Методическая разработка урока алгебры в 8-м классе по теме "Квадратные уравнения"

Разделы: Математика

Цель урока: систематизирование и обобщение знаний учащихся по данной теме.

Задачи урока:

  • учебно-познавательная: формирование умений применять теорему Виета и свойства корней и коэффициентов квадратного уравнения в стандартных и нестандартных ситуациях;
  • развивающая: развитие умений самостоятельно работать, повышение интереса к предмету, развитие логического мышления;
  • воспитательная: воспитание настойчивости и трудолюбия.

Средства обучения:

  • портрет Франсуа Виета,
  • карточки “Общий вид квадратных уравнений и формулы их корней”,
  • набор карточек для устного решения квадратных уравнений,
  • раздаточный материал для групповой и самостоятельной работы,
  • блокноты с копировальной бумагой,
  • картина Богданова-Бельского “Устный счет”,
  • магнитофон,
  • таблицы и раздаточный материал для проведения рефлексии.

Тип урока: обобщающий.

 

ЭПИГРАФ:

“Посредством уравнений, теорем
Он уйму всяких разрешал проблем.
И засуху предсказывал, и ливни -
Поистине его познанья дивны”.

Госер

<Рисунок1>

Структура урока

І. Организационный этап.

Учитель сообщает тему урока и его цель.

Приводит схему построения урока:

  1. Историческая справка.
  2. Повторение материала.
  3. Тестовые вопросы.
  4. Групповая работа.
  5. Решение уравнений самостоятельно.

ІІ. Информационно-обобщающий этап.

1. Историческая справка.

Простые уравнения люди научились решать более трёх тысяч лет назад в Древнем Египте, Вавилоне и только 400 лет назад научились решать квадратные уравнения. Одним из тех, кто внёс большой вклад в развитие математики, был французский математик, с именем которого мы познакомились на последних уроках.

Учитель задает вопросы:

Как имя этого математика?

Какую очень важную теорему он доказал?

Всегда ли можно применять теорему Виета?

Учащиеся принимают участие в беседе , отвечают на вопросы учителя.

Учитель предлагает открыть тетради, записать число и тему урока.

2. Устная работа.

Для решения уравнений необходимо знать материал, изученный ранее. Работаем устно:

а) 32; (-10)2; (-7)2; (1\4)2;
б) –4x 2x5; -4x1x(-3); -4x3x(-2); -4x5x4;
в) img3.gif (93 bytes)25; img3.gif (93 bytes)0; img3.gif (93 bytes)8100; img3.gif (93 bytes)1/9;img3.gif (93 bytes)4/7; img3.gif (93 bytes)4/25.

Сделать вывод: при умножении нечётного числа отрицательных множителей результат отрицательный , чётного числа отрицательных множителей – положительный результат.

3. Систематизация и обобщение.

Учитель задаёт вопросы:

1. Какие уравнения называются квадратными?

2. Какие из данных уравнений, записанных на доске, являются квадратными?

f) 48х2 – х3 + 9 = 0;
б) -2х2 + 3х + 6 = 0;
в) 25 – 26х + х2 = 0.

Укажите в квадратных уравнениях а, b, с.

Обратить внимание учащихся на то, что члены уравнения под в) расположены не так, как требует общий вид квадратного уравнения.

3 . А как называются квадратные уравнения, в которых коэффициент а = 1?

4. Приведите примеры приведённых квадратных уравнений.

5. Какие уравнения называют неполными квадратными?

(учащиеся записывают на доске общий вид неполных квадратных уравнений ах2 + bх = 0, ах2 + с = 0, ах2 = 0.)

6. Уравнения какого вида имеет всегда два решения? Одно решение?

Какое уравнение может не иметь решений?

7. Все ли уравнения, записанные на доске, имеют решение?

1).х2 = 25;
2).64х2 – 1 = 0;
3).х2 = - 4;
4).3х2 – 6 = 0;
5).2х2 + 3х = 0;
6).6х2 = 18х.

Назовите корни первого уравнения. Какие из этих уравнений решаются разложением на множители?

Решим остальные уравнения.

Три ученика решают у доски уравнения 2), 4), 5), уравнение 6) один ученик решает на переносной доске, а учащиеся работают в тетради самостоятельно.

8. Как узнать, не решая уравнение , имеет ли полное квадратное уравнение действительные корни?

Учащиеся отвечают на вопросы.

Если а и с имеют противоположные знаки, то уравнение имеет действительные корни.

9. Как, не решая уравнение, определить знаки корней?

Если свободный член – положительное число, то корни имеют одинаковые знаки, если свободный член – отрицательное число, то корни имеют противоположные знаки.

10. Если корни имеют одинаковые знаки, как определить: положительны ли они или отрицательны?

Если второй коэффициент отрицательный, то корни положительны; если второй коэффициент положительный, то корни отрицательны.

