Вводный урок в 11-м классе по "Основам теории вероятностей и математической статистики"

Разделы: Математика

Тема урока: Введение в теорию вероятностей и комбинаторику

Цель: получения представлений об изучаемом предмете, его основных понятиях.

Обеспечить в ходе урока усвоение следующих основных понятий: события, их виды, вероятность.

Создание условий для формирования основных мировоззренческих идей: причинно-следственных связей, вероятностно-статистического мышления.

Развитие познавательного интереса, мотивации через применение занимательных задач и примеров.

Тип урока: урок-лекция

Ход урока:

1. Оргмомент.

2. Вводная лекция (с элементами беседы).

В нашу жизнь властно вошли выборы и референдумы, банковские кредиты и страховые полисы, таблицы занятости и диаграммы социологических опросов и даже в газете читаем: вероятность долговременного прогноза погоды на неделю - 80%.

Каждый из нас не отделен от окружающего мира глухой стеной, да и в своей жизни мы ежедневно сталкиваемся с вероятностными ситуациями. Проблема выбора наилучшего из нескольких вариантов решения, оценка степени риска и шансов на успех, представление о справедливости и несправедливости в играх и в реальных жизненных ситуациях – все это, несомненно, находится в сфере реальных интересов личности.

Подготовку человека к таким проблемам во всем мире осуществляет школьный курс математики, и в частности ее раздел ''математическая статистика''.

  • Что же изучает математическая статистика?

Рассмотрим пример:

Лампочка считается стандартной, если она горит не менее 1400 часов.

Как проверить партию лампочек на стандартность?

Что можно предположить и какие сделать выводы?

Данные о времени “горения” каждой лампочки – статистические данные.

  • Математическая статистика – это раздел математики, который изучает методы обработки и классификации статистических данных для получения научно – обоснованных выводов и принятия решений.

В связи с тем, что статистические данные зависят от случайных факторов, математическая статистика тесно связана с теорией вероятностей, которая является ее теоретической основой.

В наши дни результаты наблюдений используют для статистической оценки качества изготовляемой продукции и для управления качеством в процессе производства. И на производстве и в научных экспериментах очень важно бывает проверить, насколько неизменны условия наблюдения. Например, на технологической линии была изменена какая – то операция. Не сказалась ли эта замена на качестве продукции?

Статистические гипотезы могут быть самыми разнообразными: сорт пшеницы А урожайнее сорта В, лекарство А не оказывает положительного воздействия на больных болезнью В.

Статистика приводит к более общим зависимостям переменных, чем те, которые даются посредством функций. Например, изучается зависимость высоты сосен от их диаметра. Если мы начнем сравнивать эти характеристики, то найдем множество сосен одной и той же высоты, но разного диаметра или же одного диаметра, но разной высоты. Функциональной зависимости между высотой и диаметром нет, однако общая тенденция такова, что с увеличением высоты в среднем увеличивается и диаметр.

Современная физика, химия, биология, демография, социология, лингвистика, философия, весь комплекс социально-экономических наук развиваются на вероятностно-статистической основе.

Теория вероятностей есть математический анализ понятия случайного эксперимента. Событие и вероятность являются основными понятиями этой теории.

Еще первобытный вождь понимал, что у десятка охотников вероятность поразить копьем зубра гораздо больше, чем у одного. Поэтому и охотились тогда коллективно.

Необоснованно было бы думать, что такие древние полководцы, как Александр Македонский или Дмитрий Донской, готовясь к сражению, уповали только на доблесть и искусство воинов.

Несомненно, они на основании наблюдений и опыта военного руководства умели как-то оценить вероятность своего возвращения со щитом или на щите, знали, когда принимать бой, когда уклониться от него. Они не были рабами случая, но вместе с тем они были еще очень далеки от теории вероятностей.

Позднее, с опытом, человек все чаще стал взвешивать события, классифицировать их исходы как невозможные, возможные и достоверные. Он заметил, что случайностями не так уж редко управляют объективные закономерности.

