Урок геометрии в 8-м классе по теме "Теорема Пифагора"

“Вдохновение нужно в геометрии
не меньше, чем в поэзии”.
А. С. Пушкин

Цели урока:

• Образовательные: сформулировать и доказать теорему Пифагора, познакомить учащихся с биографией Пифагора, расширить и углубить знания по теме “Прямоугольный треугольник”;
• Развивающие: развивать логическое мышление, культуру математической речи, умение делать выводы и заключения;
• Воспитательные:
  • привитие интереса к предмету;
  • показать, что геометрия не только “строгая, трудная, скучная наука”, которой чужды поэзия, красота, изобразительное исскуство, но что и в геометрии можно сочинять и читать стихи, рисовать, играть и т. д.

Оборудование:

• чертежные инструменты, цветные мелки;
• наборы фигур для игры “танграм”;
• выставка рисунков;
• таблицы:
  • устные задачи по готовым чертежам;
  • таблицы квадратов;
  • таблица задач по новой теме;
• портрет Пифагора;
• веревки с узлами.

Ход урока

I. Организационный момент

II. Устные задачи для разминки по готовым чертежам

III. Изучение нового материала

Учитель: Ребята, не секрет, что многие из вас считают, что геометрия “строгая, трудная и сухая наука”, но сегодня на уроке я попытаюсь доказать вам, что и в геометрии можно читать сочинять и читать стихи, рисовать, играть. Поможет мне в этом знаменитая теорема Пифагора, сама биография которого легенда. Послушаем сообщение о Пифагоре, которое сделает ваш одноклассник (Ученик делает сообщение и демонстрирует портрет Пифагора).

Учитель: Интересный факт Пифагор был не только замечательным ученым, но и олимпийским чемпионом. А теперь сформулируем и с вашей помощью докажем теорему Пифагора

(чертеж треугольника, условие и заключение теоремы написано на доске). Теорема читается так: Теорема: Квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов.

Доказательство:

Дополнительное построение: .

Рассмотрим и , найдём в каждом треугольнике. Для этого составим пропорции и сделаем вывод:

3) Аналогично рассматриваем и и , делаем вывод:

4) Выполним почленное сложение полученных равенств и проведем тождественные преобразования:

или , ч. т. д.

Учитель: Теорема доказана, а где же стихи? Давайте послушаем стихотворение авторство, которого приписывается некоторому Г. Веберу, оно представляет пародию на известное стихотворение Г. Гейне

Пифагорова теорема

Не знаю, чем кончу поэму
И как мне печаль избыть:
Древнейшую теорему
Никак я не в силах забыть.
Стоит треугольник как ментор,
И угол прямой в нем есть,
И всем его элементам
Повсюду почет и честь.
Прелестная гипотенуза
Взнеслась так смело в высь!
И с нею в вечном союзе
Два катета тоже взъелись.
Она царит на квадратах,
И песню поет она;
Та песня влечет куда-то
Геометров древних волна.
И все на торжищах света,
Как в огненном кольце,
И все повторяют это:
Ах, а², b² , с!
И даже в холодной медузе
Огонь эта песня зажгла,
И все это гипотенузы
И катетов двух дела!

Учитель: Есть еще одно интересное стихотворение автора Шамисю об этой теореме:

Суть истины в том, что нам она навечно,
Когда хоть раз, в прозрении ее увидим свет,
И теорема Пифагора через столько лет
Для нас, как для него, бесспорна, безупречна.
На радостях богам был Пифагором дан обет:
За то, что мудрости коснулся бесконечной,
Он сто быков заклал благодаря предвечной,
Моленья и хвалы вознес он жертве вслед.
С тех пор быки, когда они учуют,
Что к новой истине людей опять подводит след,
Такой в них Пифагор вселил навеки ужас.
Быкам, обессильным новой правде противостоять,
Что остается? – Лишь, глаза закрыть, реветь, дрожать.

