Урок алгебры и начала анализа в 11-м классе "Показательные уравнения"

Цели и задачи:

• Обобщить знания и умения учащихся по применению методов решения показательных уравнений.
• Актуализировать личностный смысл учащихся к изучению темы.
• Помочь учащимся осознать социальную, практическую и личную значимость учебного материала.
• Создать содержательные и организационные условия для развития умений решать показательные уравнения, системы уравнений и находить различные способы их решений.
• Создать условия для творческой самореализации личности.
• Развивать умение наблюдать, сравнивать, обобщать, анализировать математические ситуации.
• Воспитывать такие качества личности, как познавательная активность, самостоятельность, упорство в достижении цели, работа поискового характера.
• Заинтересовать учеников в решении нестандартных показательных уравнений и систем уравнений для подготовки к ЕГЭ.
• Побуждать учащихся к самоконтролю, взаимоконтролю самоанализу своей деятельности.
• Учить детей выдвигать гипотезы и находить правильные решения.
• Развивать логико-математическую речь.
• Создание творческого микроклимата на уроке.

Использованные организационные формы при обучении:

• Индивидуальная.
• Дифференцированная.
• Групповая.
• Коллективная.
• Фронтальная.

Использованные методические приёмы:

• Адекватность данного урока и подбор выбранных заданий.
• Обоснованность места использования курса лекций “Уравнения и неравенства в школьном курсе математики” (дистанционные курсы в Педагогическом университете “Первое сентября”.
• Эффективность использования приёма – применение знаний по теме: “Показательные уравнения” при сдаче ЕГЭ.

Психолого-педагогическая характеристика 11 класса.

В классе 11 человек: 4 мальчика и 7 девочек.

Темп умственной работы у большинства учащихся средний.

Период наибольшей продуктивности – начало урока. Класс по умственным способностям средний. Трое учащихся имеют заключение ПМПК о нарушении устной и письменной речи. После диагностики: “Ведущий вид репрезентативной системы” детей психологом, выявлено, что в классе –

- кинестетик (через чувства, ощущения) – 4 ученика (Коробенко Люба, Лунюшкина Таня, Синькова Света, Уськов Володя).

- аудиал (слух) – 1 ученик (Грибова Лена).

- аудиал, кинестетик – 2 ученика (Васильев Серёжа, Кетруш Виорика).

В связи с этим даются дифференцированные задания с учетом особенностей личности ученика.

Исходя из особенностей данного класса, целесообразно на уроке обеспечивать самостоятельную познавательную активность учащихся, поиск нестандартных способов достижения целей в сочетании индивидуальной, групповой форм работы с другими формами.

Анализ интереса учащихся к теме.

После урока был проведён опрос учащихся. Были получены интереснейшие мысли, вот некоторые из них:

- Синькова С. “Открытый урок, который прошел 18.01.07г. по алгебре был полезен для меня. Мы решали сложные уравнения, знание решений которых будем применять на ЕГЭ. Урок позволил нам расширить свои знания в области решения показательных уравнений…”.

- Коробенко Л. “…Урок для меня пошел на пользу, я узнала много нового, что пригодиться при сдаче ЕГЭ по математике…”.

- Тыдыкова Ю. “…Прошлый урок алгебры прошел в очень интересной форме обучения. Я считаю, что таких уроков нужно проводить больше, потому что они усваиваются гораздо лучше обычных и мы получаем больше знаний. Больше всего из этого урока мне понравился раздел “Изюминка”, очень познавательный. Давайте почаще решать такие примеры и проводить такие уроки…”.

- Уськов В. “…этот урок дал мне некоторые знания для сдачи экзаменов и дальнейшее понимание в области математики…”.

Юркова И. “… “Изюминки” - интереснейшая часть урока помогла нам более глубже проникнуть в изучение материала и разобраться с более сложными заданиями…”.

Показательные уравнения

Развитие и образование ни одному человеку не могут быть даны или сообщены. Всякий, кто желает к ним приобщиться, должен достигнуть этого собственной деятельностью, собственными силами, собственным напряжением.

А. Дистервег

Цели:

1. Обобщить знания и умения учащихся по применению методов решения показательных уравнений.
2. Развивать умение наблюдать, обобщать, анализировать математические ситуации.
3. Воспитывать такие качества личности, как познавательная активность, самостоятельность, упорство в достижении цели, работа поискового характера. Заинтересовать учеников в решении нестандартных показательных уравнений и систем уравнений для подготовки к ЕГЭ. Побуждать учеников к самоконтролю, взаимоконтролю, самоанализу своей деятельности.

Оборудование: на столах у учащихся оценочные листы, карточки с заданиями теста, с заданиями для работы в группах.

Работа учащихся состоит из четырёх этапов. Итоги своей деятельности ребята фиксируют в оценочных листах.

Оценочный лист учащегося

Фамилия ____________________________________________________

Имя _________________________________________________________

Итоговое количество баллов ____________

Оценка ____________

Самооценка за урок зависит от суммы набранных баллов на всех этапах.

