Открытый урок по алгебре в 7-м классе

Цели урока:

• закрепить знание формул сокращенного умножения и умения их применять в различных упражнениях;
• обучение ученика правильно, логически обоснованно мыслить и рассуждать;
• воспитывать самоконтроль учащихся.

План урока:

I. Организационный момент.

II. Запись домашнего задания: № 361 (1), 362 (2), 363 (3,5), 384 (2), 364 (1), 388 (1,3).

III. Проверка домашнего задания с элементами опроса:

1) диктант с проверкой.

Запишите:

1) квадрат разности чисел а и b;

2) квадрат суммы чисел а и b;

3) разность квадратов чисел а и b;

4, 5) сумма (разность) кубов.

Один ученик из слабой группы пишет на переносной доске в конце кабинета. Класс пишет в тетрадях.

2) вопрос к классу: “Почему эти формулы называются формулами сокращенного умножения?”

3) предложить привести примеры применения формул сокращенного умножения для упрощения вычислений, аналогичных домашнему заданию. Например:

а) 17²–15² =(17-15)x(17+15)=2x32=64;
б) 13²-2x13x11+121=(13-11) ²=2²=4;
в) 48?52=(50-2)?(50+2)=50²-2²=2500-4=2496;
г) 41²=(40+1) ²=40²+2x1+1=1600+80+1+1681.

Задание: показать, как формулы помогают сравнить 874² и 870x878.

870x878=(874-4)x(874+4)=874²-4² =>874²>870?878.6

IV. Применение формул сокращенного умножения для решения уравнений; отработка навыков действий над алгебраическими дробями с использованием формул.

1) Решить уравнения:

а) (x-3)²-х²=7-5х;
б) 9х²-1-(3х-2) ²=0.

2) Доказать тождество:

(а+b) ²-(а-b) ²=4аb.

3) Составить задание, аналогичное данному: сравнить 361² и 360?362

4) Выполнить задание двумя способами:

Доказать, что (2n+3) ²-( 2n-1) ² делится на 8.

I способ:

(2n+3)²-( 2n-1)²=4n²+12n+9-(4n²-4n+1)= 4n²+12n+9-4n²+4n-1=16n+8

(16n+8) делится на 8, т.к. 16n делится на 8 и 8 делится на 8.

II способ:

(2n+3)²-( 2n-1)²=(2n+3-(2n-1))x(2n+3+(2n-1))=(2n+3-2n+1)?

(2n+3+2n-1)=4x(4n+2)=16n+8.

Класс работает по вариантам:

I ряд – I способ;

II ряд – II способ;

III ряд – по желанию.

5) Задание: сравните с нулем:

а) (х-5) ²;
б) а²-10аb+25b²;
в)-х²-2ху-у².

6) Применение формул сокращенного умножения для упрощения алгебраических выражений.

Для самоконтроля учащихся используем математическую игру: “Не сбейся с маршрута”.

Маршруты:

I. № 1, 4, 2, 3, 5.

II. № 2, 3, 5, 1, 4.

III. № 3, 5, 1, 4, 2.

IV. № 4, 2, 3, 5, 1.

V. № 5, 1, 4, 2, 3.

Началом каждого маршрута являются первые задания. Например, началом I-го маршрута является задание № 1, а II-го маршрута – задание № 2 и т.д. Решая первые задания получаем ответы в виде натуральных чисел, которые являются номерами следующих заданий, например, ответ 2 – переходи к № 2, ответ 3 – переходи к № 3 и т.д.

Пример № 1.

(1/n - 6/9-n²)³x(n-3/n²+9 + 6n/n³-3n²+9n-27) при n=2,5

Решение № 1.

1. 1/n+3 - 6/9-n² = 1/n+3 – 6/(3-n)x(3+n)=3-n-6/(3-n)x(3+n) = - (n+3)/(3-n) x(3+n) = -1/3-n;
2. n-3/n²+9 + 6n / n²x(n-3)+9(n-3) = n-3/n²+9 + 6n / (n²+9)x(n-3) = n²-6n+9+6 n / (n²+9)x(n-3) = 1/n-3;
3. -1/3-nx1/n-3 = -1/3-nx1/-(3-n) = -1/-(3-n)² = 1/(3-n)²

если n=2,5, то 1/(3-n)²=1/(3-2,5)²=1/(0,5)²=4

Ответ: 4.; 1/(3- n)².

Пример № 2.

3n+2/3n-2 : (18n/27n³-8 + 6n / 9n²+6n+4 – 1/3n-2) - 6n+8/3n-2

при n=1/3.

Решение № 2.

