Хорошо известно, что учащиеся, владеющие твердыми навыками устного счета, быстрее осваивают технику алгебраических преобразований, лучше справляются с различными заданиями, составной частью которых являются вычисления. B устных вычислениях развиваются память учащихся, быстрота их реакции, сосредоточенность — важные элементы общего развития. Поэтому отработка достаточно устойчивых вычислительных навыков всегда в центре внимания опытных учителей.
На уроках, как правило, используется система устных заданий, приводимая в пособиях для учителя. Но в ней, к сожалению, вычислительным упражнениям не уделяется. столько внимания, сколько они заслуживают. Поэтому опытные учителя сами составляют специальные упражнения, направленные на отработку вычислительных навыков. Прежде всего, они определяют, какой математический материал способен служить основой для достижения поставленной цели. Так, в 5-6 классах важная цель устных заданий состоит в том, чтобы научить всех ребят “производить в уме арифметические действия в пределах сложности примеров на сложение и вычитание двузначных чисел, умножение и деление нацело двузначного числа на однозначное”
Успех вычислений определяется двумя условиями:
1) четкое соблюдение последовательности шагов вычислительного алгоритма,
2) владение необходимыми для исполнения алгоритма сопутствующими вычислительными навыками.
При составлении упражнений, предназначенных для первоначального формирования какого-либо вычислительного навыка, целесообразно руководствоваться следующим принципом: сосредоточить усилия на отработке первого из выделенных условий при максимальном упрощении второго. Покажем, как этот принцип можно реализовать в работе c учащимися 5-6 классов.
При изучении арифметических действий над положительными и отрицательными числами важно подчеркнуть такую последовательность шагов алгоритма: сначала по определенному правилу записывают знак результата, а затем находят модуль результата. Это позволяет предупредить ошибки, когда учащиеся, определив модуль результата, забывают о знаке. B устных упражнениях рассматриваются сначала действия c однозначными целыми числами в следующих ситуациях: а) модуль положительного слагаемого либо больше, либо меньше, либо равен модулю отрицательного слагаемого (-1+9, —8+6, —5+5); б) вычитаемое больше или равно уменьшаемому и оба числа положительные (1-6, 2-2); в) вычитание отрицательных чисел сводится к сложению чисел с разными знаками (-3—(-9), —7-(-7)). Затем в устные упражнения вводиться целые и дробные числа c одной - двумя значащими цифрами.
При отборе упражнений опытные учителя всегда имеют в виду, что безошибочное выполнение арифметических действий над десятичными дробями в значительной степени зависит от навыков оперирования с натуральными числами. Известно, например, что ученики часто затрудняются на следующих этапах устных арифметических действий: переход через десяток или сложении, дробление десятка при вычитании, сложение в уме двузначного и однозначного чисел при поразрядном выполнении умножения (18+36; 43-25; 36•4). Поэтому упражнения, учитывающие указанные случаи, весьма уместны в системе заданий “на дроби” (-1,8-3,6; 2,5-4,3; -2+0,6; -3,6•4).
На начальном этапе обучения вычислениям c десятичными или обыкновенными дробями первоочередное внимание опытные учителя уделяют не устному, a письменному выполнению действий. Это объясняется тем, что письменное выполнение алгоритма содействует формированию устного вычислительного навыка y многих учащихся. Поэтому устные вычислительные упражнения “на дроби” не должны быть преждевременными. Их целесообразно включать лишь на этапе закрепления или поддержания вычислительного навыка, a также в комплексе c другими математическими операциями при решении содержательных задач.
В ходе выполнения разнообразных упражнений, таких, как тождественные преобразования числовых и буквенных выражений, решение линейных уравнений, решение текстовых задач, y учащихся ослабляется внимание к технике вычислений, поскольку они сосредотачивают свои умственные усилия на способе решения поставленного вопроса, на сочетании вычислительных элементов задания с другими его элементами. Обобщение опыта учителей, добивающихся особых успехов в развитии y школьников вычислительных навыков, показывает, что эти педагоги пользуются каждой возможностью для сочетания вычислительной работы на уроке c текущими уче6ными заданиями.
'Гак, при устном решении текстовых задач требующих понимания смысла отношений “меньше (больше) на столько-то (во столько-то раз)”, a также на известные учащимся зависимости между величинами (скорость, время и расстояние; длина, ширина и площадь прямоугольника и пр.), учителя варьируют числовые данные, предусматривая вычисления в уме от простейших до более сложных. Вот, к примеру, список задач, решение которых зависит от того, насколько учащиеся овладели делением двузначного числа на однозначное:
Лыжник за 3 часа прошел 27 км. C какой скоростью шел лыжник?
