Урок-КВН по теме "Первообразная. Интеграл. Применение интеграла"

На доске написано:

(Ниже ведётся запись полученных очков).

Правила игры.

1. Класс разбивается на две команды.
2. Выбираются капитаны команд.
3. Капитаны назначают консультантов.
4. Для участия во всех видах работы ученики вызываются к доске капитанами команд.

На доске написаны задания.

Докажите, что функция F(х) является первообразной для функции f(х) на промежутке

F(х) = + 3х – 5,

f(х) = 3( + 1)

Найдите общий вид первообразной для функции:

f(х) = 2х³ – 6 + х – 1

Вычислите интеграл:

а) ;

б) .

Найдите первообразную функцию f(х) = 4 – , график которой проходит через точку

(–3; 10).

Решение:

F'(х) = (х³ +3х – 5)' = 3 + 3 = 3( +1)

F'(х) = f(х).

F(х) является первообразной f(х)

2.

3. а)

б)

4.

Консультанты каждой команды собирают тетради и передают консультантам другой команды для проверки. Побеждает та команда, у которой больше сумма очков.

II этап. Блиц – турнир.

Найдите ошибку: (с классом)

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8. Тело движется по прямой так, что расстояние S до него от некоторой точки А этой прямой изменяется по закону

S = 0,5 + 3t + 2(м),

где t – время движения в секундах.

Найти U тела через 7 сек.

U (7) = 10 м/сек.

III этап. Домашнее задание.

К доске приглашаются по 1 ученику от каждой команды.

1. С помощью интеграла вывести формулу объёма конуса.
2. С помощью интеграла вывести формулу объёма шара.

Решение:

Вывод: При вращении прямоугольного треугольника ОАВ вокруг оси ОХ, содержащей катет

ОВ получается конус. Треугольник ОАВ является частным случаем криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y=f(х) (прямой ОА), прямыми х = 0 и х = Н, осью абсцисс. V тела вращения вычисляется по формуле

Найдём уравнения прямой ОВ:

Вывод: V конуса равен произведения площади основания на высоту.

Решение 2:

Вывод: При вращении полукруга вокруг оси ОХ, получаем тело вращения шар.

Полукруг является частным видом криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции у=f(х) и прямыми х = – R, х = R, у = 0.

Уравнение окружности имеет вид + =

= – . Подставим в формулу:

Вывод: V шара радиуса R равен 4/3 .

1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиками функций

2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями

В процессе решения задач капитанами, учащиеся решают задачи капитанов из противоположных команд и готовят для него вопросы по теме заданий. По результатам решения задачи и ответов на вопросы, капитаны получают соответствующие баллы.

Решение задания 1.

1. Найдём абсциссы точек пересечения графиков данных функций:

2. Постройте графики данных функций.

Уравнение 2.

Найдём абсциссы точек пересечения графиков данных функций.

Построим графики данных функций.

Рисунок 4.

V этап. Конкурс болельщиков.

1). Чему равен путь, пройденный точкой, движущейся прямолинейно, за отрезок времени от t₁=1с до t₂ = 4с, если скорость точки U(t) = (2t? – 3t) м/с?

Чему равно ускорение этой точки в момент времени t = 2с?

2). Тело движется прямолинейно со скоростью U(t) = (3 – 2t)

Найти путь, пройденный телом за первые 5 сек.

Чему равно ускорение тела в момент t = 5 c?

1. Исследуйте функцию f(х) = – х? + 3х? – 4 и постройте её график.

2. Исследуйте функцию f(х) = х? - 3х? + 4 и постройте её график.

f(х) = –х³ + 3 – 4.

1) D(f) = IR

2) f(–х) = – + 3 + 4 = + 3 + 4

О чётности функции говорить нельзя.

3) Найдём точки пересечения с осью ОХ (у = 0):

(2; 0) – х² + х + 2 = 0

D = 1 + 8 = 9

(–1; 0)

4) Найдём точки пересечения с осью ОХ (х = 0):

у = – 4 (0; –4)

5) f '(х) = –3х² + 6х

6) f '(х) = 0; –3х² + 6х = 0

– 3х(х – 2) = 0

х = 0; х = 2 – критические точки.

7)

Рисунок 5.

8)

Рисунок 11.

9) f ''(х) = (–3х² + 6х)' = – 6х + 6

10). Найдём точки перегиба.

– 6х + 6 = 0

– 6х = – 6

х = 1

11)

Рисунок 6.

(– ; 1) выпуклость направлена вниз

(1; ) выпуклость направлена вверх

f(1) = – 2

12). Построим схематический график.

Рисунок 7.

13) Е(у) = IR.

Решение 2.

f(x) = x³ – 3x² + 4

1) D(f) = IR

2) f(–x) = – 3 + 4 = – – 3 + 4

О чётности функции говорить нельзя.