Оценивая возможность наступления какого-либо события, мы часто говорим: “Это очень возможно”, “Это непременно произойдет”, “Это маловероятно”, “Это никогда не случится”.

Купив лотерейный билет можно выиграть, а можно и не выиграть; завтра на уроке математики вас могут вызвать к доске, а могут и не вызвать; на очередных выборах правящая партия может победить, а может и не победить.

Все это примеры событий, которые при одних и тех же условиях могут произойти, а могут и не произойти.

  • Определим виды событий.

1.Достоверное.
2.Невозможное.
3.Случайное.

  • Дадим определения и приведем примеры.

Каждое случайное событие есть следствие действия очень многих случайных величин. (Сила, с которой брошена монета, форма монеты и многое другое).

Невозможно учесть влияние на результат всех этих причин, т.к. число их велико и законы действия неизвестны.

Теория вероятностей и не ставит перед собой задачу предсказать, произойдет единичное событие или нет – она просто не в силах это сделать.

Если же речь идет о массовых однородных случайных событиях, то они подчиняются определенным закономерностям, а именно вероятностным закономерностям.

  • Предметом теории вероятностей является изучение вероятностных закономерностей массовых однородных случайных событий.

Нельзя наперед определить результат одного бросания монеты, но можно предсказать, причем с небольшой погрешностью, число появлений “герба”, если монета будет брошена достаточно большое число раз.

  • Историческая справка.
  1. Первые работы, в которых зарождались основные понятия теории вероятностей, представляли собой попытки создания теории азартных игр (XVI-XVII вв), связаны с именами Кардано, Гюйгенса, Паскаля, Ферма и др.
  2. Следующий этап развития теории вероятностей связан с именем Якоба Бернулли (1654-1705). Доказанная им теорема “Закон больших чисел” была первым теоретическим обоснованием накопленных ранее фактов.
  3. Дальнейшими успехами ТВ обязана Муавру, Лапласу, Гауссу, Пуассону и др.
  4. Наиболее плодотворный период связан с именами П.Л.Чебышева (1821-1894) и его учениками: А.А.Марковым (1856-1922) и А.М.Ляпуновым (1857-1918). В этот период ТВ становится стройной математической наукой.
  5. Последующее развитие ТВ обязано русским математикам С.Н. Бернштейну, В.И. Романовскому и А.Н.Колмогорову.
  6. В настоящее время ведущая роль в создании новых ветвей ТВ также принадлежит российским математикам.
  • Перестановки
АБ и БА 2
АБВ, АВБ, БАВ, БВА, ВАБ, ВБА 6
АБВГ … 24

А 10 букв?

Каждый способ расположения данного числа букв называется перестановкой.

Сколько способов, как подсчитать?

1 = 1!

2 =

6 =

24 =

Напрашивается гипотеза:

  • Число перестановок n предметов, равно произведению первых n натуральных чисел.

n! =

не трудно убедиться, что 10!= 3628800.

  • Вероятность.

Семь букв разрезной азбуки А,А,Б,Б,К,У,Ш положены в мешок, откуда их вынимают наудачу и располагают одну за другой в порядке, в котором они появляются. В результате появляется слово БАБУШКА.

Занумеруем А1,А2, Б3,Б4,К5,У6,Ш7. Карточки можно расположить по порядку 7!=5040 способами. Слово бабушка появиться в четырех. Почему?

Б3 А1Б4 У6 Ш7 К5 А2
Б3 А2Б4 У6 Ш7 К5 А1
Б4 А1 Б3У6 Ш7 К5 А2
Б4 А2 Б3 У6 Ш7 К5 А1

Говорят, что из общего числа случаев (5040) четыре случая благоприятствуют появлению интересующего нас события.

  • Отношение числа благоприятствующих случаев к общему числу случаев называют вероятностью события.

вероятность эта очень мала и наше событие действительно “маловероятно”.

  • Каков практический смысл?

