Тип урока: урок систематизации и обобщения знаний учащихся по данной теме.
Цели урока:
- Образовательные: закрепить умения и навыки решения уравнений,
- Развивающие: развитие мыслительной деятельности, внимания, развитие интереса к предмету, формирование потребностей к приобретению знаний,
- Воспитательные: воспитывать у учащихся взаимоуважения, трудолюбия, навыков самоконтроля.
План урока:
- Постановка цели урока
- Выполнение устных упражнений
- Решение уравнений на доске
- Задание на индивидуальных карточках
- Подведение итогов урока.
ХОД УРОКА
I. Постановка цели урока
– Нашей задачей на сегодняшнем уроке является отработка навыков решения целых уравнений. Вспомним, какими способами мы умеем решать уравнения?
Учащиеся называют с места способы решения уравнений : разложением на множители, с помощью замены переменной, графический способ решения уравнений и т.д.
II. Выполнению устных упражнений
1. Устно решить уравнение: (х3 + 3)3 = (– х3 + 5)3
Комментарии: если А3 = В3, то А = В.
2. Имеет ли корни трехчлен: 2х2 – х + 3
3. Может ли квадратное уравнение с целыми коэффициентами иметь рациональный и иррациональный корень?
Комментарии: нет, так как если квадратное уравнение имеет целые коэффициенты, то сумма его корней – рациональное число, а сумма рационального и иррационального числа является иррациональным числом.
4. Является ли число 3 корнем уравнения 2х2 – 19х – 57 = 0?
5. Могут ли два числа одновременно быть корнями квадратных уравнений:
ах2 + вх + с = 0 и сх2 + вх + а = 0 , если а и в не равны.
Комментарии: Да. Если числа х1 и х2 являются корнями обоих уравнений, то их произведение одновременно равно с/а и а/с, откуда с/а = а/с, так что а/с = 1 или а/с = –1.
III. Решение уравнений у доски
Учащиеся решают уравнения с обратной стороны доски, чтобы остальные ученики смогли сами сделать задание и ответы проверить друг у друга.
1. (х2 + х)2 – 18 (х2 + х) + 72 = 0
Комментарии: уравнение решается при введении новой переменной t = х2 + х.
2. (х2 – 5х + 6)2 + (х2 – 6х + 8)2 = 0
Комментарии: уравнение вида А2n + В2n = 0 равносильно системе
| { | А = 0 В = 0 |
3. (х2 – 5х + 4)2 – (х2 + 4х – 5)2 = 0
Комментарии: уравнение вида А2n = В2n равносильно совокупности
| [ | А = В А = – В |
4.* х4 – 7х3 + 14х2 – 7х + 1 = 0
Комментарии: это возвратное уравнение четвертой степени, решается с помощью введения новой переменной t = х + 1/х.
5. (х – 2)3 – х2 + 2х = 0
Комментарии: данное уравнение решается с помощью разложения на множители.
6.* 4х3 + х2 – 11х + 6 = 0
Комментарии: данное уравнение решается разложением на множители, используя при этом теорему Безу.
7.* (х + 1)4 + (х + 3)4 = 16
Комментарии: это уравнение вида (х + а)4 + (х + в)4 = с, которое можно свести к биквадратному уравнению, произведя замену переменной t = х + (а + в) / 2.
8. х3 + х + 30 = 0
Комментарии: данное уравнение можно решить графическим путем.
Все уравнения заранее написаны на доске, и учащиеся, которые справились раньше находящихся у доски, могут проверить свое решение у учителя или друг у друга.
IV. Задание на индивидуальных карточках
Затем, как итог урока, предлагается учащимся решить уравнения на индивидуальных карточках:
Карточка 1
Решить уравнения (у учащихся карточки без комментариев):
1. х4 – 7х2 + 10 = 0
Комментарии: биквадратное уравнение, решается заменой переменной.
2. х3 – 3х2 + 2 = 0
Комментарии: графический способ решения уравнения.
3. х9 – 2х8 + 2х5 – 4х4 + 3х – 6 = 0
Комментарии: разложить на множители способом группировки.
Карточка 2
Решить уравнения:
1. х5 + х4 – 2х3 – 2х2 – 8х – 8 = 0
Комментарии: разложение на множители способом группировки.
2. (х2 – 3х)2 = (2х – 6)2
Комментарии: данное уравнение равносильно совокупности.
| [ | А = В А = – В |
3. х3 – х + 2 = 0
Комментарии: графический способ решения.
Карточка 3
Решить уравнения:
1. (х – 1) (х – 3)3 = (х – 3) (х – 1)3
Комментарии: разложение на множители.
2. 0,5 х3 = – 2х + 8
Комментарии: графический способ.
3. х8 + х4 – 2 = 0
Комментарии: замена переменной.
Карточка 4
Решить уравнения:
1. х (х + 0,5) (х + 1) (х + 1,5) = 189
Комментарии: замена переменной, предварительно перемножив первый множитель и четвертый, а также второй и третий.
2. 300 х2 + 299х – 1 = 0
Комментарии: подбор первого корня уравнения и применение теоремы Виета.
3. х3 – 2х2 + х = 0
Комментарии: вынесение общего множителя перед скобкой, применение формулы сокращенного умножения.
V. Подведение итогов урока
1. Чем мы занимались на уроке?
2. Какие способы решения уравнений мы применяли?
3. Какой способ понравился вам больше других?