В восьмом классе, учащиеся знакомятся с квадратными уравнениями и способами их решения. При этом, как показывает опыт, большинство учащихся при решении полных квадратных уравнений применяют только один способ – формулу корней квадратного уравнения. Для учеников, хорошо владеющих навыками устного счета, этот способ явно нерационален. Решать квадратные уравнения учащимся приходится часто и в старших классах, а там тратить время на расчет дискриминанта просто жалко. На мой взгляд, при изучении квадратных уравнений, следует уделить больше времени и внимания применению теоремы Виета (по программе А.Г. Мордковича Алгебра-8, на изучение темы “Теорема Виета. Разложение квадратного трехчлена на линейные множители” запланировано только два часа).
В большинстве учебников алгебры эта теорема
формулируется для приведенного квадратного
уравнения и гласит, что если уравнение имеет корни
и
, то для них выполняются
равенства
,
. Затем
формулируется утверждение, обратное к теореме
Виета, и предлагается ряд примеров для отработки
этой темы.
Возьмем конкретные примеры и проследим на них логику решения с помощью теоремы Виета.
Пример 1. Решить уравнение .
Решение.
Допустим, это уравнение имеет корни, а именно, и
. Тогда по теореме Виета
одновременно должны выполняться равенства
Обратим внимание, что произведение корней –
положительное число. А значит, корни уравнения
одного знака. А так как сумма корней также
является положительным числом, делаем вывод, что
оба корня уравнения – положительные. Вернемся
снова к произведению корней. Допустим, что корни
уравнения – целые положительные числа. Тогда
получить верное первое равенство можно только
двумя способами (с точностью до порядка
множителей):
или
. Проверим
для предложенных пар чисел выполнимость второго
утверждения теоремы Виета:
. Таким образом, числа 2 и 3
удовлетворяют обоим равенствам, а значит, и
являются корнями заданного уравнения.
Ответ: 2; 3.
Выделим основные этапы рассуждений при решении
приведенного квадратного уравнения с помощью теоремы Виета:
записать утверждение теоремы Виета | ![]() |
(*) |
(первым равенством рекомендуется записывать произведение корней);
- определить знаки корней уравнения (Если произведение и сумма корней – положительные, то оба корня – положительные числа. Если произведение корней – положительное число, а сумма корней – отрицательное, то оба корня – отрицательные числа. Если произведение корней – отрицательное число, то корни имеют разные знаки. При этом, если сумма корней – положительная, то больший по модулю корень является положительным числом, а если сумма корней меньше нуля, то больший по модулю корень – отрицательное число);
- подобрать пары целых чисел, произведение которых дает верное первое равенство в записи (*);
- из найденных пар чисел выбрать ту пару, которая при подстановке во второе равенство в записи (*) даст верное равенство;
- указать в ответе найденные корни уравнения.
Приведем еще примеры.
Пример 2. Решите уравнение .
Решение.
Пусть и
- корни
заданного уравнения. Тогда по теореме Виета
Заметим, что
произведение – положительное, а сумма –
отрицательное число. Значит, оба корня –
отрицательные числа. Подбираем пары множителей,
дающих произведение 10 (-1 и -10; -2 и -5). Вторая пара
чисел в сумме дает -7. Значит, числа -2 и -5 являются
корнями данного уравнения.
Ответ: -2; -5.
Пример 3. Решите уравнение .
Решение.
Пусть и
- корни
заданного уравнения. Тогда по теореме Виета
Заметим, что
произведение – отрицательное. Значит, корни –
разного знака. Сумма корней – также
отрицательное число. Значит, больший по модулю
корень – отрицательный. Подбираем пары
множителей, дающих произведение -10 (1 и -10; 2 и -5).
Вторая пара чисел в сумме дает -3. Значит, числа 2 и
-5 являются корнями данного уравнения.
Ответ: 2; -5.
Заметим, что теорему Виета в принципе можно
сформулировать и для полного квадратного
уравнения: если квадратное уравнение имеет корни
и
, то для них выполняются
равенства
,
. Однако
применение этой теоремы довольно проблематично,
так как в полном квадратном уравнении по крайней
мере один из корней (при их наличии, конечно)
является дробным числом. А работать с подбором
дробей долго и трудно. Но все-таки выход есть.
Рассмотрим полное квадратное уравнение . Умножим обе
части уравнения на первый коэффициент а и
запишем уравнение в виде
. Введем новую переменную
и получим
приведенное квадратное уравнение
, корни которого
и
(при их наличии) могут быть
найдены по теореме Виета. Тогда корни исходного
уравнения будут
. Обратим внимание, что составить
вспомогательное приведенное уравнение
очень просто:
второй коэффициент сохраняется, а третий
коэффициент равен произведению ас. При
определенном навыке учащиеся сразу составляют
вспомогательное уравнение, находят его корни по
теореме Виета и указывают корни заданного
полного уравнения. Приведем примеры.
Пример 4. Решите уравнение .
Решение
Составим вспомогательное уравнение и по теореме
Виета найдем его корни
. А значит, корни исходного уравнения
.
Ответ: .
Пример 5. Решите уравнение .
Решение
Вспомогательное уравнение имеет вид . По теореме
Виета его корни
. Находим корни исходного уравнения
.
Ответ: .
И еще один случай, когда применение теоремы
Виета позволяет устно найти корни полного
квадратного уравнения. Нетрудно доказать, что число
1 является корнем уравнения , тогда и только тогда, когда
. Второй
корень уравнения находится по теореме Виета и
равен
. Еще
одно утверждение: чтобы число –1 являлось
корнем уравнения
необходимо и достаточно, чтобы
. Тогда второй
корень уравнения по теореме Виета равен
. Аналогичные
утверждения можно сформулировать и для
приведенного квадратного уравнения.
Пример 6. Решите уравнение .
Решение
Заметим, что сумма коэффициентов уравнения
равна нулю. Значит, корни уравнения .
Ответ: .
Пример 7. Решите уравнение .
Решение
Для коэффициентов этого уравнения выполняется
свойство
(действительно, 1-(-999)+(-1000)=0). Значит, корни
уравнения
.
Ответ: ..
Примеры на применение теоремы Виета
Задание 1. Решите приведенное квадратное уравнение с помощью теоремы Виета.
1. ![]()
6. ![]()
11. ![]()
16. 2. ![]()
7. ![]()
12. ![]()
17. 3. ![]()
8. 13. ![]()
18. 4. ![]()
9. ![]()
14. ![]()
19. 5. ![]()
10. ![]()
15. 20.
Задание 2. Решите полное квадратное уравнение с помощью перехода к вспомогательному приведенному квадратному уравнению.
1. ![]()
6. ![]()
11. ![]()
16. 2. ![]()
7. ![]()
12. ![]()
17. 3. ![]()
8. ![]()
13. 18. 4. ![]()
9. ![]()
14. 19. 5. ![]()
10. ![]()
15. ![]()
20.
Задание 3. Решите квадратное уравнение с
помощью свойства .
1. ![]()
6. ![]()
11. ![]()
16. 2. ![]()
7. ![]()
12. ![]()
17. 3. ![]()
8. ![]()
13. ![]()
18. 4. ![]()
9. ![]()
14. ![]()
19. 5. ![]()
10. 15. ![]()
20.