Цели урока:
Форма проведения урока: семинар.
Оборудование: логарифмическая линейка, портрет Дж. Непера.
Ход работы
I. Подготовка учащихся к работе на уроке.
II. Сообщения учащихся по темам:
- Ода экспоненте
- Звезды, шум и логарифмы
- Логарифмическая “комедия: 2>3”
- Любое число – тремя двойками
- Логарифмические диковинки
- Логарифмическая спираль
В конце каждого сообщения – решение задач, связанных с логарифмической функцией. Решение логарифмических уравнений и неравенств.
III. Итог урока.
Ода экспоненте.
Потому-то, словно пена,
Опадают наши рифмы.
И величие степенно
Отступает в логарифмы.
Б.Слуцкий
Поистине безграничны приложения показательной и логарифмической функций в самых различных областях науки и техники, а ведь придумывали логарифмы для облегчения вычислений. Более трех столетий прошло с того дня, как в 1614 году были опубликованы первые логарифмические таблицы, составленные Джоном Непером. Они помогали астрономам и инженерам. Сокращая время на вычисления, и тем самым. Как сказал знаменитый французский ученый Лаплас: “Удлиняя жизнь вычислителям”.
Ещё недавно трудно было представить инженера без логарифмической линейки в кармане; изобретенная через десяток лет после появления логарифмов Непера английским математиком Гунтером. Она позволяла быстро получать ответ, с инженерного обихода вытеснила микрокалькулятор, но без логарифмической линейки не были бы построены ни первые компьютеры, ни калькуляторы.
Многообразные применения показательной (или как еще ее называют экспоненциальной) функции вдохновили английского поэта Эльмера Брилла, он написал “оду экспоненте”. Отрывок из которой мы приводим:
“…Ею порождено многое из того,
Что достойно упоминания,
Как говорили наши
Англосаксонские предки.
Могущество ее порождений
Заранее обусловлено ее
Собственной красотой и силой,
Ибо они суть физическое воплощение
Абстрактной идеи ее.
Английские моряки любят и знают ее
Под именем “Гунтер”.
Две шкалы Гунтера-
Вот чудо изобретательности.
Экспонентой порождена
Логарифмическая линейка:
У инженера и астронома не было
Инструмента полезнее, чем она.
Даже изящные искусства питаются ею.
Разве музыкальная гамма не есть
Набор передовых логарифмов?
И таким образом абстрактно красивое
Стало предком одного из величайших
Человеческих достижений”.
Были поэты, которые не посвящали од экспоненте и логарифмам, но упоминали их в своих стихах. Например, в своем стихотворении “Физики и лирики” поэт Борис Слуцкий написал те строки, которые вынесены в эпиграф к уроку (записаны на доске).
Задание классу (устно):
Определить алгоритм решения уравнений:
logaf(x)=b; logaf(x)=logag(x);
loga(x)A=logb(x)A; 
logaf(x)=logag(x);
(2n+1)logaf(x)=loga
(x);
loga(x)g(x)=logf(x)h(x); loga(x)f(x)=logb(x)f(x).
Звезды, шум и логарифмы.
Этот заголовок связывает столь, казалось бы, несоединимые вещи. Шум и звезды объединяются здесь потому, что громкость шума и яркость звезд оценивается одинаковым образом – по логарифмической шкале.
Астрономы делят звезды по степени яркости на видимые и абсолютные звездные величины – звезды первой величины, второй, третьей и т.д. Последовательность видимых звездных величин, воспринимаемых глазом, представляет собой арифметическую прогрессию. Но физическая по иному закону: яркости звезд составляют геометрическую прогрессию со знаменателем 2,5. Легко понять, что “величина” звезды представляет собой логарифм ее физической яркости. Короче говоря, оценивая яркость звезд, астроном оперирует таблицей логарифмов, составленной при основании 2,5.
Аналогично оценивается и громкость шума. Вредное влияние промышленных шумов на здоровье рабочих и на производительность труда побудило выработать приемы точной числовой оценки громкости шума. Единицей громкости звука служит “бел”, но практически используется единица громкости, равные его десятой доле, - так называемый “децибелы”. Последовательные степени громкости 1 бел, 2 бела, 3 бела, и т.д. Составляют арифметическую прогрессию… Физические же величины, характеризующие шумы (энергия, интенсивность звука и др.), составляют геометрическую прогрессию со знаменателем 10. Громкость, выраженная в белах, равна десятичному логарифму соответствующей физической величины.
Дополнение учителя: “Логарифмы и ощущения”.