Устно: Определите знаки корней:

а).2х2 + 3х – 5 = 0,

б).5х2 – 7х + 2 = 0.

9.А теперь вспомним, как решаются уравнения.

Прикрепите к каждому из уравнений карточку общего вида этого уравнения, формулу вычисления дискриминанта и формулу его корней:

а).3х2 – 2х – 5 = 0,

б).2х2 – 5х – 3 = 0,

в).х2 + 4х + 3 = 0.

Ученики по очереди прикрепляют карточки с соответствующими формулами на магнитной доске:

а). б). в).

Уравнения а), б) решают у доски 2 ученика; уравнения в) класс решает устно по теореме Виета: х1 = -1, х2 = -3.

Решите устно:

а) х2 + х – 12 = 0, (х1 = -4, х2 = 3)

б) х2 – 3х + 2 = 0, (х1 = 2, х2 = 1).

4. Новые способы отыскания корней

Учитель предлагает записать формулу квадратного уравнения:

ах2 + bх + с = 0, а 0.

1). Если а + b + с = 0, то х1 = 1, х2 = с/а

2).Если а – b + с = 0, то х1 = -1, х2 = -с/а.

Решим уравнения, записанные на доске, этим способом:

1) 2х2 + 3х – 5 = 0,

а = 2, b = 3, с = -5.

2) 2х2 + 3х + 1 = 0,

а = 2, b = 3, с = 1.

Учитель предлагает проверить полученные корни с помощью формул.

Учащиеся устно вычисляют корни уравнений новым способом:

а + b + с = 2 + 3 –5 = 0,

х1 = 1, х2 = -5/2 = -2,5.

а – b + с = 2 – 3 + 1 = 0,

х1 = -1, х2 = -1/2 = -0,5.

I вариант проверяет первое уравнение,

II вариант проверяет второе уравнение.

5. Устное решение уравнений.

1) х2 + 17х – 18 = 0, а = 1, b = 17, с = -18,
а + b + с = 1 + 7 – 18 = 0,
х1 = 1, х2 = -18;
2) 7х2 + 2х – 5 = 0, а = 7, b = 2, с = -5,
а – b + с = 7 – 2 – 5 = 0,
х1 = -1, х2 = +5/7;
3) х2 + 23х – 24 = 0, а = 1, b = 23, с = -24,
а + b + с = 1 + 23 – 24 = 0,
х1 = 1, х2 = -24;
4) 5х2 – 4х – 9 = 0. а = 5, b = -4, с = -9,
а – b + с = 5 + 4 – 9 = 0,
х1 = -1, х2 = 9/5.

III. Тестовые вопросы.

Работа выполняется в блокнотах через копирку.

Это задание на слух, повторяю только два раза. Залог успеха – огромное внимание.

Учитель открывает на доске восемь квадратных уравнений:

  1. 2х2 – 8х + 4 = 0,
  2. 3х2 + 4х – 1 = 0,
  3. 4х2 – 8 = 0,
  4. х2 – 10х + 100 = 0,
  5. 5х2 + 6х = 0,
  6. х2 – 8х + 12 = 0,
  7. 3х2 = 0,
  8. 14 – 2х2 + х = 0.

Вопросы:

  1. Выпишите номера полных квадратных уравнений.
  2. Выпишите коэффициенты а, b, с в уравнении 8).
  3. Выпишите номер неполного квадратного уравнения, имеющего один корень.
  4. Какое из неполных квадратных уравнений решается разложением на множители?
  5. Выпишите коэффициенты а, b, с в 5) уравнении.
  6. Найдите дискриминант в уравнении 6), сделайте вывод о .количестве корней.
  7. Найдите D1 в 4) уравнении, сделайте вывод о количестве корней.
  8. Найдите сумму произведение корней в 6) уравнении.

Учитель предлагает сдать листочки и проверить правильность выполнения заданий по образцу на переносной доске.

Критерии оценок:

8 заданий верно – “5”,

6 – 7 заданий – “4”,

4 – 5 заданий – “3”.

IV. Зрительная разминочная гимнастика. (релаксация)

V. Информационно-обобщающий этап.

Решение уравнений, приводимых к квадратным.

Вместе с учащимися повторить алгоритм решения уравнений, приводимых к квадратным. Учитель открывает обратную часть доски с алгоритмом решения.

Выполнить тождественные преобразования: перенесение выражения из правой части в левую, меняя знаки; деление обеих частей уравнения на одно и то же число, применение тождеств сокращённого умножения, приведение подобных членов, запись уравнения в стандартном виде.

Выделить в уравнении коэффициенты.

Вычислить дискриминант.

Вычислить корни уравнения по общей формуле.

