Урок геометрии в 8-м классе по теме "Теорема Пифагора"

Дацык Ольга Николаевна

Тип урока:

1-й час - урок ознакомления с новым материалом;
2-й час - первичное закрепление изученного материала.

Учебное пособие: Л.С.Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, Э.Г. Позняк, И.И. Юдина. Геометрия 7-9. Учебник для 7-9 классов средней школы. М.: Просвещение, 2004.

Цели и задачи урока:

Образовательные: познакомить учащихся с теоремой Пифагора, многообразием способов ее доказательства, применением при решении задач, повторить изученный ранее материал (площадь треугольника, ромба, прямоугольника, квадрата, параллелограмма), выработать умение применять теоретический материал для решения задач и доказательства теоремы.　 Закрепить полученные знания при решении практических задач.
Воспитательные: воспитывать познавательную активность, повышать интерес к изучению математики, показывая красоту математических доказательств, их стройность, логичность.
Развивающие: развивать умения обнаруживать способ доказательства нового математического утверждения и выполнять его, развивать мышление, память, навыки аргументированной речи, навыки доказательного воспроизведения в процессе деятельности.

Средства обучения (в том числе средства ИКТ): компьютер, мультимедийный проектор, презентация, выполненная при помощи программы PowerPoint (Приложение 1).

Методы и приемы: объяснительно-иллюстративный метод, вопросно-ответный метод, наглядный метод, словесный (рассказ, беседа, диалог), постановка проблемных вопросов, поисковый метод, эвристический метод, использование ИКТ, дифференцированный подход.

Формы организации деятельности учащихся: коллективная форма работы (фронтальный опрос, устная работа), индивидуальная работа (по карточке), письменная работа.

План урока:

Организационный момент.
Подготовительная работа по готовым чертежам:
Проверка домашнего задания.
Объяснение нового материала.
Различные способы доказательства теоремы Пифагора.
Постановка домашнего задания.
Первичное закрепление материала.
Решение задач.
Подведение итогов.

Ход урока

Объявление темы урока, постановка целей и задач перед учащимися: познакомиться с теоремой Пифагора, многообразием способов ее доказательства и ее применением при решении задач, а также повторить изученный ранее материал (площади треугольника, ромба, прямоугольника, квадрата, параллелограмма).

К доске с тетрадями вызываются 2 ученика для проверки на доске домашнего задания (выписывают на доске решения №480(б), №479 (б) – учебное пособие Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев, Э.Г.Позняк, И.И.Юдина. Геометрия 7-9. Учебник для 7-9 классов средней школы. М.: Просвещение, 2004.). В это время с классом проводится подготовительная работа – решение задач по готовым чертежам. Задачи транслируются учащимся посредством презентации (Приложение 1).

Проверка решений домашних задач:

№480 (б)

Дано: АВСD – трапеция, АВ и СD – основания. = 30^о, АВ=2 см, СD = 10 см, DA = 8 см.

Найти S_АВСD

Решение: так как = 30^о, то АН = 0,5 AD = 4 см.

S_АВСD = (2 + 10)×4 = 24 см².

№479 (б)

Дано:

АВ = 8 см, АС = 3 см, АЕ = 2 см. S_АВС = 10 см², S_АDE = 2 см².

Найти AD.

Решение:

Фронтальная работа с классом по готовым чертежам на слайдах (Приложение 1)

1. По данным рисунка найдите площадь четырехугольника АВСD.

2. Вычислить:

3. По данным рисунков найдите угол

4. По данным рисунка докажите, что четырехугольник КМNР – квадрат (эта задача особенно важна, так как такая же фигура, как на рисунке, используется для доказательства теоремы).

Проверка домашнего задания, выписанного учеником на доске.

- Все согласны с решением задач? Какие есть замечания, дополнения?

- Дополнительный вопрос: какая теорема использовалась при решении задачи № 479, сформулируйте ее? (Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы).

Объяснение нового материала «Теорема Пифагора»

Учитель: Сегодня мы изучаем одну из самых известных геометрических теорем древности, называемую теоремой Пифагора. Ее и сейчас знают практически все, кто когда-либо изучал планиметрию. Теорема Пифагора одна из главных теорем планиметрии. Значение ее состоит в том, что с ее помощью можно доказать многие другие теоремы и решить множество задач.

