Программа элективного курса "Плоские кривые — изящные порождения человеческого разума"

Пояснительная записка

“Мир кривых
гораздо разнообразнее и богаче мира точек,
но только математики ХХ века
сумели овладеть его богатством”
Р.Винер

Данный элективный курс предназначен для реализации в 9 классе в рамках предпрофильной подготовки.

Наряду с основной задачей обучения математике – обеспечение прочного и сознательного овладения учащимися системой математический знаний и умений – элективный курс способствует формированию устойчивого интереса к предмету, развитию математических способностей, мотивации предпочтения математическому профилю для продолжения образования.

Задачи курса:

• продемонстрировать сущность научного подхода, специфику математики;
• показать роль математики в прикладных исследованиях;
• научить приемам исследования и решения математически формализованных задач, организовать поисково-исследовательскую деятельность.
• помочь в формировании навыков самостоятельного изучения математических текстов, делового общения;
• оценить свой потенциал с точки зрения образовательной перспективы;
• приобрести уверенность в себе, научиться самостоятельно мыслить.

Программа курса составлена на материале алгебры, математического анализа и аналитической геометрии, не дублирует школьный курс, а расширяет и углубляет содержание учебника математики.

Курс состоит из трех частей. Первая часть посвящена истокам возникновения кривых: прямой, окружности, эллипсу, спиралям; поиску плоских кривых в вышивках, в резных кружевах деревянного и каменного зодчества (используется краеведческий материал). Рассмотрена богатая приложениями тема “Симметрия”.

Во второй и третьей частях изучаются конические сечения, циклоидальные кривые, их свойства и приложения. Кривые доставляют не только эстетическое удовольствие, их свойства позволяют с наибольшей простотой решать разнообразные практические задачи, лежат в основе активной преобразующей роли математики в науке, технике, искусстве.

Притягательная сила и очарование кривых отчасти объясняется тем, что одну и ту же кривую можно построить различными способами:

- результат пересечения поверхности кругового конуса с плоскостью;

- траектории движения точек;

- огибающие семейства линий;

• графики уравнений в системе координат.

Эти вопросы рассмотрены в заключительной части курса.

В результате изучения курса учащиеся

должны знать:

• роль фундаментальных знаний математики в развитии науки, техники, искусства;
• содержание понятий “симметрия”, “кривая”, “виды кривых”, “система координат”, “касательная к кривой” “огибающая”;
• суть различных подходов к изучению плоских кривых, сопоставление различные способы построения кривых;
• сущность бескоординатного метода и метода координат,

должны уметь:

• выполнять сравнительный анализ декартовой и полярной систем координат;
• строить плоские кривые различными методами,
• решать простейшие задачи аналитической геометрии;
• самостоятельно анализировать и отбирать материал для выступлений, рефератов.

Аттестация учащихся предусматривает успешное выполнение одного из ниже перечисленных пунктов

- решений задач, тестирование (три работы с положительными результатами), активное участие в диспутах, дискуссиях;

• написание реферата на заданную тему и выступление с сообщением на занятии;
• выполнение по теме курса исследовательской работы индивидуально или группой (2-3 человека);
• презентация альбомов кривых;
• изготовление демонстрационного материала (конические сечения, маятник Гюйгенса, линейка для эпициклов, устройства для вычерчивания окружности и эллипса, “математические” вышивки);
• выполнение проекта по любому вопросу темы.

Курс рассчитан на 26 аудиторных часов (2 часа в неделю). Программа выстроена таким образом, что при необходимости время на изучение той или иной темы можно варьировать.