3) Найдём точки пересечения с осью ОХ (у = 0):

– 3 + 4 = 0

х = 2

х²– х – 2 = 0

D = 1+8 = 9

(2;0); (–1;0)

4) Найдём точки пересечения с осью ОУ (х =0): у = 4

(0; 4)

5) f '(x) = 3х² – 6x

6) f '(x) = 0,

3х²– 6x = 0
3x(x – 2) = 0
x₁ = 0, x₂ = 2

7)

Рисунок 8.

8) х = 0 точка max

у _max (0) = 4.

x = 2 точка min

у _min (2) = 0

9) f ''(x) = (3х² – 6x)' = 6x – 6

10) Найдём точки перегиба

6х – 6 = 0

х = 1

f(1) = 2.

11)

Рисунок 9.

(– ; 1) выпуклость вниз

(1; ) выпуклость вверх

12) Составим таблицу:

Рисунок 12.

13)

Рисунок 10.

E(y) = IR.

VIII этап. Подведение итогов.

Выигравшая команда объявляется победительницей, а многие учащиеся получают оценки.

IX этап. Задание на дом.

1) Найти S – ?, у = –  х² + 2х + 1

у = х – 1

2) ЕГЭ 2002 В2.

3) № 1311.

№ 1596.

№ 1675. у² = 4 – х , х = 0.

Вращается вокруг оси ОИ.

Найти V тела, образованные вращением фигуры, ограниченной данными линиями.

4) Найдите S фигуры, ограниченной параболой у = х² – 4х +5, касательной к ней в точке М(4;5) и прямой 1.

X этап (дополнительный) Исторический

Исаак Ньютон.

Общий метод дифференцирования и интегрирования. Построенный с полным пониманием того, что один процесс является обратным по отношению к другому, мог быть открыт только такими людьми, которые овладели как геометрическим методом греков и Кавальери, так и алгебраическим методом Декарта и Валлиса. Такие люди могли появиться лишь после 1660 г. и они действительно появились в лице Ньютона и Лейбница. Очень много написано по вопросу о приоритете этого открытия, но теперь установлено, что оба они открыли свои методы независимо друг от друга. Ньютон первым открыл анализ (в 1665 – 1666 г.), Лейбниц в 1673 – 1676 г., но Лейбниц первый выступил с этим в печати. (Лейбниц 1684 – 1686г., Ньютон в 1704 – 1736 г. (посмертно)). Школа Лейбница была гораздо более блестящей, чем школа Ньютона.

Исаак Ньютон был сыном землевладельца в Линкольнмире. Он учился в Кембридже, возможно, что у Исаака Барроу, который в 1669 г. передал ему свою профессорскую кафедру (примечательное явление в академической жизни, так как Барроу открыто признал превосходство Ньютона. Ньютон оставался в Кембридже до 1696 г., когда он занял пост инспектора, а позже начальника монетного двора. Его исключительный авторитет в первую очередь основан на его математических принципах натуральной философии, огромном томе, содержащем аксиоматическое построение механики и закон тяготения – закон, управляющий падением яблока на землю и движением Луны вокруг Земли. Ньютон строго математически вывел эмпирически установленные законы Кеплера движения планет из закона тяготения обратно пропорционально квадрату расстояний и дал динамическое объяснение приливов и многих явлений при движении небесных тел. Он решил задачу двух тел для сфер и заложил основы теории движения Луны. Решив задачу о притяжении сфер, он тем самым заложил основы и теории потенциала. Его аксиоматическая трактовка требовала абсолютности времени.

Трудно разглядеть за геометрической формой его доказательств, что их автор полностью владел анализом, который он называл теорией флюксий. Ньютон открыл свой общий метод в течение 1665 – 1666 г., когда он находился на своей родине, в деревне, спасаясь от чумы, поразившей Кембридж. К этому времени относятся его основные идеи о всемирном тяготении, а также о сложном составе света. “В истории науки нет равного примера таких движений, как достижение Ньютона в течение этих двух золотых лет”, - заметил профессор Мор.

Ньютон писал также о конических сечениях и о плоских кривых третьего порядка. В “Перечислении линий третьего порядка” он дал классификацию плоских кривых третьей степени на 72 вида, исходя из своей теоремы о том, что каждую кубическую прямую можно получить из “расходящейся параболы” = + в + сх + с при центральном проектировании одной плоскости на другую. Это было первым важным новым результатом, полученным путём применения алгебры и геометрии, так как все предыдущие работы были просто переводом Аполлония на алгебраический язык. Ньютону принадлежит также метод получения приближенных значений корней численных уравнений, который он разъяснил на примере уравнения – 2х – 5 = 0 , получил х 2,09455147.

