Решение практических задач на нахождение экстремальных значений величин

“Человек лишь там чего-то добивается, где он верит в свои силы”. (Людвиг Фейербах)

Цели урока:

• Решение практических задач на нахождение экстремальных значений величин.
• Развитие интереса к знаниям и предмету.
• Формирование навыков творческой и самостоятельной работы.

Тип урока: семинар-практикум.

Количество часов - 2

Форма проведения: Выступления учащихся по предложенным вопросам и их последующее обсуждение.

Форма организации обучения – групповая.

Оборудование и наглядные пособия: Компьютер, диски CD и DVD; таблица “Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения заданного параметра”, раздаточный материал.

Подготовительная работа:

1. Учащимся заранее сообщается тема семинара и вопросы для обсуждения.

2. Сообщается список необходимой литературы. План семинара.

3. При подготовке к семинару группа разделена на подгруппы по интересам и знаниям предмета.

4. Учащиеся отбирает нужную для себя информацию, конспектирует, составляет план ответа и тезисы своего выступления на семинаре, подбирает иллюстративный материал: чертежи, графики, задачи.

5. Получает необходимую консультацию у преподавателя.

План проведения урока:

1. Организационный момент

1. Сообщение цели предстоящей работы;
2. Создание спокойной и доброжелательной обстановки;
3. Замечания по предстоящей работе.

2. План проведения семинара

1. Вступительное слово преподавателя.
2. Выступление учащихся по темам:
3. Из истории развития теории экстремальных значений величин.
4. Решение экстремальных задач элементарными средствами.
5. Применение производной для нахождения наибольшего и наименьшего значения заданного параметра в геометрии, физике, технике.
6. Обмен мнениями по рассматриваемым вопросам.

3. Заключительное слово преподавателя, подведение итогов

План проведения семинара:

1. Вступительное слово преподавателя.

Тема сегодняшнего урока “Решение практических задач на нахождение экстремальных значений величин”. Экстремальными задачами называют задачи на нахождение наибольших и наименьших значений. Эти задачи имеют большое значение, как для математики, так и для ее приложений.

На стене висит картина. На каком расстоянии от стены она видна под наибольшим углом.

На какой высоте надо повесить лампу, чтобы получить наибольшую освещенность.

Из имеющих досок построить забор, чтобы огородить им прямоугольный участок земли, имеющий наибольшую площадь.

Во всех приведенных задачах, несмотря на их различие, мы находим общие черты: речь идет о том, как при разнообразных возможностях использования средств добиться наилучшего эффекта. Сегодня на уроке мы рассмотрим, как решаются такие задачи. Вам было предложено подобрать материал по теме, и выступить на семинарском занятии. Каждый из вас подготовил интересные задачи. Сегодня вы представите свои работы.

Ребята! Слушаем внимательно. Делаем записи в тетради, задаем вопросы.

2. Выступление учащихся по теме: “Из истории развития теории экстремальных значений величин”.

План выступления:

1. Вступительное слово ответственного за подготовку вопроса в подгруппе.
2. Какие математические задачи особенно важны? Наверно, не вы и не я сразу не сможем ответить на этот вопрос. Очень много задач ставит жизнь перед математикой, есть среди задач простые, а есть и очень трудные. Есть задачи, оставляющие решающего человека спокойным, а есть и такие, от которых дух захватывает. Однако, некоторые группы задач все же можно признать особенно важными для самой математики и ее приложений. К ним относятся задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значения величин, или как их называют задачи на нахождение экстремумов. Экстремум – крайнее, оптимум - наилучшее. Мы представим презентацию, в которой попытались отразить основные этапы “Истории развития теории экстремальных значений величин”.
3. Презентация – 15 минут (приложение №1)
4. Решение задач № 1 –№ 3 из презентации записываем в тетрадь.

Задача 1. Площадь треугольника АВС равна S. Укажите такой треугольник со стороной АС и площадью S, чтобы сумма длин двух других сторон была наименьшей.

Задача 2. Точки А, В, С, D – вершины квадрата. Построим кратчайшую систему линий: с одним узлом; двумя узлами.

Задача 3. На плоскости даны n точек. Требуется найти замкнутый, состоящий из прямолинейных отрезков путь минимальной длины, связывающий эти точки.

Эту задачу часто называют задачей о бродячем торговце. Данные точки – населенные пункты. Торговец должен обойти все их по кратчайшему маршруту. Как видим условие этой задачи очень простое. Однако эффективного решения ее (отличного от сравнения всех возможных маршрутов) все еще не найдено. Может кто-то из вас найдет оригинальное решение этой задачи. Желаем успеха!

Вопросы учащихся к первой группе выступающих:

• Можно ли построить высотный треугольник в тупоугольном треугольнике.

Решение экстремальных задач элементарными средствами.