Ощущения, воспринимаемые органами чувств человека, могут вызываться раздражениями, отличающимися друг от друга во много миллионов и даже миллиардов раз. Удары молота о скользкую плиту в сто раз громче, чем тихий шелест листьев, а яркость вольтовой дуги в триллионы раз превосходит яркость какой-нибудь слабо звезды, едва видимой на ночном небе. Но никакие физиологические процессы не позволяют дать такого диапазона ощущений. Опыты показали, что организм как бы “логарифмирует” полученные им раздражения, т.е. величина ощущения приблизительно пропорциональна десятичному логарифму величины раздражения.
Как видим, логарифмы вторгаются и в область психологии.
Пример. Решить неравенство:
< 1
Решение: 
<
Так как 0 < 
< 1 , то:
>
0,
.
Так как 3 > 1, то 
> 0.
Решаем неравенства, используя числовую ось:
a)
;
б)
в)
Решением неравенства является все:
Х Є (
;-6)
Ответ: Х Є (;-6)
Логарифмическая “комедия: 2>3”.
“Комедия” начинается с неравенства 
> 
, бесспорно
правильного. Затем следует преобразование 
>
, тоже не
внушает сомнения. Большему числу соответствует
больший логарифм, значит:
lg>lg, 2lg
>3lg .
После сокращения на lg имеем 2>3.
В чем ошибка этого доказательства?
Решени: Ошибка была допущена при сокращении
на lg ; так
как lg < 0,
то при сокращении на lg необходимо было изменить знак
неравенства, т.е. 2<3. (Если бы мы логарифмировали
не по основанию 10, а по другому положительному
меньшему, чем 1, то lоgа > 0, и тогда мы не имели бы
права утверждать, что большему числу
соответствует больший логарифм).
Любое число – тремя двойками.
Продолжим урок остроумной алгебраической головоломкой, которой развлекались участники одного съезда физиков в Одессе. Предлагается задача: любое данное число, целое и положительное, изобразить с помощью трех двоек и математических символов.
Например: Пусть данное число 3.
Решение:
,
Так как 
, 
.
Аналогично: 
.
Общее решение задачи записывается в виде:
Логарифмические диковинки.
Решим несколько примеров:
- Вычислить
- Доказать, что если а и b – длины катетов, с – длина гипотенузы прямоугольного треугольника, то:
Решение: Так как 
, то 
.
Вывод: 
при 0 < x
, 0 < y .
Доказательство: Приведем все логарифмы к основанию b+c:
,
,
,
.
Повторяя логарифмические выкладки в обратном порядке, докажем исходное равенство. Затем, что оно верно при дополнительных ограничениях
,
.
Логарифмическая спираль.
Самолет, вылетевший из какой-нибудь точки земного шара на север, через некоторое время окажется над Северным полюсом. Если же он полетит на восток, то, облетев параллель, вернется в тот же пункт, из которого вылетел. Предположим теперь, что самолет будет лететь пересекая все меридианы под одним и тем же углом, отличным от прямого, т.е. держась все время одного и того же курса. Когда он облетит земной шар, то попадает и точку, имеющую ту же долготу, что и точка вылета, но расположенную ближе к Северному полюсу. После следующего облета он окажется еще ближе к полюсу и, продолжая лететь указанным образом, будет описывать вокруг полюса сужающуюся спираль.
Уравнение этой спирали:
r = aek? ,
гед r – расстояние от произвольной точки М на спирали до выбранной точки О, ? – угол между лучом ОМ и выбранным лучом Ох , a и k – постоянные.
Решая его, получим:
ln ek? = ln 
, k? = ln , ? = 
ln .
Так как это уравнение связано с логарифмической функцией, то вычисленную по этой формуле спираль называют логарифмической.
Живые существа обычно растут, сохраняя общее очертание своей формы. При этом они растут всего во всех направлениях – взрослое существо и выше и толще детеныша. Но раковины морских животных могут расти лишь в одном направлении. Чтобы не слишком вытягиваться в длину, им приходится скручиваться, причем каждый следующий виток подобен предыдущему. А такой рост может совершать лишь по логарифмической спирали или ее некоторым пространственным аналогам. Поэтому раковины многих моллюсков, улиток, а также рога таких млекопитающих, как архары (горный козел), закручены по логарифмической спирали. Можно сказать, что эта спираль является математическим символом соотношения форм роста. Великий немецкий поэт Иоганн Вольфгант Гете считал ее даже математическим символом жизни и духовного развития.
Очертания, выраженные логарифмической спиралью, имеют не только раковины, в нити вокруг центра по логарифмической спирали. По логарифмическим спиралям закручены и многие галактики, в частности, Галактика, которой принадлежит Солнечная система.
Пример: Построить график функции:
. 
Решение: 
=
, > 0 .
Итак: 
=
При условии, что 
> 0
Решим неравенство 
.
Строим график 
в системе 
, где 
(-1;0) (см.рисунок):