(Учащиеся записывают в тетрадях тему урока – «Теорема Пифагора»).

Знаменитый греческий философ и математик Пифагор Самосский, именем которого названа теорема, жил около 2,5 тысяч лет тому назад. Он родился в 500 г до нашей эры и прожил 80 лет. Дошедшие до нас биографические сведения о Пифагоре отрывочны и далеко не достоверны. Пифагор – это не имя, а прозвище, данное　 ему за то, что он высказывал истину так же постоянно, как дельфийский оракул («Пифагор» значит «убеждающий речью»).

Знаменитая теорема Пифагора звучала так: Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов построенных на его катетах.

Про картинку, иллюстрирующую эту теорему, сложена шутливая поговорка: «Пифагоровы штаны на все стороны равны». Что имелось ввиду?

Теореме Пифагора можно дать эквивалентную формулировку, применив понятие равносоставленных фигур.

Попробуйте сформулировать теорему Пифагора по-другому.

- Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равносоставлен с квадратами, построенными на катетах.

-Чтобы сформулировать теорему Пифагора в современном изложении, давайте вспомним, как найти площадь квадрата? (сторону квадрата возвести в квадрат). Тогда площадь квадрата, построенного на гипотенузе – это …? (квадрат гипотенузы), а площади квадратов, построенных на катетах – это …? (квадраты катетов). Попробуйте сами дать еще одну, современную формулировку теоремы Пифагора.

- В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

- Давайте в своих тетрадях начертим прямоугольный треугольник, обозначим катеты и гипотенузу буквами а, b, с и запишем формулу, которую нам дает теорема Пифагора (с² = а²+b²), перед формулой запишем слово «Доказать».

- Сейчас известно более трёхсот доказательств теоремы Пифагора. Не подлежит, однако, сомнению, что эту теорему знали за много лет до Пифагора. Так, за 1500 лет до Пифагора древние египтяне знали о том, что треугольник со сторонами 3, 4 и 5 является прямоугольным, и пользовались этим свойством (т.　е. теоремой, обратной теореме Пифагора) для построения прямых углов при планировке земельных участков и сооружений зданий. Это же самое проделывалось тысячи лет назад при строительстве великолепных храмов в Египте, Вавилоне, Китае, вероятно, и в Мексике. В самом древнем дошедшем до нас китайском математико-астрономическом сочинении, написанном примерно за 600 лет до Пифагора, среди других предложений, относящихся к прямоугольному треугольнику, содержится и теорема Пифагора. Еще раньше эта теорема была известна индусам. Таким образом, Пифагор не открыл это свойство прямоугольного треугольника, он, вероятно, первым сумел его обобщить и доказать, перевести тем самым из области практики в область науки. Сегодня мы с вами познакомимся с некоторыми из многочисленных доказательств теоремы Пифагора.

Различные способы доказательства теоремы Пифагора

Простейшее доказательство теоремы получается в простейшем случае равнобедренного прямоугольного треугольника. Вероятно, с него и начиналась теорема. В самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников, чтобы убедиться в справедливости теоремы (для треугольника АВС квадрат, построенный на гипотенузе АС содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах – по 2 треугольника) Теорема доказана.

Еще одно наглядное доказательство теоремы Пифагора принадлежит индусам. Посмотрите внимательно на два квадрата, и вам всё станет ясно. Индусы к этому чертежу добавляли лишь одно слово: «СМОТРИ!»

Кому стало ясно? Кто мне сможет объяснить, почему площадь серого квадрата, построенного на гипотенузе равна сумме площадей серых квадратов, построенных на катетах (Выслушать ответы учащихся. Из двух одинаковых квадратов вычитаем по 4 площади одинаковых треугольников).

