Урок-конференция по алгебре и началам анализа по теме "Показательные уравнения". 11-й класс

“Три пути ведут к знанию:
путь размышления – это путь самый благородный,
путь подражания – это путь самый лёгкий
и путь опыта – это путь самый горький”.
Конфуций

 Цели:

1. Обобщить, расширить и углубить знания учащихся.
2. Развивать познавательный интерес учащихся к предмету.

Подготовка к уроку.

 Для участия в конференции класс разбивается на группы по интересам.

1. “Теоретики” получают задание изучить исторические сведения о показательной функции и показательных уравнениях.
2. “Практики” готовят задания, предлагаемые в экзаменационных работах.
3. “Исследователи” занимаются исследованием и решением более сложных уравнений.
4. “Специалисты” по прикладной математике” изучают процессы и явления, которые можно задать показательной функцией.

Ход урока

Вводное слово учителя:

Сегодня у нас урок конференция по теме “ Показательные уравнения”. В работе конференции принимают участие 4 группы, которые готовили материал.

Слово предоставляется теоретикам:

О происхождении терминов и обозначений. К умножению равных сомножителей приводит решение многих задач. Понятие о степени с натуральным показателем возникло уже в Древней Греции ( выражение квадрат числа возникло при вычислении площади квадрата, а куб числа – при нахождении объёма куба). Но современные обозначения ( типа a ⁴, a ⁵ ) в XVII в. ввел Декарт.

Дробные показатели степени и наиболее простые правила действий над степенями с дробными показателями встречаются в XIV в. у французского математика Н. Орема (1323 – 1382). Известно, что Шюке ( ок. 1445 – ок. 1500) рассматривал степени с отрицательными и нулевыми показателями. С. Стевин предложил подразумевать под а корень . Но систематически рациональные показатели первым стал употреблять Ньютон.

Немецкий математик М. Штифель ( 1487 – 1567) дал определение а ⁰ = 1 при а 1 и ввел название показатель (это буквенный перевод с немецкого Exponent). Немецкое potenzieren означает возведение в степень. (Отсюда происходит и слово потенцировать, часто употребляемое при переходах типа log _a f (x) = log _a g ( x) a ^log_a ^{f (x)} = a ^log_a ^{g (x)} .) в свою очередь термин eponenten возник при не совсем точном переводе с греческого слова, которым Диофант обозначал квадрат неизвестной величины.

Термин радикал и корень, введенные в XII в., происходят от латинского radix, имеющего два значения: сторона и корень. Греческие математики вместо “ извлечь корень” говорили: “ найти сторону квадрата по его данной величине ( площади)”. Знак корня в виде символа появился впервые в 1525 г. Современный символ введен Декартом, добавившим горизонтальную черту. Ньютон уже указывал показатели корней: , .

Учитель:

А сейчас проведем небольшой математический диктант, состоящий из простейших показательных уравнений. Вы должны решить уравнения и составить слово из букв, данных на предложенной схеме, считывая буквы в том порядке, какой диктуется списком уравнений.

1). ^х = 9, х = - 2

2). 2 ^{х – 1} = , х = - 1

3). 4 ^х – 2 ^х = 0, х = 0

4). 0,5 ^{1 – х}= 16 ^х, х = -

5). 7 ^{– х + 2х} = 1, х = 0,2

6). 2 ^х = 2, х = 1,5

Сообщение о М. Штифеле.

Штифель Михаил ( ок. 1486 – 1567) – знаменитый немецкий математик. Михаил Штифель учился в католическом монастыре, затем увлёкся идеями Лютера и стал сельским протестантским пастором. Изучая библию, старался найти в ней математическое истолкование. В результате своих изысканий предсказал конец мира на 19 октября 1533 года, который, конечно, не произошёл, а Михаил Штифель был заключен в Вюртембергскую тюрьму, из которой его вызволил сам Лютер.

После этого Штифель посвящает свою работу математике, в которой он был гениальным самоучкой. Он опубликовал несколько научных трудов, и среди них знаменитая – “ Полная арифметика”.

В 1544 году Штифель первым в Европе сформулировал правило решения квадратных уравнений, приведенных к к единому каноническому виду. Он занимался изучением арифметической и геометрической прогрессии, систематически сравнивал действия над членами обеих сопоставляемых прогрессий и вводил дробные и отрицательные показатели степени. Штифель первым из математиков рассматривал отрицательные числа, как числа меньшие нуля, и одним из первых ввёл знак корня с целым показателем, круглые скобки и символы для многих неизвестных. Его идеями пользовался при изобретении логарифмов Джон Непер.

