Урок по теме "Показательные уравнения"

Разделы: Математика

Цели урока:

  • Проверить усвоение учащимися свойств показательной функции, методов решения простейших показательных уравнений аf(x) =b, уравнений, приводимых к квадратным.
  • Познакомить учащихся с другими типами показательных уравнений и методами их решения.
  • Развитие логического мышления, познавательного интереса учащихся.

Ход урока

1. Организационный момент.

2. Устная работа.

а) Возрастающей или убывающей является данная функция: у=() х; у=(img1.gif (65 bytes)/3) -х; у=76-х; у=/2; у=х3+3х?

б) Укажите множество значений данных функций: у=2х; у=3•2х-5; у=5х+1; у=5¦х¦+1; у=0.5sin x; у=3cosx.

в) Решите уравнение: 52х=625; 8х=1/16; (3.14) sin x=1; 2х+2х+1=6; 52х-24•5х-25=0; 4х+56•6х-57•9х=0.

3. Самостоятельная работа по карточкам:

Вариант 1.

  1. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения: 3х-0.5•3х+1=1
    1. [-4;-2]
    2. (-2;-1)
    3. [-1;0]
    4. (1;2)
  2. Решите уравнение: 10х+4-17•10х+2=83
  3. Найдите сумму корней уравнения: 49•72х-50•7х+1=0
  4. Найдите произведение корней уравнения: 3х?-1=243
  5. Решите уравнение. В ответе укажите число его корней. (2х2-4х+3-1) img2.gif (70 bytes)(4-х2) =0

Вариант 2.

  1. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения: 4х-2=(1/2) 1-7х
    1. [-4;-2]
    2. (-2;-1)
    3. [-1;0]
    4. (1;2)
  2. Решите уравнение: 7•3х+3+3х+2=22
  3. Найдите сумму корней уравнения: 36•62х-37•6х+1=0
  4. Найдите произведение корней уравнения: 5х?-2=625
  5. Решите уравнение. В ответе укажите число его корней. (1-3х?-5х+4) v(х?-4) =0

Ответы:

1) 3;

2) -2;

3) -2;

4) -6;

5) 3 (ответы одинаковые для обоих вариантов) .

4. Объяснение нового материала.

Показательно-степенные уравнения – это уравнения вида (а(х)) b(x) =(a(x)) c(x) .

Данное уравнение эквивалентно уравнению а(х) =1 и системе:

Отдельно рассматривается случай а(х) =0 при условиях b(x) >0, c(x) >0.

Пример 1. (х-2) х-5х=(х-2) 4-2х

Решение: 1) х-2=1; х=3.

2) х=4

3) х-2=0 при х=2. Подставив это значение переменной в исходное уравнение, получаем: 0-6=00 – данное равенство не имеет смысла, т.к. его левая и правая части не определены.

Ответ: 3; 4.

Пример 2.

Решение: Запишем данное уравнение в виде:

1) ;; x1=4; x2=2.

2)

3) , x=3. Подставляем х=3 в исходное уравнение, получаем: 01=00.5, 0=0. Равенство верное, значит х=3 – корень уравнения.

Ответ: 2; 3; 4; 5.

Уравнения для самостоятельного решения:

1)

2)

3)

Ответы:

1) -2; -1; 3.

2) -0.2; 0.5; 1; 2; 3.

3) 1/3; 2; 4.

Уравнения, решаемые с помощью исследования функций, входящих в левую и правую части уравнения.

Пример 1. 76-х=х+2.

Решение: Рассмотрим функции, в левой и правой части уравнения: у=76-х и у=х+2.

Функция у=76-х – показательная, монотонно убывающая на R. Функция у=х+2 – линейная, монотонно возрастающая на R. Следовательно, графики данных функций могут пересекаться не более 1 раза. Значит, уравнение не может иметь более одного корня, который может быть найден подбором: х=5

Ответ: х=5.

Пример 2.

