Программа предпрофильной подготовки "Полезная математика. Приложение теории графов"

Пояснительная записка

Предлагаемый курс является предметно-ориентированным. Его цель – подготовить учащихся к осознанному выбору сферы деятельности, в которой хотел бы работать в будущем. А также познакомить учащихся с теорией графов, показать ее практическую направленность и применение в жизни. Прикладная направленность математики определяется тем, что без конкретных математических знаний затруднено понимание принципов устройства и использования современной техники, восприятие научных знаний, восприятие и интерпретация разнообразной социальной и экономической политической информации.

Каждому человеку в жизни приходится выполнять достаточно сложные расчеты, пользоваться общеупотребительной вычислительной техникой, находить в справочниках и применять нужные формулы, владеть практическими приемами геометрических измерений и построений, читать информацию представленную в виде таблиц, диаграмм, графиков, понимать вероятностный характер случайных событий, составлять несложные алгоритмы.

И, наконец, все больше специальностей требующих высокого уровня образования связано с применением именно прикладной математики. Таким образом, расширяется круг школьников, для которых математика становится профессиональным предметом.

Для жизни в современном обществе важным является формирование математического мышления, проявляющегося в определенных умственных навыках. Ведущая роль принадлежит формированию алгоритмического мышления, воспитание умения действовать по заданному алгоритму.

Изучение прикладной математики способствует эстетическому воспитанию человека, пониманию красоты, развивает воображение, пространственные представления.

Роль математической подготовки прикладного назначения ставит следующие задачи обучения:

• овладение конкретными математическими знаниями, необходимыми для применения в практической деятельности, для изучения смежных дисциплин;
• интеллектуальное развитие учащихся, формирование качества мышления, характерных для математической деятельности;
• формирования понимания и значительности математики для общественного прогресса.
• пробуждение и развитие у школьников положительной зависимости от математики.
• наделение учащихся применяемыми, практическими знаниями, формирующими и увеличивающими их понимание и веру в их личные возможности решать задачи; веру в их математические способности.

Темы, предложенные в данном курсе как таковые, не изучаются школьной программой. Но тема “Теория графов” носит ярко выраженную, прикладную направленность. На простых примерах учащимся показывается, как можно применить язык теории графов к решению различных практических задач. Теория графов – молодая область дискретной математики. Но методы теории графов завоевали признание не только математиков, но и инженеров, экономистов, психологов, лингвистов, биологов, химиков. Использование языка и методов теории графов часто ускоряет решение практических задач, упрощает расчеты, повышает производительность научной, инженерной и конструкторской мысли. Именно вопросы практики в значительной степени способствуют интенсивному развитию теории графов.

Понятие “Граф” очень тесно связано со многими основными понятиями, на которых строится здание математики, в том числе и школьной. О степени общности этого понятия свидетельствует уже то, что оно включает понятие “бинарное отношение”, которое, в свою очередь, охватывает столь общие понятия, как отношение родства, тождества, равновеликости, подобия, параллельности, перпендикулярности, делимости и др. С отношениями, а следовательно и с графами, связано такое важное понятие математики, как “функция”.

Естественно, что язык графов начал проникать в школьные учебники. Графы используются для наглядного изображения порядка вычисления значения выражения, заданного схемой, а также для формирования у учащихся представления о действии, обратном данному. В учебнике “Алгебра” для 7 класса рисунки графов используются в целях наглядности при объяснении учащимся, темы “Функции”. Графы под другими названиями проникли в новые учебники химии, биологии, географии, где они использованы для наглядного и экономного описания различных схем организаций, логических возможностей, классификаций. Применение графов помогает думать, объяснять, наглядно представлять, поэтому их использование в различных школьных учебниках имеет естественную тенденцию к развитию.

При изучении темы “Приложения теории графов” учащимся нужны в качестве опорных знания элементов теории множеств и владение понятием “отношение между парами элементов теории множества”, которые они приобретают на уроках математики. В конце изучения темы учащиеся должны знать основные понятия графов, понятием “работа”, “событие”, “сетевой график”, “критический путь”, критические работы”. Учащиеся также должны продемонстрировать умение упорядочить в “технологической последовательности” отдельные работы известных им комплексов, строить сетевые графики несложных комплексов работ, рассчитывать их, т.е. определить критический путь, его продолжительность, наиболее напряженные работы. Учащиеся должны уметь по ребрам несложной сети распределить поток заданного значения, уметь построить разрез сети и подсчитать его пропускную способность, найти максимальное значение потока.

При изучении темы: “Вместе путешествуем и распределяем расходы”, рассматриваются всевозможные решения, которые требуют оценки всей ситуации. Рассматриваемые данные имеют дело с задачами, связанными с процессом исследования реальных ситуаций из жизни. Причем ситуации рассматриваются в форме изучения моделей. В ходе изучения темы учащиеся должны научиться “анализу реальных ситуаций”, то есть обдумывать ситуацию изнутри:

• Представлять себя с позиции участника;
• Учитывать имеющийся опыт и аккумулировать знания из повседневной жизни, связанных с подобными ситуациями.
• Оценивать результаты с точки зрения участника (а также с точки зрения других участников, которые могут быть заинтересованы в отличном от полученного результата).
• Увидеть возможные пути исследования и анализа ситуаций.

Таким образом, успешное усвоение учащимися программного материала спецкурса призвано содействовать реализации основных целей пред профильной подготовки учащихся.

Программа спецкурса рассчитана на 12 часов:

По одному занятию в неделю, в течение 12 недель. Эти часы распределяются следующим образом: лекционные занятия 2ч., лекционно-практические занятия - 3 ч., практикум по решению задач – 3ч., обучение методам исследовательской работы – 1 ч., защита проекта – 2 ч.,

Интеллектуальные игры, представление творческих работ – 1 ч.

