“Умение решать задачи – такое же практическое искусство,как умение плавать или бегать на лыжах.Ему можно научиться только путем подражания или упражнения”.
(Д. Пойа)
Цель урока:
- Систематизировать знания учащихся по ключевым разделам планиметрии. Создать содержательные и организационные условия для применения школьниками комплекса знаний для решения задач, включаемых в материалы ЕГЭ.
- Развивать личностно-смысловые отношения учащихся к изучаемому предмету. Способствовать формированию коллективной и самостоятельной работы, формировать умение четко и ясно излагать свои мысли.
- Прививать учащимся интерес к предмету через совместную творческую работу; формировать умение аккуратно и грамотно выполнять геометрические построения и математические записи.
Ход урока.
Актуализация знаний.
а) Устные упражнения.
1. В прямоугольном треугольнике катеты равны 15см и 20 см, а гипотенуза 25 см. Найти радиус вписанной окружности.
Ответ.5см.
2. Сторона равностороннего треугольника равна 2см. Найти его площадь.
Ответ.
3.Можно ли описать около четырехугольника АВСД
окружность, если А=70
, а
С=110
4.Можно ли описать около треугольника АВС
окружность, если АВС=60
,а
АОС=120
, где О- точка, лежащая
внутри треугольника?
Индивидуальная работа по карточкам.
Стороны прямоугольного треугольника АВС равны 6 см, 8см, 10 см. Найдите радиус вписанной в этот треугольник окружности.
Ответ.2см.
В прямоугольном треугольнике АВС катет ВС = 20см, а проекция катета АС на гипотенузу равна 9 см. Найдите радиус вписанной в этот треугольник окружности.
Решение.r =.Пусть
ВД-х,тогда АВ=9+х. ВС=
;Решая
это уравнение получим:ВС=16см.АВ=АД+ДВ.АВ=25см.
АС= ; АС=15см.
Следовательно, r=5cм.
Ответ. 5см.
3. Стороны треугольника равны 12см,16 см, 20 см.Найдите высоту, проведенную из вершины большего угла.
Решение.S=,S=
=96. S=
.СД=9,6см.
Ответ.9,6см.
4. Периметр прямоугольного треугольника 72 см, а радиус вписанной окружности 6 см. Найдите диаметр описанной окружности.
Решение. .r=p-c,где p-полупериметр треугольника
6=36-c, c=30
Ответ.30см.
5. Проекция катетов на гипотенузу прямоугольного треугольника равны 9см и 16см.Найдите радиус вписанной в этот треугольник окружности.
Решение.АВ=АД+ДВ,АВ=25см.
АС=,АС=15см.
ВС=,ВС=20см. Таким
образом, r=
=5.
Ответ.5см.
II Решение задач.
1.Найдите площадь прямоугольного треугольника, если радиусы вписанной в него окружности и описанной около него окружности равны 2см 5см.
Решение.CE=CF=2cм. Пусть ВЕ=х,тогда ВК=х. АК=АF=10-х.
По теореме Пифагора имеем: АВ=АС
+ВС
Решая уравнение 100=(2+х)+(12-х)
,получим АС=6, ВС=8.
Следовательно, S==24 см
.
Ответ. 24 см.
2 В треугольникеАВСА=50
,
В = 60
. На сторонах АВ и ВС
выбраны такие точки Д и Е, что
ДСА =
ЕАС = 30
. Найти
СДЕ.
Решение.
На этом рисунке можно и нужно провести сразу
две вспомогательных окружностей. Пусть точка О
пересечение ДС и ЕА – центр описанной
окружности. Треугольник АОС равнобедренный,
поэтому АОС = 120
. Т.к.
О +
В = 180
, то через точки В,Д, О,Е
можно провести вторую окружность. Теперь искомый
СДЕ опирается на дугу
ОЕ, на которую опирается
ОВЕ,
следовательно
СДЕ =
60
– 20
= 40
Ответ.40
Групповая работа.
1.В остроугольном треугольнике АВС В=40
проведены
высоты АД и ВЕ.Найдите
ВЕД.
Решение. Углы АДВ и АЕВ опираются на сторону
АВ,значит точки А,В,Д,Е лежат на
окружности.Следовательно, =
=50
Ответ.50.
2. В четырехугольнике АВСД известны углы: ВАД=96
,
ВАС=54
,
. Чему равен
.
Решение:DAC=
BAD-
BAC=96
-54
=42
, т.е
DAC=
CBD. Но тогда
около четырехугольника АВСD можно описать
окружность. Следовательно,
BDC=
BAC=54
(как вписанные углы,
которые опираются на одну и ту же дугу).
Ответ. 54
3. В четырехугольнике ABCD известны углы: CBD=58
,
ABD=44
,
ADC=78
.Найти угол САD.
Решение: АВС=
АВД+
СВД= 44
+58
=102
.
Но тогда
АВС+
АДС=102
+78
=180
и, следовательно, около
четырехугольника АВСД можно описать окружность.
Поэтому
САД=
СВД=58
(как вписанные углы, которые опираются на
одну и ту же дугу)
Ответ.58
III. Итог урока.
IV.Домашнее задание.
1.В треугольнике АВС даны: В = 70
,
С = 50
.
Треугольник ВМС, построенный на стороне ВС по
одну сторону с треугольником АВС правильный.
Найдите
АМВ.
2.Хорда пересекает диаметр под 30
и делит
его на два отрезка длиной 2см и 6 см. Найдите
расстояние от центра окружности до хорды.