Учитель:

Практики подготовили и предлагают дифференцированную самостоятельную работу с последующей проверкой:

1. 49 ^{х + 1} = ^х , х = -
   3 ^{4х + 5}= 81, х = -
2. 3 ^2х – 8 3 ^х – 9 = 0, х = 2
   4 ^х + 3 2 ^х = 28, х = 2
3. 8 ^х + 18 ^х = 2 27 ^х, х = 0
   128 16 ^{2х + 1} = 8 ^{3 – 2х}, х = -

Группа исследователей занималась исследованием и решением более сложных уравнений:

(ученики показывают решение уравнений)

1. () ^х + ( ) ^х = 6, х ₁ = - 2,х ₂ = 2
2. 4 ^{cos х} – 2 ^{tg х} - 3 = 0, х = n

Слово специалистам по прикладной математике:

Во многих областях науки при изучении различных явлений и процессов обнаруживается одна общая функциональная зависимость между двумя переменными величинами, участвовавшими в данном процессе.

Например:

1. Барометрическая формула. При постоянной температуре давление воздуха изменяется с изменением высоты над уровнем моря по закону:

Р = Р₀ а ⁿ
Р₀ - давление на уровне моря.
Р – давление на высоте h.
a- const, h – изменяется.

2. Рост народонаселения. Изменение числа людей в стране на наибольшем отрезке времени описывается формулой: N = N₀ e ^t

N₀ – число людей, при t = 0
N – число людей в момент времени t
e, a – const

3. Формула разрядки конденсатора. Если начальное напряжение на конденсаторе равно U₀, то конденсатор будет разряжаться по закону:

U = U₀ L

t – время, в течении которого разряжается конденсатор
R – сопротивление
C – электроёмкость
L – const

Учитель:

Во всех этих примерах функции, где основание const, а показатель изменяется, т. е. приведены примеры показательной функции.

Слово теоретикам:

В книге Жюля Верна “ Матиас Шандор” выведен силач Матифу. Он совершил много подвигов, среди которых есть такой.

Готовился спуск на воду трабоколо ( трабоколо – небольшой корабль с парусами в форме трапеции). Когда уже начали выбивать из – под киля клинья, удерживающие трабоколо на спусковой дорожке, в гавань влетела нарядная яхта.

Спусковое судно неминуемо должно было врезаться в борт плывущей мимо яхты.

“вдруг из толпы зрителей выскакивает какой – то человек, он хватает канат, висящий на носу трабоколо. Но тщетно старается он, упираясь в землю ногами, удержать в руках канат… поблизости врыта в землю швартовая пушка. В мгновенье ока неизвестный набрасывает на неё канат, который начинает медленно разметываться, а храбрец, рискуя попасть под него и быть раздавленным, сдерживает его с нечеловеческой силой. Это длится секунд десять. Наконец канат лопнул. Трабоколо прошло за кормой яхты на расстоянии не более фута,… яхта была спасена.

Вы, конечно, догадались, что неизвестным, спасшим яхту, был силач Матифу”.

Прочитав классу этот отрывок, мы задаем вопрос: нужна ли была нечеловеческая сила, чтобы удержать корабль?

Посмотрим, как происходит швартовка корабля. С парохода на пристань бросают канат, на конце которого сделана широкая петля. Человек, стоящий на пристани, надевает петлю на причальную тумбу, а матрос на корабле укладывает канат между кнехтами ( небольшими тумбами), укреплёнными на борту судна, сила трения между тросами и кнехтами и останавливает судно. Обычно матрос, обернув канат несколько раз вокруг кнехтов, просто придерживает свободный конец ногой, прижимая его к палубе. Предположим, что после одного оборота каната вокруг столба сила F₀, приложенная к одному концу каната, удерживает в К раз большую силу, приложенную к другому концу. После ещё одного оборота каната удерживаемая сила возрастает ещё в К раз и становится К ² раз больше, чем сила F₀. Для пенькового каната и деревянного столба К = 2 ^1,75. поэтому, оборачивая канат вокруг столба три раза, получаем увеличение в 1800 раз.

Примерную силу, необходимую для удержания спускаемого корабля будем считать равной 400 кН, а поскольку канат, медленно разматывался, можно сделать вывод, что Матифу сумел обернуть его вокруг швартовой пушки хотя бы 3 раза. Отсюда составляем уравнение: 400000 = 1800 F_0, тогда F₀ 220 Н, что эквивалентно 22 кг. Приложить силу в 22 кг. Вполне может любой здоровый взрослый человек.

Описанное выше явление мы используем ежедневно, например, завязывая шнурки на ботинках. Узел – это веревка, обвитая вокруг другой верёвкой, он тем крепче, чем больше раз одна часть веревки сплетается с другой.

Учитель подводит итог урока.