Площадь прямоугольника 86 см2, его ширина 4 см. Найдите длину прямоугольника.
Найдите задуманное число, если оно меньше 84 в 4 раза.
Площадь прямоугольника 48 см2, она в 3 раза больше площади квадрата. Найди площадь квадрата.
Отрезок, длина которого 96 см, разделили тремя точками на равные части. Найдите длину каждой части.
Решение таких задач требует безошибочного навыка табличного деления (27:3), деления круглых чисел (80:4), умения в уме использовать либо алгоритм письменного деления многозначного числа на однозначное, либо прием представления делимого в виде суммы двух слагаемых (96:4).
Вычислительные навыки можно развивать и на этапе закрепления алгоритмов действий c дро6ями. Так, при закреплении навыка деления десятичной дро6и на натуральное число учителя о6ычно предлагают устные задания возрастающей трудности. Ниже в пункте a) представлены самые легкие задания, в пункте б) они усложняются (внетабличное деление), в пунктах в) и г) еще более сложные (представление делимого в виде суммы двух слагаемых) и, наконец, в пункте д) самые сложные задания на представление частного двух чисел в виде дроби.
| a) | 1,8:3, | 1,6:4, | 2,1:3, | 3,6:9; |
| б) | 6,9:3, | 4,8:4, | 6,6:6, | 8,2:2; |
| в) | 6,5:5, | 5,2:4, | 9,1:7, | 8,4:6; |
| г) | 7,5:3, | 9,8:2, | 5,4:2, | 9,6:4; |
| д) | 2:5, | 3:6, | 6:5, | 5:2. |
Однако при всей вычислительной вариативности этих заданий они остаются однообразными в смысловом плане. Поэтому в устной работе нельзя ограничиваться только ими. Приведем задания, которыми можно обогатить набор устных упражнений:
1. Решите задачу:
a) Какое число меньше 2,1 в 3 раза?
б) Периметр квадрата равен 4,8 м. Найдите его сторону.
в) Какое число надо увеличить в 3 раза, чтобы получилось 4,5?
г) Во сколько раз 7,5 больше 3?
д) Во сколько раз 2 меньше 7?
2. Решите уравнение:
| a) | 4х = 2,4, | 7а = 1,4 | 8b = 4,8; |
| б) | За = 9,3, | 4b = 8,4 | 2b = 6,6; |
| в) | 5a = 9,5, | 4х = 5,6, | 3b = 4,2; |
| г) | 6у = 8,4, | 3х = 7,8, | 2а = 7,4; |
| д) | 2а = 5, | 2у = 9, | 8а = 4. |
Как видим, в заданиях 1 и 2 пункты а)—д) имеют ту же дидактическую значимость, что и соответствующие пункты предыдущих чисто вычислительных заданий.
Серия упражнений на решение уравнений — пример поддержания вычислительных навыков в связи c отработкой алгебраического навыка. K линейным уравнениям учителя возвращаются на протяжении всего курса 5-6 классов, используя всерасширяющийся набор чисел (10х=15; -2х=5; 6х=-7,2). Различными формулировками заданий (раскройте скобки, приведите подобные слагаемые, упростите выражение), нацеленных на отработку обязательной алгебраической подготовки учеников, обеспечивается достаточно регулярное обращение к разнообразным случаям вычисления с рациональными числами.
Для верного выбора числовых данных, используемых в упражнениях, удобно сначала рассмотреть перечень вычислительных умений, которые в 5-6 классах нужно отрабатывать до автоматизма. понятно, что в устных упражнениях желательно отрабатывать такие вычисления, которые, во-первых, доступны для выполнения в yмe большинству учащихся, a во-вторых, необходимы для математических выкладок и в повседневной практике. Ниже приводится примерный список таких вычислений и задания, характеризующие их уровень.
Сложение и вычитание целых однозначных или двузначных чисел: 44+28; —17+50;—3+0; —4+4; 42-19; 6-15; 0-7; —3-3.
Сложение и вычитание десятичных дробей, имеющих одну - две значащие цифры, c одним десятичным знаком после занятой: 0,6+0,9; 0,4+1,8; —9,2+0,7; 2,3-0,5; 2,5--4,3; —3,6-4,9.
Сложение и вычитание обыкновенных дробей (в простейших случаях):
1/3 +1/4; 5/6 – 1/6; 1/2 - 1/3.
Сложение и вычитание целого числа и дроби (в простейших случаях): 4+8,6; —6+1,8; 1-0,3; 9-2,7; 8,6-7; 0,5-1; 2+ 1,1/3; 4— 3/5; 1/4-1.