Трудно оценить влияние Ньютона на его современников из – за того, что он постоянно колебался, публиковать ли ему свои открытия. Впервые он проверил закон всемирного тяготения в 1665 – 1666 г., но сообщил об этом лишь тогда, когда представил в рукописи большую часть своих “Начал” (1686 г.). Его “всеобщая арифметика”, составлена из лекций по алгебре, прочитанных между 1673 и 1683 г.. была напечатана в 1707 г.. Его работа о рядах, восходящая к 1669 г. была предметом письма к Ольденбургу в 1676 г., а появилась в печати в 1711 г.. Его работа о квадратуре кривых (1671 г.) была напечатана только в 1704 г.. и тогда впервые миру стала известна теория флюксий. “Метод флюксий” появился только после смерти Ньютона. В 1736 году.

Готфрид Вильгельм Лейбниц.

Готфрид Вильгельм Лейбниц родился в Лейпциге, а большую часть жизни провёл при ганноверском дворе, на службе у герцогов, один из которых стал английским королём под именем Георга I. Лейбниц был ещё более правоверным христианином, чем другие мыслители его столетия. Кроме философии он занимался историей, теологией, лингвистикой. Биологией, геологией, математикой, дипломатией и “искусством изобретения”. Одним из первых после Паскаля он изобрёл счётную машину, пришёл к идее парового двигателя, интересовался китайской философией и старался содействовать объединению Германии. Основной движущей пружиной его жизни были поиски всеобщего метода для овладения наукой. Создания изобретений и понимания сущности единства вселенной. “Общая наука”, которую он пытался построить, имела много аспектов, и некоторые из них привели Лейбница к математическим открытиям. Его поиски “всеобщей характеристики” привели его к занятиям перестановками, сочетаниями и символической логике; поиски “всеобщего языка”, в котором все ошибки мысли выявлялись бы как ошибки вычислений, привели его не только к символической логике, но и к многим новшествам в математических обозначениях. Лейбниц – один из самых плодовитых изобретателей математических символов. Немногие так хорошо понимали единство формы и содержания. На этом философском фоне можно понять, как он изобрёл анализ: это было результатом его поисков “универсального языка”, в частности языка, выражающего изменение и движение.

Лейбниц нашёл своё новое исчисление между 1673 и 1676 гг. под личным влиянием Гюйгенса и в ходе изучения Декарта и Паскаля. Его подстёгивало то, что он знал, что Ньютон обладал подобным методом. Подход Ньютона в основном был кинематическим, подход Лейбница был геометрическим, он мыслил в терминах “характеристического треугольника” (dx, dy, ds), который уже появился в нескольких других работах, а именно у Паскаля (термин “характеристический треугольник”, по-видимому, впервые был применён Лейбницем, который нашёл его при чтении работы Паскаля “Трактат о синусах четверти круга”, составляющей часть писем к Деттонвилю) и в “Геометрических лекциях” Барроу. Впервые анализ в форме Лейбница был изложен или в печати в 1684 г. в шестистраничной статье в математическом журнале, который был основан при его содействии в 1682 г.

Характерно название этой статьи: “Новый метод для максимумов и минимумов, а также для касательных, для которого не являются препятствием дробные и иррациональные количества, и особый вид исчисления для этого”. Изложение было трудным и неясным, но статья включала в себя наши символы dx и dy, а также правила дифференцирования, включая d(UV) = UdV + +VdU или (UV)' = U'V + V'U

и дифференцирование дроби, а также условия dy = 0 для экстремальных значений и = 0 для точек перегиба. За этой статьёй последовала в 1686г. другая статья с правилами интегрального исчисления и с символом (написана в форме рецензии).

С появлением этих статей начался исключительно плодотворный период математической деятельности. После 1687 г. к Лейбницу присоединились братья Бернулли, которые с жадностью осваивали его методы. Ещё до 1700 г. они втроём открыли значительную часть нашего основного курса анализа и несколько важных разделов в более сложных областях, включая решения некоторых задач вариационного исчисления. В 1696 г. появился первый учебник по анализу. Он был написан маркизом Лопиталем, учебником Иоганна Бернулли, опубликовавшим лекции своего учителя по дифференциальному исчислению в книге “Анализ бесконечно малых”.

Литература:

1. Учебник Д.Я. Строяк “Краткий очерк истории математики”.
2. В.Г. Коваленко “Дидактические игры на уроках математики”. Москва. “Просвещение 1990г.”
3. В.П. Минорский “Сборник задач по высшей математике”
4. “Сборник задач по математике для поступающих в ВУЗЫ” под редакцией М.И. Сканави 2006 г.
5. Математика. “Сборник заданий для проведения письменного экзамена за курс средней школы 11 класс”.
6. “Единый государственный экзамен” 2002 г.