Критерии оценок:

• “5” 13 – 17 баллов
• “4” 11 – 12 баллов
• “3” 8 – 10 баллов.

Предварительное домашнее задание:

Повторить определение показательного уравнения, теорему о корне, методы решения показательных уравнений. Найти “Изюминки” по теме: “Показательные уравнения” и представить решение на уроке.

План урока.

1. Устный опрос.
2. Тест.
3. Работа в группах.
4. “Изюминки”.
5. Домашнее задание.

Оценка работы учащихся.

Работа учащихся оценивается на каждом этапе урока определенным количеством баллов. По результатам работы формируется итоговая оценка за урок.

Структура урока.

Урок начинается с вводной беседы учителя, в которой он отмечает, что сложные показательные уравнения и системы уравнений часто вызывают у учащихся старших классов значительные трудности. Поэтому нам сегодня предстоит повторить методы решения и изучив “Изюминки” научиться решать нестандартные показательные уравнения и системы уравнений.

Учитель ориентирует учеников в работе с оценочными листами.

Этап 1.

а) Определение показательного уравнения.

б) Теорема о равносильности уравнений.

в) Методы решения показательных уравнений.

Этап 2. (10 минут).

Посредством теста проверяют умения учащихся применять разные методы при решении показательных уравнений. (Задания из ЕГЭ: В₁ и В₂).

По окончании работы над тестом учитель открывает заранее приготовленные ответы.

Оценивается тест:

• 1 задание – 2 балла.
• 2 задание – 3 балла.
• 3 задание – 3 балла.
• 4 задание – 1 балл.

Ответ:

• Вариант 1 - 4 2 1 1
• Вариант 2 - 4 2 1 1

Этап 3. (10 минут).

Работа в группах: результаты работы каждого члена группы оцениваются консультантом по пятибалльной шкале.

Работа поискового характера.

Рассматривается умение решать показательные уравнения, содержащие модуль или однородные уравнения разных оснований.

Задания для работы в группах.

1 группа. Решить уравнение:

(Решение:

Ответ: )

2 группа. Решите уравнение: 3·16^х + 2·81^х = 5·36^х

(Решение: 3·16^х + 2·81^х = 5·36^х

Или 3·4^2х + 2·9^2х – 5(4·9)^х = 0

3·4^2х + 2·9^2х – 5·4^х·9^х = 0

Получили уравнение, однородное относительно 4^х и 9^х. разделим обе части уравнения, например на 4^2х, то получим .

Пусть =а, причем 0>0, то 2а² – 5а + 3 = 0

. а₂=1

, Ответ: .)

Этап 4. (10 минут). Ученики представляют свои “Изюминки” - нестандартные показательные уравнения и системы уравнений. Каждая “Изюминка” оценивается в 3 балла.

Решите уравнение: 8^х – 3·4^х – 3·2^х+1 + 8 = 0

(Решение: 8^х – 3·4^х – 6·2^х + 8 = 0, пусть t=2^x, тогда

t² – 5t + 4 = 0, , t₁=4 t₂=1

2^x=4 2^x=1

x=2 x=0 Ответ: 0; 2 )

2. Решите уравнение: 2^х + 2^-х = 2cos²x.

(Решение: т.к. 2^х >0 при любых х, 2^х + 2^-х = 2^х + при любых х, причем знак равенства выполняется, если х = 0. Следовательно, исходное уравнение равносильно следующей системе: , значит х = 0. Ответ: 0 .

3. Решите систему уравнений:

(Решение: складывая оба уравнения, получаем

6^2х + 6^х·у + у² + у·6^х + 4 или (6^х + у)² = 4, 6^х + у = 2, 6^х + у = -2, у = 2 – 6^х

Рассмотрим два случая:

1)

2) решений нет.

Ответ: (1;-4)

4. Решите систему уравнений:

(Решение: Перемножим уравнения системы, а затем разделим первое уравнение на второе. Получим:

Ответ: (2;1)

5. Решите систему уравнений:

(Решение: Используя метод подстановки, выразим из второго уравнения системы 2у, учтём, что 4у² = (2у)²

(1 + 4·2^х)² = 4·4^х + 8 или 1 + 8·2^х + 16·2^2х – 4·2^2х – 8 = 0, 12·2^2х + 8·2^х – 7 = 0

Пусть 2^х = а, тогда получим квадратное уравнение

12а² + 8а – 7 = 0

2^х = 2^х = -

х = -1 решений нет

2у = -1 -2^-1+2 = -1-2 = -3

2у = -3, у = - Ответ: ( -1; - )

Этап 5. Итог урока.

Учитель отмечает:

- Полезен ли вам был сегодняшний урок?

- Что нового каждый из вас сегодня взял с урока?

После выполнения всех заданий консультанты выставляют итоговую оценку каждому участнику группы. Оценочные листы сдают учителю, который выставляет оценки в журнал.

После подведения итогов, учитель даёт задание на дом:

№ 1386, 1388 (из учебника) и продолжить подбор “Изюминок” по ЕГЭ.

Приложение.