Если много раз производить испытания с буквами, то примерно один раз на 1260 испытаний произойдет наше событие (само собою сложится слово БАБУШКА).

Аналогично можно рассчитать, что из четырех букв А,А,М,М слово МАМА будет складываться с вероятностью

  • Равновозможные случаи

Игральная кость – кубик, на гранях которого обозначено число очков от 1 до 6. выбросив 2 кости, можно получить сумму очков на верхних гранях от 2 до 12.

Можно было бы думать, что в задаче имеется 11 возможных случаев и вероятность появления каждого из них равна 1/11. Но это не так. Почему?

Опыт показывает, что сумма 7 появляется много чаще, чем сумма 12, т.к. 12 получается только как 6+6, а 7 многими способами:

1+6=2+5=3+4=4+3=5+2=6+1=7

(1+6 и 6+1 различные возможности). В основу подсчета вероятностей здесь надо положить рассмотрение всех 36 случаев.

11 12 13 14 15 16
21 22 23 24 25 26
31 32 33 …    
41 42 43 …    
51 52 …      
61 …        

Все эти случаи равновозможны. При большом числе повторений эти 36 случаев появляются примерно одинаково часто.

Сумма 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Число благоприятствующих случаев

1

2

3

4

5

6

5

4

3

2

1
Вероятность 1/36 1/18 1/12 1/9 5/36 1/6 5/36 1/9 1/12 1/18 1/36
  • Какие же события называются равновозможными?

Равновозможными называются события, если есть основания считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое.

  • Приведите примеры.

Появление герба и появление надписи при бросании монеты – равновозможные события.

Появление того или иного числа очков при бросании игральной кости – равновозможные.

  • Подведение итогов.

Что узнали?

  • Что такое математическая статистика.
  • Что изучает теория вероятностей.
  • Виды событий.
  • Историческую справку.
  • Перестановки.
  • Вероятность.
  • Равновозможные события.

Предлагаю вам написать синквейн.

1 стр. - название темы (новый предмет).

2 стр. - 2 прилагательных, отражающих свойство предмета.

3 стр. - 3 глагола, описывающие действия объекта.

4 стр. - предложение из 4 слов, выражающих отношение автора к теме.

5 стр. - синоним к первой.

Самоанализ урока

Курс: основы теории вероятностей и математической статистики.

Класс: 11-й, естественно-научное направление.

Тема урока: Введение в теорию вероятностей и комбинаторику.

Данный урок является вводным в изучаемый курс, не требует специальных знаний.

Цели урока:

Получение представлений об изучаемом предмете, его основных понятиях.

1. Обеспечение в ходе урока усвоение следующих основных понятий: события, их виды, вероятность.

2. Создание условий для формирования основных мировоззренческих идей: причинно- следственных связей, вероятностно- статистического мышления.

3. Развитие познавательного интереса, мотивации через применение занимательных задач и примеров.

Тип урока: лекция-беседа.

Эта форма проведения урока целесообразна при:

- изучении нового материала, мало связанного с ранее изученным, вводных уроках.

Лекция строится на сочетании этапов урока:

  • организации;
  • постановки цели;
  • сообщении знаний учителем и усвоении их учащимися;
  • определении домашнего задания.

Методы, используемые на уроке: словесный, индуктивный.

Так как урок вводный в данный курс, то мною предусматривалась подача материала с элементами занимательности, историческими справками. Рационально распределено время на всех этапах урока. Темп урока соответствовал уровню развития и подготовленности учащихся.

Мною задумывался диалог между учителем и учащимися, так как класс достаточно сильный и знаком мне по посещенным зачетам, замещению уроков.

Урок способствовал формированию основных мировоззренческих идей, вероятностно-статистического мышления, умения выделять межпредметные связи.

Содержание урока способствовало развитию интереса к учению, о чем свидетельствует рефлексивный этап урока.

Учащиеся на уроке проявляли активность, самостоятельно приходили к выводу.

Цели, поставленные на уроке, достигнуты.