- Двадцатый президент США Джеймс Гарфилд, который был избран президентом в 1880 году тоже смог привести свое доказательство теоремы Пифагора. Причём сделал он это доселе неизвестным способом. А узнать об этом широкие массы американцев смогли почти через 60 лет после его смерти. Правда, в изданной в 1940 году книге с доказательствами теоремы Пифагора доказательство Гарфилда затерялось, так как всего там было представлено 370 различных способов доказательства теоремы. Сейчас мы повторим путь доказательства Гарфилда и запишем его в тетрадь. Я вам подскажу только чертеж, с помощью которого Гарфилд доказал теорему Пифагора, а вы сейчас сами докажите теорему. При доказательстве используйте формулы для вычисления площади треугольника и площади трапеции. (В качестве повторения тем «Площадь треугольника» и «Площадь трапеции» учащимся будет полезно провести это доказательство письменно. Учитель добивается с помощью наводящих вопросов, чтобы дети сами провели рассуждения лучше, чтобы ученик или учитель записал доказательство на доске).

Доказательство Гарфилда:
На рисунке три прямоугольных треугольника составляют трапецию. Поэтому площадь этой фигуры можно находить по формуле площади прямоугольной трапеции, либо как сумму площадей трех треугольников. В первом случае эта площадь равна

Рассмотрим еще одно доказательство теоремы Пифагора, которое приведено в вашем учебнике. Оно выполнено по следующему рисунку. Вам напоминает что-нибудь этот рисунок? Когда вы это видели? (Задача, решенная вначале урока)

(Учащимся сообщается лишь идея доказательства - достроить треугольник до квадрата со стороной (а + b) и выразить площадь квадрата возможными способами).

Доказательство (на уроке не проговаривается): S_кв. = (а + b)². С другой стороны квадрат составлен из четырех одинаковых треугольников с катетами а и в и квадрата со стороной с. Площади приравниваются:

Учащимся дается задание: дома самостоятельно провести это доказательство и записать полное доказательство в тетрадь, включая доказательства того факта, что внутри квадрат (в учебнике этот факт не доказывается). В классе выполняется только чертеж к доказательству теоремы)

Подводится промежуточный итог:

- Итак, сегодня вы познакомились с самой известной теоремой планиметрии – теоремой Пифагора. Кто сможет напомнить, как же формулируется теорема Пифагора? Кто запомнил? Как еще можно сформулировать?

Первичное закрепление материала.

1. Теорема Пифагора имеет большое практическое применение при решении задач. Она позволяет найти гипотенузу, зная катеты прямоугольного треугольника.

Выразите из формулы гипотенузу с. Почему взяли только положительное значение, ведь данное квадратное уравнение имеет два противоположных решения (речь идет о длине отрезка, который не может быть отрицательным) Выразите катет b; выразите катет а.

2. Дана таблица, в которой а и b катеты, с – гипотенуза.
Заполните пустые ячейки таблицы, произведя вычисления устно (таблица представлена на слайде, приложение 1).

- Треугольник с катетами 3 и 4 и гипотенузой 5 называется египетским треугольником, так как он известен был еще древним египтянам, с помощью такого треугольника египтяне строили прямой угол.

3. Решение задач по готовым чертежам – самостоятельная работа в тетрадях по рядам. Каждый ряд имеет свой рисунок (чертежи заранее выполнены на доске): вычислить длину неизвестного отрезка х по данным рисунка. Затем, один отвечающий от каждого ряда комментирует вслух свое решение.

4. Постановка домашнего задания:

провести полное доказательство теоремы Пифагора путем достроения треугольника до квадрата со стороной (а + b).
индивидуальное задание сильным учащимся – найти и подготовить другие доказательства теоремы Пифагора.
Уметь доказывать теорему одним из способов.
Решить задачи: № 483 (а; б), № 484 (б, г), № 487.
дополнительное творческое задание (по желанию): придумайте сами чертеж к задаче, где для решения применялась бы теорема Пифагора (можно использовать комбинации различных фигур – прямоугольника, ромба, трапеции, прямоугольного треугольника). Предложите свою задачу классу.

5. Решение задач по учебнику с вызовом учеников к доске.

№ 493, № 494 – решение по вариантам самостоятельно с последующей проверкой– 1 вариант № 493, 2 вариант – № 494, по одному представителю от каждого варианта приглашаются к доске, они решают задачу на отворотах доски самостоятельно, не комментируя, а класс решает самостоятельно в тетрадях, затем крылья доски поворачиваются классу и проверяем ход решения задачи.

Решения:

№ 493