Данный урок – один из заключительных уроков по теме “Арифметическая и геометрическая прогрессии”. После этого урока предполагается еще один час на решение задач на “смешанные прогрессии” и затем контрольная работа. Особенностью этого урока является использование методов сравнения, сопоставления, противопоставления, умения выделять главное, выделять общее и различия, а также компьютерная поддержка при осуществлении контроля. Подобраны также интересные задачи по теме с практической направленностью, что приводит к значительному повышению учебной мотивации.
Цели урока:
- Повторение, обобщение и систематизация знаний по теме “Прогрессии”.
- Выработка умений анализировать, обобщать, сравнивать, самостоятельно применять знания, умения и навыки по теме, осуществлять их перенос в новые условия.
- Проверка усвоения знаний по теме “Геометрическая прогрессия”.
Тип урока – комбинированный.
I. Фронтальная работа со всем классом.
а) Устно: Даны последовательности чисел. Есть ли среди них прогрессии? Какие?
6; 8; 10; ….. (12; 14; 16;…)
3; 6; 12; …..(24; 48; 96;…)
2;
25; 20; 10; 5;…..
б) Заполнить таблицу (обучающиеся заносят соответствующие формулы в таблицу, таблица заранее приготовлена на доске учителем).
| Арифметическая прогрессия |
Геометрическая прогрессия |
|
| Признак прогрессии | ||
| Формула n-го члена | ||
| Зависимость между соседними членами | ||
| Разность или знаменатель прогрессии | ||
| Сумма n первых членов прогрессии | ||
| Сумма бесконечной прогрессии |
б) Вопросы:
1. Назовите общее и различное в структуре определения арифметической и геометрической прогрессии.
2. Попробуйте дать определение бесконечно
убывающей прогрессии (Бесконечной убывающей
геометрической прогрессией наз. бесконечная
последовательность отличных от нуля чисел,
каждый член которой, начиная со второго, равен
предыдущему члену, умноженному на одно и тоже
число, меньшее единицы по модулю).
3. Как доказать, что данная последовательность
является арифметической или геометрической?
4. С помощью стрелок покажите связи между
указанными определениями, формулами.
5. Можно такую же взаимосвязь установить между определениями и формулами геометрической прогрессии?
II. Решение задач.
1. Между числами 4 и 9 вставьте положительное число так, чтобы получилось три последовательных члена геометрической прогрессии. Сформулируйте и решите аналогичную задачу применительно к арифметической прогрессии.
b1 = 4; b3 = 9
b3= b1* q2; q2 =9/4, q = 3/2 или q = -3/2;
b2= 6 или b2 = - 6.
Ответ: 4; 6; 9 или 4; -6; 9.
a1 = 4; a3 = 9
a3 = a1 + 2d; 2d = 5; d = 2,5; a2= 4+ 2,5 = 6,5.
Ответ: 4; 6,5; 9.
2. Могут ли три положительных числа быть
одновременно тремя последовательными членами
арифметической и геометрической прогрессий?
(Нет).
3. Можно ли указать последовательности,
являющиеся одновременно арифметической и
геометрической прогрессиями? (Да, например: 7; 7; 7;
7;…, d=0, q=1).
4. Решение задач с какими прогрессиями вызывают у
вас наибольшие затруднения?
III. Работа с тренажерами (таблицами для устного счета: повторяем степени, см. Приложение1).
IV. Самостоятельная работа.
10 человек за компьютерами выполняют контрольный тест по теме “Геометрическая прогрессия” (приложение 2), 4 человека готовят решение задач у доски, остальные выполняют индивидуальное задание (приложение 3).
V. Слушаем решение задач у доски (практической направленности, которые учащиеся решали дома самостоятельно).
Задачи из учебника “Алгебра, 9” под. ред. С.А. Теляковского
№ 143.Ступенчатый шкив состоит из десяти ступеней. Диаметры их составляют арифметическую прогрессию. Наибольший диаметр 300 мм, наименьший – 120 мм. Найдите остальные диаметры. (Шкив – колесо, которое передает движение приводному ремню или канату.)
a1=120; a10= 300.
a10= a1 + 9d; 9d = 300–120=180; d = 20.
Ответ: 120; 140; 160; 180; 200; 220; 240; 260; 280; 300 мм.
№ 147. Бригаде рабочих льнозавода, состоящей из двух рабочих 3-го разряда, четырех рабочих 4-го разряда и шести рабочих 5-го разряда начислено за месяц 778 руб. 75 коп. и премиальных 15% от зарплаты. Распределите начисленную сумму денег между рабочими бригады, учитывая, что тарифная ставка рабочих льнозавода по указанным разрядам увеличивается в геометрической прогрессии, знаменатель которой равен 1,127.
q = 1,127. Пусть зарплата рабочего 3-го разряда с учетом премиальных равна 1,15x, тогда 4-го разряда – 1,127*1,15*x, а 5-го разряда – 1,1272*1,15*x руб.
Составим уравнение:
2x + 4*1,127x + 6*1,1272x = 778,75;
14,1287x = 778,75;
x = 55,1183;
3-й разряд: 55,1183*1,15 = 63 руб. 39 коп.
4-й разряд: 55,1183*1,15*1,127 = 71 руб. 44 коп.
5-й разряд: 55,1183*1,15*1,1272= 80 руб. 50 коп.
№ 401. Срочный вклад в банке ежегодно увеличивается на 90%. Каким станет вклад через 3 года, если вначале он был равен 800 р.?
b1 = 800; q = 1,9
Через 3 года b4= 800* 1,93 = 5487,2 руб.
№ 477. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии:
V. Вывод: сегодня мы с вами, применяя методы противопоставления и сопоставления, выяснили различия и общее в арифметической и геометрической прогрессиях, а также увидели, как эти знания можно применять при решении различных практических задач. Понравился ли вам урок? Какие задания вызвали наибольший интерес? А затруднения?
VI. Домашнее задание:
а) подготовить сообщения из истории математики о прогрессиях; № 470, № 475; № 479;
б) творческое задание для желающих: составить задачу, соответствующую реальной жизненной ситуации, которая решалась бы с помощью формул геометрической или арифметической прогрессии. К этой задаче составьте вопросы, алгоритм решения, оформите все это на листе формата А4.