1. Введение 4 часа
1. Понятие кривой. Истоки орнаментики. Бордюры. Плоские кривые в декоративно-прикладном искусстве (вышивки, наличники), в архитектуре (на примерах памятников Старой Руссы и Новгородской области).
2. Симметрия и асимметрия. Роль симметрии в познании мира. Симметрия в живой и неживой природе, живописи, архитектуре.
3. Функциональные зависимости реальных процессов. Нефункции.
2. Конические сечения 7 часов
1. Прямая, уравнения прямой.
2. Решение задачи об удвоении куба – начало исследований конических сечений. Трисекция угла, квадратура круга. Легенды, связанные с решением этих задач.
3. Теорема Паскаля об общем свойстве конических сечений.
4. Кривые второго порядка – траектории движения космических тел. Метод построения конических сечений (метод Дюрера).
5. Парабола. Движение тела, брошенного под углом к горизонту. Парабола безопасности. Квадратичная функция.
6. Гипербола. Гипербола и функция обратной пропорциональности. Гипербола – граница зоны слышимости. Гипербола и явление капиллярности.
3. Циклоидальные кривые 8 часов
1. Геоцентрическая и гелиоцентрическая системы мира. Кардиоида, нефроида, астроида, их некоторые свойства.
2. Циклоида. Приложение свойств циклоиды (изохронность, брахистохронность). Маятник Гюйгенса. Задача Бернулли. Касательные к циклоиде. Длина арки циклоиды. Опыт Галилея.
3. Математические гармонии. Золотое сечение. Числа Фиббоначи. Золотое сечение в работах Евклида, Л. да Винчи, Дюрера, Цейзинга. Теории пропорции человеческого тела в трудах Дюрера и Ле Корбюзье. Второе золотое сечение. “Золотые” фигуры. Золотое сечение в природе, технике, живописи.
4. Спирали. Спираль Архимеда. Задачи Архимеда (площадь фигуры, ограниченной первым витком кривой, способ построения касательной к кривой). Спираль – композиционная основа картины. Спираль в живой и неживой природе. Спирали в технике. Сопоставление арифметической прогрессии (d=1) и геометрической прогрессии (q=2). Спираль и ступени темперированной хроматической гаммы.
4. Построение плоских кривых 8 часов

1. Бескоординатные методы построения кривых.

1. Геометрическое место точек. Метод Дюрера. Построение окружности и эллипса.
2. Огибающая. Семейства линий и их огибающие. Окружность, эллипс, парабола, астроида –огибающие семейства прямых. Кардиоида и нефроида – огибающие семейства окружностей.
3. “Математическое” вышивание. Построение циклоидальных кривых.
4. Кинематический метод построения кривых. Построения циклоиды. Эпициклы. Эпициклоиды и гипоциклоиды. Линейка для построения эпициклов. Альбом кривых (презентация).

4.2 Метод координат. Декартовая прямоугольная система координат на плоскости. Полярная система координат. Полярная ось. Полюс. Связь декартовой и полярной систем координат. Построение графиков y=ax и r = aj . Другие системы координат. “Построение кривых. Какой метод лучше?” (дискуссия).

В качестве источника информации по рассмотренным в курсе темам предлагаются:

1. Барр Ст. Россыпи головоломок М., 1987.
2. Берман Г.Н. Циклоида М., 1981.
3. Болтянский В.Г. Огибающая. М., 1961.
4. Васильев Н.Б. Прямые и кривые.- М., 1970.
5. Виленкин Н.Я. Функции в природе и технике.- М.,1985.
6. Волошинов А.В. Математика и искусство.- М., 2000.
7. Ильин В.А. Аналитическая геометрия.- М., 1981.
8. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии.- М., 1986.
9. Левитин К. Геометрическая рапсодия.- М., 1976.
10. Нагибин Ф.Ф. Математическая шкатулка.- М.,1989.
11. Пидоу Д. Геометрия и искусство.- М.,1979.
12. Понтрягин Л.С. Метод координат.- М., 1987.
13. Попов Ю.П. Математика в образах.- М., 1989.
14. Райхмист Р.Б. Графики функций: задачи и упражнения М.,1997
15. Тарасов Л. Этот удивительно симметричный мир.- М., 1982.
16. Шипачев В.С. Аналитическая геометрия. М., 1997.

http://rusproject.narod.ru/article/polar2.htm

http://www.pm298.ru/spec3.shtml

http://vm.msun.ru/Vec_exe/Urok2/Urok2.htm

http://kvant.mirror1.mccme.ru/1977/09/nefroida.htm

http://sibupk.nsk.su/New/04/chairs/c_equip/www/wolchin/umm/ng/book/001/032.htm

http://www.krugosvet.ru/articles/15/1001528/1001528a1.htm

http://www.krugosvet.ru/articles/15/1001522/1001522a1.htm

http://math.ru/lib/21

http://dictionaries.rin.ru/cgi-bin/see

http://video.mail.ru/mail/ketarius/100/124.html