Выступление 2-й группы:

Перед человеком постоянно возникают практические проблемы нахождения наибольшего и наименьшего, наилучшего и наихудшего. Как правило, в задачах подобного рода достижение некоторого результата может осуществляться не единственным способом и приходится отыскивать наилучший способ достижения результата. В одной и той же задаче в разных ситуациях наилучшим могут быть совершенно разные решения. Все зависит от выбранного или заданного критерия.

Решения практических задач средствами математики, как правило, содержит три основных этапа:

Формализацию – перевод исходной задачи на язык математики.

Решение полученной математической задачи.

Интерпретацию найденного решения – перевод его с языка математики в терминах первоначальной задачи.

С этим методом, а его в математике называют методом математического моделирования, мы встречались при решении текстовых задач по схеме.

Сегодня мы представим решение задачи, решение которой сводится к определению наибольшего или наименьшего значения некоторой линейной функции.

Задача.

Для изготовления двух видов изделий А и В завод расходует в качестве сырья сталь и цветные металлы, запас которых ограничен. На изготовлении указанных изделий заняты токарные и фрезерные станки в количестве, указанном в таблице.

Необходимо определить план выпуска продукции, при котором будет достигнута максимальная прибыль, если время работы фрезерных станков используется полностью.

Решение:

Построим математическую модель задачи. Обозначим через х число изделий вида А, а через у – число изделий вида В. На изготовление всей продукции уйдет (10х + 70у) кг стали и (20х + 50у) кг цветных металлов. Так как запасы стали не превышают 320 кг, а цветных металлов – 420 кг, то

10х + 70у 320,

20х + 50у 420.

(300х + 400у) ч время обработки всех изделий на токарных станках:

300х + 400у 6200.

Учитывая, что фрезерные станки используются максимально, имеем:

200х + 100у = 3400.

Итак, система ограничений этой задачи есть:

Общая прибыль фабрики может быть выражена целевой функцией

F = 3x + 8y.         (2)

Выразим у через х из уравнения 200х + 100у = 3400 и подставим полученное выражение вместо у в неравенства и целевую функцию:

F = 3x + 8 (34 – 2x) = -13x + 272     (4)

Преобразуем систему ограничений (3):

Очевидно, что F = 272 – 13x принимает наибольшее значение, если х = 16.

F_наиб = 272 – 13 • 16 = 64 (тыс. руб.).

Итак, если выпускается 16 изделий вида А и два изделия вида В, то завод получает наибольшую прибыль.

Для определения оптимального решения пришлось искать наибольшее значение линейной функции, на переменные накладывались определенные ограничения. Если бы на переменные не накладывалось никаких ограничений, то в этом случае линейная функция не имела бы ни наибольшего, ни наименьшего значений.

Мы предлагаем задачи для решения:

Задача 1. Вспомним сказку, где барин говорит крестьянину: “ Какой участок земли успеешь обежать с восхода до захода Солнца, он твой”. Переведем эту задачу на математический язык. Она будет звучать так: Периметр участка Р км. Какую длину должны иметь стороны участка, чтобы площадь была наибольшей. (Решение на доске).

Задача 2. В данный конус вписать цилиндр с наибольшей боковой поверхностью.

Задача 3. Имеется проволока длины L. Требуется согнуть ее так, чтобы получился прямоугольник, ограничивающий по возможности наибольшую площадь.

Литература

1. “Простейшие задачи на максимум и минимум” И. П. Натансон. Москва 1957г.

Применение производной для нахождения наибольшего и наименьшего значения заданного параметра.

• При решении таких задач используется алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции.
• Способ поиска наибольшего и наименьшего значения функции применим к решению разнообразных прикладных задач. При этом он действует по схеме:
• Выбирают удобный параметр Х, через который интересующую на величину выражаем как функцию f (x);
• Средствами анализа, по алгоритму нахождения наибольшего и наименьшего значения этой функции на некотором промежутке, ищется наибольшее или наименьшее значения этой функции на заданном промежутке.
• Выясняется, какой практический смысл ( в терминах первоначальной задачи) имеет полученный ( на языке функций) результат.

Приведем примеры таких задач:

Задача 1

На какой высоте надо повесить фонарь над центром круговой площадки радиуса a, чтобы площадка была максимально освещена у границы площадки.

(Задача из сборника “Практические занятия по математике” Богомолов Н.В. Высшая школа 1979г. Страница 87.)

Задача 2

Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Дан периметр фигуры. Каковы должны быть размеры ее, чтобы окно пропускало наибольшее количество света? (А.А.Колосов “Книга для внеклассного чтения по математике в старших классах” Москва 1963г).

Решение задач записано на доске.

4. Обмен мнениями по рассматриваемым вопросам.

5. Итоги урока. Заключительное слово преподавателя.

Презентация