Графическое решение уравнений, содержащих модуль функции и параметр

Разгуляева Татьяна Илларионовна, учитель математики

На выпускных экзаменах для учащихся большую трудность представляют задачи, содержащие параметры. Поэтому, начиная с 8 класса, мы учимся решать такие задачи. Но не всегда их можно решить аналитически, иногда гораздо легче они решаются графически. По программе 8 класса, изучая тему: “Модуль функции”, построение графиков с модулем с учениками сильной подгруппы мы разбирали графическое решение уравнений, содержащих модуль функции и параметр. При решении подобных задач необходимо уметь строить графики, содержащие модуль функции, знать линейные преобразования функций и уметь исследовать решение в зависимости от изменения параметра.

Рассмотрим пример, предложенный в вариантах центрального тестирования 2002 г.

1. Найдите все значения параметра a, при которых графики функций и y=|x+a| имеют одну общую точку.

При решении данной задачи строим график, не содержащий параметр :

При x<-4; y=-1,

При x>-4; y=1, - две прямые, параллельные оси Ох.

Далее строим y=|x+a|, график получен из графика y=|x| смещением вдоль оси Ох на (-a) единиц, перемещая y=|x| влево вдоль оси Ох определяем, где эти графики пересекаясь будут иметь одну общую точку. Получим: . Следовательно ответ:

2. При каких значениях параметра a уравнение имеет три решения. Найти эти решения.

Преобразуем уравнение к виду: ; Сначала строим график , полученный из графика y=|x| перемещением вдоль оси Ох на 4 единицы, вдоль оси Оу на (-3) единицы и зеркальным отображением отрицательной части графика относительно оси Ох, так как по свойству модуля.

Далее график - прямую линию, параллельную оси Ох перемещаем вдоль оси Оу до тех пор, когда она пересечет первый график в трех точках.

Получим

Ответ: при уравнение имеет три решения: ; ; .

3. Сколько решений в зависимости от параметра a имеет уравнение ?

Строим ; Дробно линейная функция, график гипербола, полученная из графика перемещением вдоль оси Ох на (-1) единицу, вдоль оси Оу на (-2) единицы, а затем по свойству модуля, т.к. он не может быть отрицательным, всю часть графика, расположенную ниже оси Ох, зеркально отображаем относительно оси Ох.