Определение наибольшего и наименьшего значения функции

Разделы: Математика


Урок проходит в кабинете математики, оборудованном интерактивной доской в 10-м классе с углубленным изучением математики после завершения изучения темы “Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции с помощью производной”.

Тема урока: Рациональный выбор метода решения задач на определение области значений функции.

Цели:

1 выработать умение учащихся выбирать рациональный метод решения задачи в зависимости от вида конкретной функции;

2) усилить понимание гармоничности сочетания приемов решения задач, полученных при изучении элементарной математики и математического анализа;

3) закрепить теоретические основы при изучении данной темы в ракурсе целостного восприятия различных разделов математики;

4) отработать навыки работы с интерактивной доской;

5) активизировать творческую составляющую деятельности учащихся.

Задачи:

1) анализ возможных подходов при выборе типа решения задачи;

2) оценка трудоемкости различных методов решения;

3) повторение способов исследования функции элементарными методами;

4) умение оценивать достоинства и недостатки исследования функции методами элементарной и высшей математики в каждом конкретном случае;

5) подготовка к сдаче единого государственного экзамена с точки зрения оптимальности использования времени при выполнении задания;

6) развитие умения самостоятельно принимать решение об эффективности применения различных методов.

Схема урока.

I. Повторение пройденного материала и вопросов, подготавливающих к пониманию новых задач.

1) Нахождение области значений квадратичной функции методами элементарной математики.

Задача № 1.

При каких значениях m функция y = 5x2 + mx – 3 имеет минимум в точке х0 = 1,3?

Решение:

Графиком данной функции является парабола ветвями вверх, значит функция имеет минимум в точке х0 = 1,3.

хв = х0 = - х /10 = 1,3;

m = - 13.

2) Область значений тригонометрических функций. Оценка “сверху” и “снизу”.

Задача № 2.

Найти область значений функции у = (sinx – cosx)2 + 0,25.

Решение:

у = (sinx – cosx)2 + 0,25 = sin2x – 2sinxcosx + cos2x + 0,25 = 1,25 – sin2x;

II Задача № 3.

При каком значении m функция

имеет минимум в точке х0 = 1,3?

Решение:

I способ. Используя результат задачи №1, найдем область значений данного выражения.

Т.к. под знаком радикала стоит функция, имеющая минимум в точке х = 1,3 при m = -13, то и данная функция будет иметь минимум в этой точке.

II способ.

Найдем производную функции:

Найдем критические точки функции ;

10x + m = 0; По условию задачи х0 = 1,3; 13 +m = 0; m = 13.

Определим знаки производной с обеих сторон от критической точки, т.к. знаменатель всегда больше нуля, то знак производной определяется знаком числителя. При х = 1,

при х = 2, значит х = 1,3 – точка минимума.

Задача №4.

Найдите наибольшее целое значение функции

I способ.

Воспользуемся результатом решения задачи №2. Область значений функции под знаком корня

Т.к. , то ,

,

.

Наименьшее целое значение функции у = 2.

II способ.

Решим задачу с помощью производной:

;

.

Найдем критические точки: т. к. знаменатель производной больше нуля, то cos2x = 0, ,

.

Исследуем функцию на экстремумы. На данном этапе исследование можно прекратить, т. к. очевидно, что дальнейшее исследование становиться очень трудоемким, а как было указано выше нас крайне интересует затрата времени – ведь речь идет об экзамене.

Вывод: приступая к решению задачи особенно важно уметь оценивать трудоемкость метода и находить рациональный путь, избегая в некоторых случаях искушения решить задачу универсальным путем - с помощью производной, тем не менее, понимая, что далеко не все задачи на данную тему можно решить элементарными методами.

Форма проведения урока – сочетание объяснения учителя с фронтальной коллективной работой учащихся.

Интерактивная доска позволяет в необходимый момент высветить на доске первоначальное решение задачи и сравнить трудоемкость решения.

Домашнее задание: №437. Виленкин Н.Я., О.С. Ивашев – Мусатов, С.И. Шварцбуд. “ Алгебра и начала анализа” 10 класс.

Литература:

1.Виленкин Н.Я., О.С. Ивашев – Мусатов, С.И. Шварцбуд. “ Алгебра и начала анализа” 10 класс.

2. Денищева Л.О, Е.М Бойченко, Ю.А Глазков и др.