Практикумы будут проводиться в различной форме, а именно: групповой, парной, индивидуальной с элементами К.С.О.

Контроль будет осуществляться в конце каждого занятия через рефлексию. По окончании изучения курса в виде защиты проектов “Графы и их роль в школьных учебниках”, а также оценке подлежат творческие работы учащихся представляемые на интеллектуальный конкурс.

С целью отслеживания результатов изученного курса учащимся будет предложена анкета.

Занимательные и провоцирующие задачи на смекалку: Рассмотреть задачи, провоцирующие неправильные ответы. задачи о движении улитки, лифта, о хитром киоскере, затем перейти к задачам на соответствие множеств. Перевести рассмотренные задачи на язык схем.

Определение графа и подграфа. Полные графы: Рассмотреть три задачи: Кто играет Ляпкина – Тяпкина? Сварливые соседи., Корзины, полные яблок. Перевести эти задачи на язык графов. Дать основные понятия графов, вершины графа, ребро графа , “эйлеровы” графы, понятие цикла, понятие кратности вершины, понятие полного графа.

Лемма о рукопожатиях. Сформулировать и доказать лемму о рукопожатиях. Обсудить 1 главу книги “Незнайка в стране графов”. Оформить ситуацию описанную в книге с помощью графов. Самостоятельная проверка леммы в данной ситуации. Второе доказательство леммы: где из конкретного графа удаляются все ребра, а затем по одному возвращаются. Доказать следствие из леммы:в любом графе число вершин нечетной степени четное. Решение задач на закрепление леммы.

Сетевые графики: Рассмотреть понятия работы и события; правила построения сетевых графиков; критический путь поиск резервов времени; из истории сетевого планирования и управления.

Транспортные сети: задачи, приводящие к транспортным сетям; основные понятия; две теоремы; алгоритм нахождения максимального значения потока; родственные задачи; из истории теории графов.

Вместе путешествуем и распределяем расходы: Рассмотреть задачи связанные с процессом исследования реальных ситуаций из жизни учащихся и учителей. Составить модель ситуации. Рассмотреть возможные пути исследования и анализа ситуаций. Рассмотреть 4 задачи типа “Поездка в машине в компании одного или более попутчиков.”

Защита проекта по теме “Графы и их роль в школьных учебниках”; сделать анализ школьных учебников; и найти примеры использования графов в качестве иллюстрационного материала.

Графы в играх и головоломках”: шахматный турнир; встречи футбольных команд; кроссворды, задачи – шутки.

ПРИМЕРНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ЗАЧЕТА.

1. Нарисуйте полный граф с 6 вершинами.
2. Чему равна степень какой-нибудь вершины полного графа с 20 вершинами?
3. Сколько ребер у полного графа с 20 вершинами?
4. Изобразите граф с 6 вершинами, в котором есть два цикла, каждый из которых проходит через все вершины графа.
5. Изобразите три разных графа, с 6 вершинами каждый, у которых нет ни одного цикла.
6. Приведите примеры связных и несвязных графов с 6 вершинами.
7. Нарисуйте граф, содержащий три моста.
8. Нарисуйте два связных графа с 5 вершинами, каждый так, чтобы один граф был деревом, другой деревом не являлся. В чем их отличие?
9. Придумайте жизненную ситуацию, описываемую ориентированным графом с 5 вершинами.
10. Назовите работы и события, которые можно выделить при проведении, например: а) субботника; б) шахматного турнира; в) встречи футбольных команд из двух разных школ.
11. Изобразите транспортную сеть с 11 вершинами и 20 ребрами. Проведите три ее разреза и подсчитайте их пропускные способности.

ДОКЛАДЫ И РЕФЕРАТЫ.

1. Учащимся, заинтересовавшимся теорией графов, можно предложить подготовить реферат или доклад на тему:

• Плоские графы.
• Графы с цветными ребрами.
• Ориентированные графы.

2. Учащимся, заинтересовавшимся, сетевым планированием и управлением , можно предложить подготовить реферат или доклад на тему “Расчет сетевых графиков”, в который войдут и правила определения резервов времени.

3. Учащимся, заинтересовавшимся сетевыми задачами и желающим глубже познакомиться с ними и методами их решения, можно предложить подготовить реферат на тему “Алгоритм нахождения максимального значения потока”.

4. Графы в играх и головоломках. Поиск занимательных задач и представление на конкурс.

5. Графы и их роль в школьных учебниках. При работе над этой темой учащимся нужно самостоятельно проанализировать школьные учебники по разным предметам и найти примеры использования графов в качестве иллюстративного материала. Защита проекта

1.  Никольская И.Л “Факультативный курс по математике 7–9”, М., “Просвещение”, 1991 г.
2. Научно-теоретический и методический журнал “Математика в школе” № 1, 4, 2004.
3. Березина Л.Ю. Графы и их применение. – М., 1979.
4. Гончаров Л.В. “Предметные недели в школе. Математика” Изд. “Учитель”, Волгоград, 2003.
5. Мельников О.И. Занимательные задачи по теории графов.
6. Фирсов Е.Г. “Интеллектуальные игры для школьников”, “Академия развития”, Ярославль,1998.
7. Изд. дом “Первое сентября”, еженедельная учебно-методическая газета “Математика”, № 48, 2001.
8. Виленкин Н.Я. Функции в природе и в технике.- М., Просвещение,1985
9. Колмогоров А.Н. Математика: наука и профессия. – М. Наука.