуса вычисляют и площадь полной поверхности. Из чего составлена полная поверхность конуса? По какой формуле можно вычислить её площадь?
S= rL +r2.
3. Применение полученных знаний при решении практических задач.
Колпак к костюму клоуна имеет вид конуса, радиус основания которого равен 8см, а высота колпака 12см. Сколько метров ткани надо купить, чтобы обтянуть этот колпак.
4. Домашнее задание:
- проговорить кластер;
- повторить вывод формул;
- составить практическую задачу на применение формул.
5. Итог урока: рефлексия.
- Назвать 10 основных терминов, связанных с понятием конуса.
- Какие формы работы на уроке показались вам наиболее эффективными, наименее эффективными?
- Каков основной итог урока для вас лично?
Уроки № 7, № 8
Тема “Решение задач с конусом”
Цели:
- Формирование навыков по решению задач.
- Развитие навыков самостоятельной работы при решении задач.
- Развитие индивидуальных способностей учащихся посредством дифференцированного подхода в обучении.
Задачи:
- Научить решать задачи, применяя полученные теоретические знания.
- Создать условия для дифференцированной работы учащихся в зависимости от их темпа усвоения материала.
- Создать условия для развития индивидуальных способностей учащихся.
Ход урока:
1. Повторение вопросов теории, подготовка к решению задач.
2. Решение задач по готовым чертежам. Устный разбор простейших задач с повторением формул и основных понятий. (Приложение 2)
Анализ решения задач:
Какие знания, полученные в 11-м классе, пригодились при решении задач?
Какие знания из раздела планиметрии помогли решить задачи?
Решение задач с оформлением в тетради.
Класс разбивается условно на три группы:
1 – “сильные” учащиеся, которые способны к поиску решения задач самостоятельно без помощи учителя;
2 – “средние” учащиеся, которые способны решать задачи с небольшой помощью учителя;
3 – “слабые” учащиеся, которые не могут решать задачи без помощи учителя.
Каждой группе подбираются задачи соответствующего уровня. Учащиеся имеют право сами выбрать форму работы и определить, в какой группе они будут работать на уроке и в течение урока перейти из одной группы в другую.
Учащиеся в 1 группе – это учащиеся с высоким темпом продвижения в обучении. Их обычно в классе немного. На уроке они работают самостоятельно.
Задачи для первой группы:
- Прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см вращается вокруг меньшего катета. Найти площадь боковой и полной поверхностей образованного при этом вращении конуса.
- Площадь осевого сечения конуса равна 0,6 см2. Высота конуса равна 1,2 см. Вычислить площадь полной поверхности конуса.
- Образующая конуса наклонена к плоскости
основания под углом . В
основании конуса вписан треугольник, у которого
одна сторона равна а, а противолежащий угол равен
. Найти площадь
полной поверхности конуса.
2 группа – это учащиеся со средним темпом продвижения в обучении. Это самая большая группа. Они способны к самостоятельному поиску решений, но иногда не могут самостоятельно выстроить всю цепочку, поэтому требуются консультации учителя. Эта группа работает полусамостоятельно.
Задачи для второй группы:
- Угол между образующей и осью конуса равен 45°, образующая 6,5 см. Найти площадь боковой поверхности конуса.
- Найти высоту конуса, если площадь его осевого сечения равна 6 дм2, а площадь основания равна 8 дм2.
- Высота конуса равна 10 см. Найти площадь сечения, проходящего через вершину конуса и хорду основания, стягивающую дугу в 60°, если плоскость сечения образует с плоскостью основания конуса угол 30°.
3 группа – это учащиеся с низким темпом продвижения в обучении. Их обычно немного. Они не могут самостоятельно планировать решение задачи, поэтому работают под контролем учителя.
Задачи для третьей группы:
- Высота конуса равна 15 см, а радиус основания равен 8 см. Найти образующую конуса.
- Образующая конуса, равная 12 см, наклонена к плоскости основания, под углом 45°. Найти площадь основания конуса.
- Высота конуса равна 12 см. Через образующие проведена плоскость, составляющая угол 60° с плоскостью основания конуса. Хорда стягивает дугу в 30°.
- Доказать, что сечение конуса плоскостью, проходящей через образующие – равнобедренный треугольник.
- Объяснить, как построить линейный угол двугранного угла, образованного секущей плоскостью и плоскостью основания.
- Найти расстояние от вершины конуса до хорды.
- Составить план вычислений длины данной хорды и площади сечения.
По истечении 20 минут работы на экране демонстрируются решения задач первой и второй групп. Ребята сравнивают представленные решения со своими. Если они отличны, то приводят свои решения на доске.
3. Подведение итога урока:
Каждый оценивает свою работу на уроке по пятибалльной шкале в оценочной таблице.
4. Домашнее задание:
- Учащиеся из первой и второй групп меняются своими заданиями (решить любые две задачи из карточки).
- Учащимся из третьей группы выдаются индивидуальные карточки.
5. Рефлексия:
Учащимся представляется два столбика ассоциативных слов. Они должны составить из них словосочетания, которые выразят их отношение к уроку, к формам работы на уроке, к эффективности урока. (Приложение 3)
Урок № 9
Тема “ Подготовка к теоретическому зачёту по темам “Цилиндр и конус”
Задачи:
- Учить наблюдать, рассуждать, анализировать.
- Учить задавать вопросы, учить сотрудничеству, сотворчеству.
- Учить грамотной математической речи.
- Расширить знания учащихся по теме “Тела вращения”.
- Продолжить формировать навыки по доказательству теорем курса стереометрии.
- Научить доказывать утверждения, вытекающие из теорем, представленных в учебнике.
- Научить учащихся работать с дополнительной литературой.
Ход урока:
1. Урок проходит в компьютерном классе. На нём присутствует учитель информатики в виде консультанта по работе на компьютере.
Учащимся предлагается самостоятельно сформировать группы. При формировании, во-первых, учитывается желание учащихся работать совместно; во-вторых, наличие интереса к выбранной теме. Учитель контролирует способность группы работать самостоятельно, способность выдвигать и разрабатывать идеи.
Каждая группа выбирает тему проекта, над которой она работает в течение урока и дома. На следующий урок учащиеся должны представить проект и его защиту.
В результате обсуждений возникает несколько тем проектов:
- Погуляем по конусу.
- Сравним конус и цилиндр.
- А всё ли мы знаем о цилиндре и конусе?
- Цилиндр и конус вокруг нас.
Учащиеся при создании проектов могут воспользоваться:
- Учебником.
- Записями в тетради.
- Дополнительной литературой из читального зала.
- Консультацией учителя.
- Учебными дисками.
Каждая группа в течение урока должна спланировать работу над проектом, распределить обязанности по подбору материала, его обработки и защите, оформить титульный лист проекта, определить цели, задачи своего проекта.
Учитель направляет работу учащихся так, чтобы каждый участник проекта был не пассивным наблюдателем, а активным участником. Каждой группе выдаётся таблица взаимоконтроля.(Приложение 4)
2. Домашняя работа:
- доделать проект,
- подготовить его защиту.
3. Рефлексия:
- Довольны ли выбором темы проекта?
- Комфортно ли вы чувствовали себя при совместной работе?
- Не хотите ли вы сменить группу или тему?
Урок № 10
Тема “Теоретический зачёт по темам
“Цилиндр и конус”
(Приложение 5)