Решение: Разделим левую и правую часть уравнения на , получаем

. Рассмотрим функцию у= , данная функция монотонно убывает на множестве неотрицательных чисел, т.к. является суммой двух убывающих показательных функций при х>0. Следовательно, данная функция принимает каждое свое значение не более 1 раза, поэтому исходное уравнение имеет не более 1 корня, который можно найти подбором.

Зная, что 52+122=132, получаем , х=4.

Ответ: х=4.

Уравнения для самостоятельного решения:

1) (х=2?n, nZ)
2) 5x=7-2x (x=1)
3) x3+2x=3 (x=1)
4) (x=1)
5) (x=±)
6) (4/3) х=2х-х2-1 (х img3.gif (71 bytes))

Уравнения вида f(x, ax) =0

Рассмотрим решение уравнения данного вида на примере:

(х+1) •9х-3+4х•3х-3-16=0

Если х=-1, то уравнение примет вид: 0-4•3-4-16=0 – равенство не верное.

Если хimg4.gif (68 bytes)-1, то заменим 3х-3=t, t>0, получаем уравнение (х+1) t2+4xt-16=0 квадратное относительно t.

D=(4x+8) 2

При х=-2 D=0, t=, не удовлетворяет условию t>0,

При хimg4.gif (68 bytes)-2 D>0, t1=-4 (не удовлетворяет условию t>0)

t2=, при х<-1 t<0 (не удовлетворяет условию t>0)

при x>-1 t>0.

Следовательно, необходимо решить уравнение: 3х-3= для x>-1.

В левой части уравнения стоит монотонно возрастающая показательная функция у=3х-3, в правой части уравнения функция у=, убывающая при x>-1.

Значит, графики этих функций имеют не более одной точки пересечения, а уравнение 3х-3= не может иметь более одного корня, который можно найти подбором. Х=3.

Ответ: х=3.

Уравнение для самостоятельного решения:

4х+(х-1) •2х=6-2х. (Ответ: х=1)

Показательные уравнения с параметром.

Пример. При каких значениях параметра а уравнение имеет решение?

а) 2х+4=а2.

Решение: 2х=а2-4

Уравнение ах=b имеет единственное решение при b>0, значит, исходное уравнение будет иметь решение при а2-4>0 или при а(-; -2) (2; +) .

Ответ: а(-; -2) (2; +) .

б) (а-1) •а2-1

Решение:

1) При а=1 имеем 0=0, равенство верное при любом значении х. Значит, а=1 удовлетворяет условию задачи.

2) При а1 получаем (а-1) •(а-1) (а+1) , (а+1) . Это уравнение имеет решение, если множества значений левой и правой частей уравнения совпадают.

Е(sin2x) =[0; 1], Е() =[1; 3], следовательно, уравнение имеет решение при 1<а+1<3 или 0<а< 2. Учитывая, что а1, а[0; 1) (1; 2].

Объединяя множества значений параметра а, найденные в обоих пунктах, получаем, что исходное уравнение будет иметь решение при а[0; 2].

Ответ: а[0; 2].

Уравнение для самостоятельного решения:

При каких значениях параметра р уравнение (р-2) •=р2-3р+2 имеет решение?

(Ответ: при р{2}[6; +).)

Работа в группах.

При каких значениях параметра р уравнение

(р-3) •4х-8•2х+р+3=0 имеет один корень?

Рассмотреть все возможные случаи.

Подсказка:

1) р-3=0

2) D=0, t>0

3) D>0, t1<0, t2>0

4) D>0, t1=0, t2>0

(Ответ: р(-3; 3] {5})

Дополнительное задание:

  1. При каких значениях параметра а, уравнение 4х-2х+1-а=0 имеет 2 различных решения? (Ответ: а(-1; 0))
  2. При каких значениях параметра р уравнение (р-1) •9х+2р•3х+3р-2=0 не имеет решений? (Ответ: р(-; 0.5) [1; +))

6. Подведение итогов урока.

7. Домашнее задание: Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы. Под ред. М. И. Сканави. №7.057, 7.059, 7.063, 7.071, 7.072, 7.073, 7.076, 7.084, 7.085, 7.087.