Решим уравнения у доски:

4х2 – 10 = 4х – 2х2; 2) (3х – 1)(х + 3) = х (1 + 6х)
4х2 + 2х2 – 4х – 10 = 0, (3х –1)( х + 3) = х (1 +6х),
3х2 – 2х – 5 = 0, 3х2 + 9х – х – 3 = х + 6х2,
а = 3, b = -2, с = -5, 3х2 + 9х – х – 3 – х – 6х2 = 0,
D = 1 + 15 = 16, -3х2 + 7х – 3 = 0,
D = 16 = 4, 3х2 –7х + 3 = 0,
х1 = ( 1+ 4 )/3 = 5/3, D = 49 – 36 = 13,
х2 = (1 – 4)/3 = -1. D = 13,
х1 = (7 + 13)/6,
Ответ: -1; 5/3. х1 = (7 + 13)/6,
х2 = (7 - 13)/6,
. Ответ: (7 + 13)/6; (7 - 13)/6

VI. Задание на дом.

Сегодня домашнее задание будет дано в необычной форме: в виде игры.

Прежде, чем доверить серьёзное дело, необходимо пройти проверку: сможете ли вы отыскать ошибку в решении предложенного уравнения?

-х2 + 6х +16 = 0,

х2 – 6х – 16 = 0,

а = 1, b = -6, с –16,

D = (-6)2 +4 * 16 = 36 + 64 = 100,

х1 = (6 + 10)/2 = 16/2 = 8,

х2 = (6 – 10)/2 = 4/2 = 2 .

Очень серьёзным и важным делом для каждого ученика является выполнение домашнего задания. Оно спрятано в кабинете, его нужно найти. Будем действовать как настоящие знатоки: чётко и слаженно. У нас две бригады следователей. Прошу занять свои места. Если верно решите уравнение, то получите номер ряда и стола, где находится домашнее задание.

Учащиеся садятся по группам, решают уравнение, записанное на карточке:

х2 – 7х + 10 = 0.

Корнями уравнения являются числа 2 и 5 .

После выполнения работы учитель предлагает назвать полученные корни.

Это 2 ряд, 5 стол.

Представитель из каждой группы ищет конверт с домашним заданием.

Итак, запишите домашнее задание: № 641.

Критерии оценивания домашней работы:

8 уравнений – “5”,

4 уравнения – “3”.

VII. Самостоятельная работа

Выполнить самостоятельную работу по карточкам:

х2 – 9 = 0,

х2 + 6х = 0,

5х2 – 8х + 3 = 0,

х2 + 7х – 8 = 0,

5х + 2 = 2 – 2х2,

(10х – 4)(3х + 4) = 0.

VIII. Итог урока.

Оценивание и комментирование оценок учащихся.

Объявляются и комментируются оценки за урок. Подводится итог урока.

Учащимся предлагаются вопросы:

1) Что нам необходимо знать для решения квадратных уравнений?

2) Сформулируйте теорему Виета.

3) О чём надо помнить, применяя теорему Виета.

IX. Дополнительное задание. “Устный счёт”

Предлагает посмотреть картину Богданова – Бельского “Устный счёт”. (Рисунок1)

Устно найти значение выражения:

.

Есть очень хороший способ решения этого примера. Профессор Рачинский, работая учителем сельской школы, использовал интересную особенность чисел 10, 11, 12, 13, 14, а именно:

102 + 112 + 122 = 132 + 142.

Тогда достаточно найти значение выражения или справа, или слева. Каков ответ в этой задаче?

Алгебра спрашивает: единственный ли это ряд из пяти последовательных чисел, у которых сумма квадратов первых трёх равна сумме квадратов двух последних?

Попробуем ответить на этот вопрос. Обозначим пять последовательных чисел так:

х – 1, х, х + 1, х + 2, х + 3.

Тогда имеем:

(х–1)2+х2+(х+1)2=(x+2)2+(x+3)2.

После преобразования получаем уравнение: x2 - 10x – 11 = 0.

Решите уравнение по теореме Виета.

Следовательно, существуют два ряда чисел:

ряд Рачинского: 10, 11, 12, 13, 14;

ряд: -2, -1, 0, 1, 2.

X. Рефлексивная минутка.

Предлагает учащимся дополнить рисунок элементом в зависимости от комфортности и заинтересованности ученика на уроке:

  • чувствовал себя комфортно, уроком доволен.
  • остался равнодушен.
  • недоволен уроком.

Список литературы.

1. Еженедельная учебно-методическая газета “Математика”. Издательский дом “Первое сентября”

1.1. Е. Ившина. Решение квадратных уравнений. № 30, 2004 г, с. 15;

1.2. Н. Ложкина. Теорема Виета. № 11, 2004 г, с. 17;

1.3.Л. Муштакова. Устные упражнения. № 8, 2002 г, с. 17

1.4. Н. Рябченко. Неполные квадратные уравнения. № 37, 2004 г, с. 13.

1.5. Т. Ульянова. Решение квадратных уравнений. № 35, 2004 г, с. 10.

2. Журнал “Математика в школе”, № 6 1981 г, с. 19, В. Г. Филатов. Из опыта применения теоремы Виета при решении квадратных уравнений.