Но ученики нашей школы, тоже не отстали от поэтов, вот что они сочинили (стихи читают учащиеся класса)

“О теореме Пифагора и обо мне”

Теорему Пифагора
Не смогла я рассказать,
Как не мучила я катет
Не поставили мне “пять”.
Рассердилась я, и в книге
Для себя открыла свет
Нужны катеты в квадрате
И квадратный весь ответ.
Извлекла я корень быстро
Получилось наконец
И себя я похвалила
“Вот теперь ты молодец!” (Василенко Галина, 2001 год)

“Теорема Пифагора”

Мы узнали что-то снова –
Теорему Пифагора!
И её сквозь сотни лет,
Продолжает знать весь всеет!
Уж для этой теоремы
И не жалко даже время
Хочешь снова повторять.
Говорить и напевать:
“Пифагоровы штаны
на все стороны равны!” (Бондарь Алла, 2004 год)

Учитель: Теорему Пифагора многие пытались нарисовать, например знаменитые “Пифагоровы человечки”. Посмотрите на эти рисунки. А вот так рисовали теорему Пифагора ученики нашей школы. Теорему Пифагора в старину называли “Теоремой невесты” (Приложение 1).

IV. Вычисление гипотенузы и катетов (формулы, задание на доске)

Учитель: А теперь давайте выведем формулы для вычисления гипотенузы и катетов.

,

V. Решение упражнений

Учитель: Используя полученные формулы и таблицу квадратов, решим задачи 1-6 по готовым чертежам, делая краткие записи в тетрадях (Приложение 2). Решив, эти задачи мы увидели, что в некоторых задачах все стороны треугольников выражаются натуральными числами, такие треугольники назвали Пифагоровыми. Среди них есть единственный у которого стороны выражены тремя последовательными натуральными числами это 3, 4, 5. Такой треугольник назвали египетским. Древние египтяне с помощью веревки строили прямой угол, используя это свойство. Посмотрите, как они это делали (трое учеников используя веревку, показывают построение угла).

VI. Игра “танграм”

Учитель: Вы, наверное, устали решать и слушать, а я обещала, что на уроке геометрии мы можем и поиграть. Игра называется “танграм”. С помощью этой игры мы докажем теорему Пифагора. У вас на партах набор фигур: треугольники и квадраты. Кто быстрее выполнит задание

Задание 1. Из заданного набора фигур составьте на сторонах треугольника квадраты гипотенузы и катетов.

Задание 2. Наложите на квадрат гипотенузы квадраты катетов, состоящие из треугольников и квадратов так, чтобы они совместились.

Учитель: Очень хорошо! Значит, сделаем вывод - квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

VII. Итог урока

Учитель: Оценки за урок. Большое спасибо!

Если дан нам треугольник
И при том с прямым углом,
То квадрат гипотенузы
Мы всегда легко найдем:
Сумму степеней находим
И таким простым путем
К результату мы придем!

VIII. Домашнее задание

• пункт 63 (обязательное);
• рисунки;
• сочинить песню или стихотворение, сказку о теореме Пифагора;
• подобрать другое доказательство теоремы;
• практическое задание: с помощью веревки построить угол 90^o;

Вывод: Урок проходит очень живо, эмоционально. Коллекция рисунков пополняется, т. к. обязательно находится ученик, который нарисует такой рисунок, которого нет в коллекции. На следующем уроке только приходится удивляться фантазии и талантам детей.

Приложение 3

Литература

1. Атанасян А. Н. “Геометрия 7-9”, М.: “Просвещение”, 2003 г.
2. Погорелов А. В. “Геометрия 7-9”, М.: “Просвещение”, 2004 г.
3. Радемахер Г. и Теплиц О. “Числа и фигуры”, М.: “Наука”, 1966 г.
4. Шустеф Ф. М. “Материал для внеклассной работы”, Минск: “Народная Асвета”, 1994 г.