Цели:
- расширение знаний учащихся по теме «Решение неравенств с одной переменной»
- познакомить учащихся с новым методом решения неравенств методом интервалов на примере простейших неравенств с кратными корнями.
Тип урока: урок усвоения новых знаний.
Ход урока:
1) организационный момент.
2) проверка домашнего задания (два человека на боковой доске).
Решить неравенство:
а)(x + 5)(x + 4)(x – 5) < 0.
б) (x – 5)(x + 4)(x + 5)2 ≤ 0.
(x – 5)(x + 4)(x + 5)2 ≤ 0 <=> (x - 5)(x+4) ≤ 0, x = - 5;
{ - 5} U [- 4; 5]
3) Решение простейших неравенств с кратными корнями.
Решим неравенство: (x – 5)(x + 4)(x + 5)2 ≤ 0 другим способом:
(x – 5)(x + 4)(x + 5)(x + 5) ≤ 0
Введем функцию f(x) = (x – 5)(x + 4)(x + 5)2; Д(f)=R.
Найдем нули функции f(x) = (x – 5)(x + 4)(x + 5)2, решив уравнение (х-5)(х+4)(х+5)2 = 0.
x = 5; x = - 4; x = - 5 и x = - 5.
- 5 – корень кратности 2 (две слившиеся точки), между ними интервал с началом и концом в точке -5.
Нули функции разбивают область определения на интервалы, в каждом из которых функция непрерывна и сохраняет свой знак.
Определим знак функции f (x) = (x - 5)(x + 4)(x + 5)2 при
x = 0, f (0) = (0 - 5)(0 + 4)(0 + 5)2 < 0.
Чередуя, расставим знаки в каждом интервале, учитывая «лепесток», т.е. интервал с началом и концом в точке-5, и по рисунку запишем решение исходного неравенства.
Ответ: {-5} U [-4; 5]
4) Закрепление.
Примеры:
№1. Решить неравенство: (x – 1)(3 – x) (x – 2) ≤ 0.
Введем функцию f(x) = (x - 1)(3 –x) (x – 2), Д (f) = R.
Нули функции: x =1; x =2; x =3 – корень кратности 4.
В точке х=3 дорисуем 3 «лепестка».
Определим знак функции f(x) на любом промежутке, например (-∞; 1)
f(0) = (0 -1)(3 – 0) (0 -2) > 0,
и, чередуя, проставим знаки.
Ответ: [-1; 2] U{3}
№2. Решить неравенство: x2(x + 2)(x – 1) ≥ 0.
f(x) = x2(x + 2)(x – 1), Д(f)=R.
Нули функции: x = 0 - кратность 2,
x = -2,
x = 1 - кратность 3.
Определим знаки функции f (x) на любом промежутке, например (-∞; -2).
f (-1) = < 0, чередуя, проставим знаки на всех промежутках. Выберем промежутки, где
f (x) ≥ 0: (- ∞; 2] U {0} U [1; ∞).
Ответ: (-∞; 2] U {0} U [1; ∞).
5) Самостоятельная работа (под копирку).
Запишите три любых числа a, b, с, причем a < b < c и решите неравенство:
(x – a)(x – b)2(x – c) ≥ 0.
6)Проверка самостоятельной работы
7)Итоги урока.
8)Домашнее задание:
1) №199 (в)
2) (x – 7)(x – 4)2(x – 21) ≥ 0.
3) Попытаться решить неравенство (x – 5)2(2 + x)(x + 3)/ (x + 4)(x – 4) ≤ 0.