Урок решения одной задачи, 8-й класс, геометрия

Разделы: Математика

Класс: 8

Цель: Организация деятельности по формированию самостоятельного, творческого мышления через нахождение всевозможных способов решения одной задачи.

Задачи:

  • формировать умения оперативно принимать решения в условиях дефицита времени, развивать гибкость, экономичность мышления;
  • организовать отсроченное повторение и объединить большой объем теории в одну укрупненную единицу;
  • показать многообразие и красоту математических решений, создать ситуацию успеха, радости от самостоятельного преодоления трудностей.

Тип урока: урок систематизации и обобщения.

Формы организации учебной деятельности: парная и групповая.

Ход урока

1. Организационный момент.

Ученикам необходимо прослушайте высказывания, и выяснить о какой фигуре пойдет речь на уроке. Свой ответ обосновать.

- Фигура представляет собой выпуклый многоугольник.

- Сумма её внутренних углов 360 градусов.

- А сумма внутренних углов, прилежащих к одной стороне 180 градусов.

- Данная фигура хорошо разбивается на параллелограмм и треугольник.

После обсуждения учитель прикрепляет на доску магнитом “королеву урока” - трапецию.

2. Работа в парах по воспроизведению теории ( ученик и ученик- консультант).

Ученики в течении 5-7 минут отвечают друг другу на вопросы, которые появляются на экране. Хорошо если пары детей будут разноуровневыми, тогда один из учеников является консультантом и помогает вспомнить нужный материал товарищу в случае затруднения.

Вопросы:

- Дайте определение трапеции.

- Перечислите виды и свойства трапеции.

- Как разбить трапецию на параллелограмм и треугольник?

- Что нужно провести в трапеции, чтобы получить подобные треугольники?

- Как разбить трапецию на два прямоугольных треугольника и прямоугольник?

- Дайте определение средней линии, перечислите её свойства.

- Как найти площадь трапеции?

3. Подготовка к выполнению группового задания ( устное решение теста).

Учитель предлагает ребятам записать в тетрадях ответы на задания устного теста, который затем проверяется самопроверкой.

 

- Выберите трапеции:

Ответ: а, б, в.

- Выберите прямоугольные треугольники:

Ответ: а, в, г.

- Вычислите площади предложенных трапеций:

Ответ: а) 34 см2, б) 25 см2, в) 48 см2.

4. Групповая работа, составление планов решения задачи.

Ученикам предлагается решить задачу:

Найти площадь трапеции со сторонами оснований 10 см, 20 см и боковыми сторонами 6 см и 8 см.

Класс предварительно делится на четыре группы одинаковые по силам. Каждой группе дается время на поиск и обсуждение способов решения задачи. Учитель выступает как консультант, если нужно направляет и корректирует процесс решения задачи. Каждая группа выбирает одно из решений и оформляет его в тетраде. У доски демонстрируются планы решения задачи представителями групп.

5. Презентация проектов, оформление решения.

Первое решение:

1. Проведем ВНАD и СКАD, тогда четырехугольник АВСD – прямоугольник.

2. Пусть АН=см, тогда КD=(10-) см.

Используя теорему Пифагора, выразим высоту h из АВН и СКD: h , h

Составляя и решая уравнение, получим, что h=4,8(см)

3. Тогда S= ,8=72 (см)

Второе решение:

1. Проведем СНАD и СКАВ, тогда АВСК - параллелограмм, АК=ВС=10 см и АВ=КС=6 см

2. Рассмотрим КСD: КС=6 см, СD=8 см, КD=10 см. Так как КD= КССD, то по теореме, обратной теореме Пифагора, КСD - прямоугольный.

3. Можно найти высоту по формуле: СН=(см)

4. Площадь трапеции находим, так же как и в первом решении.

Третье решение:

1. Продолжим АВ до пересечения с СD в точке Е, проведем СК АВ.

2. Устанавливаем, что КСD– прямоугольный и АВСК- параллелограмм.

3. AЕD и КСD подобны по первому признаку (D- общий, КСD=АЕD по свойству

параллельных прямых), коэффициент подобия k=2, так как k =

4. Отсюда АЕ=KC•k=12 см, DE= DC•k= 16 см.

5. Так как AЕD и КСD- прямоугольные, то S (см)

S(см). Площадь AЕD можно было найти через отношение площадей подобных треугольников:

Теперь можно найти площадь трапеции: S=S(см)

Четвертое решение:

1. Проведем СК АВ и соединим точки К и С отрезком.

2. Нетрудно доказать, что АВК, ВКС, КСD равные и прямоугольные.

3. S=3•S=3•=72 (см)

После анализа всех решений приходим к выводу, что самым рациональным и оригинальным является четвертый способ, а наиболее естественным и привычным оказалось решение первое.

6. Исследование задачи при изменении фигуры.

После обсуждения способов решений, ребятам предлагаются задания на изменение фигуры. Можно предложить ответить на вопросы исследовательского характера:

1. Всегда ли трапецию можно разбить на три равных треугольника?

Выясняется, что это можно сделать только, если одно основание в два раза больше другого.

2. Может ли трапеция быть составлена из трех равных треугольников другого вида?

Трапецию можно составить из трех правильных треугольников, равнобедренных и произвольных треугольников.

3. Сохраняться ли способы решения в этих случаях? Какие способы будут наиболее рациональными?

Перед детьми становится вновь проблема: нужно проанализировать способы решения по измененному чертежу, а так же вспомнить формулы для вычисления площади правильного и произвольного треугольников. Для правильного треугольника отрабатывается формула: S= . Для произвольного треугольника используем формулу Герона:

S= ,

Имеет смысл предложить ребятам для простоты вычислений длины сторон 13, 14, 15, чтобы за технической стороной дела не потерялась идея решения.

После исследования задачи на изменение фигуры, можно предложить изменить длины оснований трапеции так, чтобы они не отличались друг от друга в два раза. Тогда очевидно, что трапецию невозможно разбить на три равных треугольника. И наш “красивый” способ решения использовать невозможно.

В качестве домашней работы можно предложить задачи:

1. Найти площадь трапеции, у которой параллельные стороны имеют длины 25 см и 11 см, а непараллельные – 13 см и 15 см.

2. Составить трапецию из трех равнобедренных треугольников, выбрать самостоятельно длины сторон и вычислить площадь трапеции.

7. Рефлексия.

При подведении итогов урока следует сделать акцент на всём объеме материала, который был использован на уроке. Можно предложить ребятам перечислить основные теоремы, которые применялись на уроке:

1. Признаки параллельных прямых.

2. Теорема Пифагора и ей обратная.

3. Неравенство треугольника.

4. Свойства площади.

5. Отношение площадей подобных фигур.

6. Определение, виды и свойства трапеции.

7. Признаки подобия треугольников.

8. Формула площади трапеции.

9. Формула площади прямоугольного треугольника.

10. Формула площади равностороннего треугольника.

11. Формула Герона.

Заключение.

Таким образом, одной из форм уроков по систематизации и обобщению нескольких тем может служить урок решения одной задачи. Основная цель – показать многообразие подходов при решении одной задачи, развивать исследовательские навыки, формировать умение видеть рациональные способы решения. Однако увлекаться этой формой не следует. Такие уроки станут наиболее эффективными, если их проводить один или два раза в четверть. Тогда можно подобрать такую задачу, при решении которой действительно применялся бы большой объем теории. В заключении хочется отметить, что работа учителя – это постоянный поиск и творчество, поэтому каждый выбирает свои методы, пользуется своими индивидуальными приемами. “Хороших методов существует ровно столько, сколько существует хороших учителей”. Д. Пойа.