Умножение и деление целых однозначных или двузначных чисел: 16•6; 25• (-1); —7•(-6); —18•0; 81:3; 42 : (-6); 0:5; —5:2.
Умножение и деление целых чисел и десятичных дробей на 10, 100 и т.п.: 13•100; 0,44•10; 94:10; 2,3 :100.
Умножение и деление десятичных дробей, имеющих одну - две значащие цифры, на однозначное целое число: 0,5•3; 2,6•3; —2,7•(-2); 1,8:6; 7,5:5;-6,9:3.
Умножение обыкновенной дроби на целое число (в простейших случаях):1/4•8; 4/5• (—10); -7/8•(-1).
Умножение и деление однозначного или двузначного числа на обыкновенную дробь (в простейших случаях): 36•2/9; 1:1/8; -2:3/4.
Возведение в квадрат, в куб однозначных чисел, а также десятичных дробей имеющих одну значащую цифру: 82; 0,22; (-0,4)2; 0,З3; (-0,1)3 .
Упражнения, подобные приведенным, учителя используют при составлении фронтальных и индивидуальных заданий. Выбору содержания и; методических приемов обучения нередко предшествуют кратковременные проверочные работы. Ниже приводится текст дл контроля вычислений c десятичными дробям рассчитанный на 10 мин.. За такое время невозможно, конечно, проверить, как каждый ученик усвоил все приемы вычисления с десятичными дробями. Поэтому в вариантах есть ограничения. B 1 варианте проверяют в основном навыки сложения и деления десятичных дробей, во 2 - вычитания и умножения.
Вариант 1
| 1) | 3,6+0,7= | 9) 8,8+4,3= | 17) 1,4+3,8= |
| 2) | 1,8:3 = | 10) 4,2:7= | 18) 0,4• 6= |
| 3) | 6,3+3,8= | 11) 7,8:3= | 19) 6,8:2= |
| 4) | 1,5-0,7= | 12) 0,8+0,4= | 20) 1-0,3= |
| 5) | 2,6+1,7= | 13) 2,7+0,9= | 21) 5,6+7,5= |
| 6) | 0,9•4= | 14) 3,2:4= | 22) 0,5•4= |
| 7) | 8,4:4= | 15) 4,7+5,6= | 23) 9,2:4= |
| 8) | 1-0,8= | 16) 1,3-0,5= | 24) 0,6+0,5= |
Вариант 2
| 1) | 5,6-0,8 = | 9) 5-2,6= | 17) 5,4-3,7= |
| 2) | 8•0,7= | 10) 1,2:2= | 18) 4,2:6= |
| 3) | 2,3•9= | 11)2,6•3= | 19) 0,9•60= |
| 4) | 3,8+0,7= | 12) 3-0,6= | 20) 0,3+0,9= |
| 5) | 7,6-2,8= | 13) 4,3-0,6= | 12) 6-3,4= |
| 6) | 2,7:3= | 14) 7•0,6= | 22) 2,7:3= |
| 7) | 1,7•7= | 15) 2,6•8= | 23) 3,8•2 = |
| 8) | 0,6+0,8= | 16) 4,8+0,8= | 24) 4-0,8= |
Анализ результатов проверочной работы позволяет выделить типичные ошибки и соответственно наметить план и содержание помощи, оказываемой ученикам.
Проверяя после уроков работы учеников, учитель отмечает неправильные ответы, анализирует причины ошибок: нарушение последовательности шагов алгоритма, ошибки в сопутствующих действиях c натуральными числами, невнимание, небрежность и пр. Особо он отмечает повторяющиеся ошибки. Например, если в I варианте ученик допустил ошибки при выполнении заданий №1 и 13, 3 и 15, 5 и 17, 9 и 21, 12 и 24, то, значит, y него не выработан навык сложения десятичных дробей. Учащиеся - виновники таких “однообразных” ошибок нуждаются в индивидуальной помощи как на уроках, так после них. Работая c кем-либо из ребят в отдельности учитель сначала обращается к заданию, в котором была допущена ошибка, устанавливает вместе c учеником ее причину и, в зависимости от того, какой именно оказалась эта причина, предлагает аналогичные или более простые задания. Если ученик нуждается только в тренировке, то он получает на уроке 5-10-минутные индивидуальные задания. Для контроля учитель объединяет таких учеников в группу и наблюдает в это время только за ними: отмечает достоинства и недостатки их работы, дает новые задания для того, чтобы упрочить вычислительные навыки или поддержать их применение в сочетании c другими математическими навыками. Разнообразие упражнений позволяет привлечь внимание младших подростков, которое является необходимым условием вычислительной деятельности.