1. 18n/27n³-8 + 6n/9n²+6n+4 – 1/3n-2 = 18n+18n²-12n-9n²-6n-4 / 27n²-8 = 9n²-4 / 27n³-8 =3n+2 / 9n²+6n+4;
2. 3n+2 / 3n-2 : 3n+2 / 9n²+6n+4 = (3n+2)?(9n²+6n+4) / (3n-2)x(3n-2) = 9n²+6n+4 / 3n-2 = (3n+2) ² / 3n-2;
3. 9n²+6n+4 / 3n-2 – 6n+8 / 3n-2 = 9n²+6n+4-6n-8 / 3n-2 = 9n²-4 / 3n-2 = (3n+2)x(3n-2) / = (3n-2) = 3n+2, если n=1/3, то: 3n+2 = 3?1/3+3 = 3; Ответ: 3n+2; 3.

Пример № 3.

(4 / n²+ n – 2/ 1- n² – 1/ n²-n) : 10n-5 / n²-n +481/88 при n = 4,5

Решение № 3.

1. 4 / n²+ n – 2 / 1-n² – 1/ n²-n = 4/ n(n+1) – 2 / 1-n² – 1/ n(n-1) = 4/ n(n+1) + 2/ n²-1 – 1/ n(n-1) = 4n-4+2n-n-1 / n(n²-1) = 5n-5 / n(n²-1) = 5(n-1) / n(n+1)(n-1) = 5 / n(n+1);
2. 5 / n(n+1) : 10n-5/n²-n = 5/n(n+1) x n(n-1)/3(2n-1) = 5n(n-1)/ n(n+1)5(2n-1);
3. n-1 / (n+1)(2n-1) + 481/88 ;

если n = 4,5, то (n-1) / (n+1) (2n-1) + 481/88 = 3,5/5,5?8 + 481/88 = 7/88 + 481/88 + 481/88 =488/88 = 5.

Ответ: 5.

Пример № 4.

(mn/m²-n² + n/2n-2m) ? m²-n²/2n при m = 61/2, n = -1,5.

Решение № 4.

1. mn/m²-n² + n/2n-2m = mn / (m-n)(m+n) – n / 2(m-n) = 2mn-nm-n / 2(m-n)(m+n) = mn-n² / (2m-n)(m+n) = n(m-n) / 2(m-n)(m+n) = n / 2(m+n);
2. n/2(m+n) x m²-n²/2n = n/2(m+n) x (m+n)(m-n)/2n = m-n / 4;

если m = 61/2, n = -1,5, то:

m-n / 4 = 61/2+1,5 / 4 = 8/4 = 2.

Ответ: 2.

Пример № 5.

(1 / х²+2nx+n² + 1 / n²-nx+ х²) : (1/x+n + 1/ x-n) + 3/8,

При n=2, x=1.

Решение № 5.

1) 1 / х²+2nx+n² + 1 / n²-nx+ х² = 1/(x+n) ² + 1/(n-x) ² = n²-2nx+x²+x²+2xn+n² / (n+x) ²(n-x) ² = 2n²+2x² / (n+x) ²(n-x) ²;

2) 1/x+n + 1/x-n = x-n+ x+n / (x²-n² ) = 2x / x²-n^2;

3) 2(x²+n²) / (n+x) ²(n-x) ² : 2x/ x²-n² = 2(n²+x²)( x²-n²) / - (n+x) ²(n-x) ²2х = (n²+x²) / (-n²+x²)^х;

4) n²+x² / (x²-n²)х + 8/3;

5) если n = 2, х = 1, то n²+x² / (x²-n²)х + 8/3 = 4+1/(1-4)1 + 8/3 =

-5/3 + 8/3 = 3/3 =1.

Ответ: 1.

V. Самостоятельная работа.

Для слабой группы:

1) Сократите дробь:

а) а+2аb / а²–4b²;

б) 4x²-y² / 2x-y;

в) 9a²-16 / 3a+4.

2) Выполните действие умножения:

а) b/a+b x a²-b²/b²;

б) x²/ x²- y² x x-y/x;

в) m²-n²/m x m²/m+n;

3) Выполните действие деления:

а) 2x-2y/y : x²- y²/y²;

б) а²–b²/b : а²+ аb/b;

в) а/3а+3b : а²/а²-b².

4) Выполните действие сложения (вычитания):

а)2x/x-2 – x/x+2;

б) b/а-b + а/а+b;

в) 2x/x-а - 2а/x+а.

Слабая группа работает по схеме: легко справился с I 1), то переходи к II 1), если обратное, то вернись к I 2), I 3) и по порядку.

Самостоятельная работа основной группы учащихся:

Упростите и найдите числовое значение выражения:

(1/n+3 – 6/9-n²) x (n-3/n²+9 + 6n/n³-3n²+9-27) при n = 2,5.

VI. Подведение итогов урока.