Экономический смысл производной

Разделы: Математика

Тип урока: урок усвоения новых знаний

Вид урока: урок - деловая игра с элементами исследования

Цель урока: сформировать у учащихся первичное представление об экономическом смысле производной.

Задачи:

  • обеспечение усвоения учащимися способа вычисления производительности труда в момент времени t0 через производную;
  • продолжение формирования умения анализировать, сравнивать, высказывать предположения;
  • развитие навыков самостоятельной поисковой деятельности;
  • развитие творческой деятельности в процессе конструирования математической модели;
  • развитие умения организовать себя на выполнение поставленной задачи;
  • продолжение формирования навыков самооценки и самоанализа учебной деятельности;
  • воспитание экономической культуры учащихся, дисциплинированности, культуры труда.

Оборудование: мультимедиапроектор, компьютер, презентация, жетоны 3 цветов, раздаточный материал (теория об экономическом смысле производной), чеки, книга «Отзывы и предложения».

Ход урока

1. Организация класса.

2. Постановка проблемы.

Наше занятие хотелось бы начать со следующих слов: (слайд 1)

Через математические знания,
полученные в школе, лежит широкая
дорога к огромным, почти необозримым
областям труда и открытий.

А.И. Маркушевич

Учитель: скоро вы закончите школу, получите профессию, устроитесь на работу… Давайте заглянем в будущее. Сегодня мы с вами представляем предприятие «Выпускник», цех №11 по производству калькуляторов. Вы – работники предприятия, я – директор предприятия (слайд 2). Анализируя вашу работу за 9 января 2007 года я обнаружила, что фактический объем выпуска не совпал с плановым. К сожалению, он намного меньше. В чем же причина? А именно, меня интересует, какова была ваша производительность труда в течение каждого часа работы?

Так же мне известно, что объем продукции у в течение рабочего дня представлен функцией , t– время, ч. (слайд 3).

Уважаемые сотрудники, может быть кто–нибудь знает, как вычислить производительность труда в течение каждого часа работы?

Учащиеся выдвигают гипотезы, идет их обсуждение.

Учитель: бывает так, что решая задачи очень далекие друг от друга по содержанию, мы приходим к одной и той же математической модели. Сила математики состоит в том, что она разрабатывает способы оперирования с той или иной моделью, которыми потом пользуются в других областях знаний.

Вопрос учителя: с какими математическими моделями вы знакомы? Ответ: уравнения, неравенства, системы уравнений, системы неравенств…

Учитель: в прошлом году вы познакомились с двумя различными задачами, которые привели вас к одной и той же математической модели – пределу отношения приращения функции к приращению аргумента, при условии, что приращение аргумента стремится к 0 (слайд 4). Многие задачи экономики приводят в процессе решения к такой же модели (слайд 5).

Сегодня на уроке мы познакомимся с одной из таких задач, т.е. будем говорить об экономическом смысле производной и надеюсь, нам удастся решить ту проблему, речь о которой шла в начале урока.

Записывают в тетради тему урока «Экономический смысл производной» (слайд 6).

3. Актуализация ЗУН.

Для того, чтобы работа была успешной нам необходимо повторить теоретические знания о производной и практические навыки нахождения производных элементарных функций.

Поскольку я являюсь директором, то я имею право премировать вас за успешную работу на каждом этапе вашей деятельности:

20% - за верно выполненное задание;

15% - за часть верно выполненного задания;

5% - тем, кто работал, но не все сегодня получилось.

I. Теоретическая часть (слайд 7).

Вставьте необходимый математический термин:

  1. Пусть функция у=f(x) определена в точках х1 и х0 . Разность х1 - х0 называют…
  2. Разность f( х1)- f(х0) – называют …
  3. … у=f(x) в точке называется предел отношения приращения функции к соответствующему приращению аргумента, когда последнее стремится к 0.

Проверка работы. Оценивание (слайд 8).

  1. Пусть функция у=f(x) определена в точках х1 и х0. Разность х1 - х0 называют приращением аргумента.
  2. Разность f(х1)- f(х0) – называют приращением функции.
  3. Производной функции у=f(x) в точке называется предел отношения приращения функции к соответствующему приращению аргумента, когда последнее стремится к 0.

II. Практические навыки (слайд 9).

Найдите производные функций:

Проверка. Оценивание (слайд 10).

1) б; 2) в; 3) в.

Вычислите определенный интеграл (слайд 11):

Проверка. Оценивание (слайд 12).

1) а; 2) в.

4. Формирование новых знаний учащихся.

Учащиеся самостоятельно знакомятся с экономическим смыслом производной.

Пусть производительность труда у=у(t) выражает количество произведенной продукции у за время t. Необходимо найти производительность труда в момент времени t0.

За период времени от количество произведенной продукции изменится от значения y0= y(t0) до значения Тогда средняя производительность труда за этот период времени Очевидно, что производительность труда в момент времени t0 можно определить как предельное значение средней производительности за период времени от t0 до Таким образом, производительность труда есть производная объема выпускаемой продукции.

5. Формирование умений и навыков учащихся.

На основании изученной теории ученики самостоятельно решают задачу о вычислении производительности труда во время каждого часа работы, при условии, что объем продукции у в течение рабочего дня представлен функцией , t– время, ч. (слайд 13).

Обсуждение результатов решения задачи (слайд 14):

Вопрос: почему после третьего часа работы мы наблюдаем спад производительности труда (слайд 15)?

Ответ: упадок сил, плохо проветрено помещение и т.д.

Подведение итогов. Оценивание.

Учитель: как вы видите, важно не только получить ответ, но и соотнести его с реальностью.

Зная теорию, теперь вы готовы к тому, чтобы решать и другие проблемы, возникающие на предприятии.

Задача. Производительность труда рабочего времени в течение смены приблизительно выражается функцией где х – время (ч) , . Вычислить объем выпуска продукции в течение месяца, если количество рабочих дней равно 24.

(Ответы округлять до целых ) (слайд 16).

Решение: (слайд 17)

В течение месяца объем выпуска составит

Учащиеся оценивают свою работу.

6. Подведение итогов урока.

Учитель: сегодня производительность в течение этого часа у большинства учащихся была высокой. Я, как директор, очень довольна результатами. Попрошу вас подсчитать количество набранных процентов.

Поскольку такой большой суммы у меня в наличии с собой нет, я выписываю вам чеки. Если вы набрали…

  • от 90% – 100% - вы можете рассчитывать на приобретение мотоцикла (слайд 18);
  • от 70 %-89% - на приобретение мягкой мебели (слайд 19);
  • от 50 %– 69% - породистую собачку (слайд 20);
  • меньше 50% - справочник по математике (слайд 21).

7. Рефлексия.

Перед тем, как вы покинете кабинет, оставьте, пожалуйста, в книге свои отзывы и предложения о работе нашего предприятия: своей деятельности и моей, как «директора».

Наше занятие хотелось бы закончить словами эпиграфа (слайд 22).