Программа элективного курса "Тайны неевклидовской геометрии"

В связи с переходом к профильному обучению большое значение приобрела проблема формирования представления о прикладных возможностях математики. Необходимо отметить, что существующий учебный процесс характеризуется рассогласованием между необходимостью наличия знаний у обучающихся по предмету геометрия, не включенных в программный материал и недостаточного количества часов, предназначенных для изучения данной дисциплины. Нехватка времени, отведенного в учебном процессе на этот предмет не дает возможности познакомить детей с неевклидовой геометрией, постулаты которой идут в противоречие с утверждениями евклидовой геометрии, включенной в программный материал. В результате этого возникла необходимость показать детям, что геометрия не ограничивается понятиями, включенными в школьный программный материал. Многие математические теории нередко кажутся искусственными, оторванными от реальной жизни, просто непонятными. Если же подойти к этим проблемам с позиции исторического развития, то станет, виден их глубокий жизненный смысл, их необходимость. Особый акцент в программе сделан на использование школьного курса геометрии - что облегчит понимание “неевклидовой геометрии” и расширит знания в области геометрии в целом.

В данном курсе затрагиваются вопросы различий и схожести евклидовой геометрии и геометрии Лобачевского (т.е. неевклидовой геометрии), и вопросы реальности геометрии Лобачевского.

В соответствии с этим, целью прохождения настоящего курса является формирование у обучающихся представления о неевклидовой геометрии, знакомство с историей ее возникновения.

В ходе ее достижения решаются задачи:

1. Формировать систему математических знаний и умений по теме “Неевклидова геометрия”;
2. Совершенствовать умения доказывать основные утверждения данной теории;
3. Создание условий для развития интереса обучающихся к геометрии вообще и геометрии Лобачевского в частности.
4. Развивать творческий подход к изучению геометрии в целом;
5. Оказать помощь обучающимся в осознанном выборе будущей профессии.

Курс рекомендован учащимся десятых, одиннадцатых классов.

В результате прохождения программного материала обучающийся будет:

знать - основные аксиомы и теоремы геометрии Лобачевского;

уметь - умеет доказывать данные утверждения;

владеть - основными постулатами “Неевклидовой геометрии”.

В структуре изучаемой программы выделяются следующие основные разделы:

1. Исторические сведения;
2. Планиметрия Лобачевского;
3. Стереометрия Лобачевского;
4. Реальна ли геометрия Лобачевского?

Программа предусматривает проведение занятий в традиционной форме, в форме лекций и диспутов.

Часть теорем будет представлена учителем в том виде, в котором представлял сам Лобачевский. А другую часть теорем, в которую входят те, которые посильны обучающимся, будут доказаны ими самостоятельно.

Изучение курса завершается собеседованием, которое включает в себя специально подобранные вопросы по теории и практике.

Программа рассчитана на 30 часов и рекомендуется к реализации в первой, второй и третьей четвертях.

Содержание программы

Раздел 1. Исторические сведения

Рассмотрение исторических фактов зарождения неевклидовой геометрии.

Раздел 2. Планиметрия Лобачевского

Параллельные прямые. Расходящиеся прямые. Их свойства.

Свойства треугольников. Четырехугольник Саккери. Эквидистанта. Окружность. Орицикл.

Раздел 3. Стереометрия Лобачевского

Расположение прямых в пространстве. Расположение прямой и плоскости в пространстве.

Расположение плоскостей в пространстве. Поверхности постоянной кривизны.

Раздел 4. Реальна ли геометрия Лобачевского?

Открытие итальянским геометром Евгением Бельтрами обширного класса поверхностей постоянной отрицательной кривизны. Оригинальное истолкование геометрии Лобачевского немецким математиком Клейном на обычных образах евклидовой геометрии.

1. Атанасян, Л. С. Геометрия Лобачевского [Текст]: учебное пособие / Л.С. Атанасян.- М.: Просвещение, 2001. - 328 с.
2. Ефимов, Н. В. Высшая геометрия [Текст]: учебное пособие / Н. В. Ефимов.- М.:Наука, 1971. - 198 с.
3. Егоров, И. П. Введение в неевклидовы геометрии [Текст]: учебное пособие / И. П. Егоров.- Пенза, 1972. - 284 с.
4. Нут, Ю. Ю. Геометрия Лобачевского в аналитическом изложении [Текст]: учебное пособие / Ю. Ю. Нут.- М., 1961.- 359 с.
5. Погорелов, А. В. Геометрия 7 – 9 [Текст]: учебник для общеобразовательных учебных заведений/ А. В. Погорелов.- М.: Просвещение, 2000.- 179 с.
6. Погорелов, А. В. Геометрия 10 – 11 [Текст]: учебник для общеобразовательных учебных заведений / А. В. Погорелов.- М.: Просвещение, 2000.- 237 с.
7. Современная геометрия [Текст] / Б. А. Дубровин, С. П. Новиков, А. Т. Фоменко. М.: Наука, 1979.- 259 с.
8. Чистяков, В. Д. Беседы о геометрии Лобачевского [Текст]: учебное пособие / В. Д. Чистяков.- Минск: Высшая школа, 1973.- 276 с.
9. Шарыгин, И. Ф. Геометрия 7 – 9 классы [Текст]: учебное пособие / И. Ф. Шарыгин. – М.: Дрофа, 2002. – 368 с.
10. Шарыгин, И. Ф. Геометрия 10 – 11 классы [Текст]: учебное пособие / И. Ф. Шарыгин. – М.: Дрофа, 2002. – 208 с.
11. Шуриков, П. А. Краткий очерк основ геометрии Лобачевского [Текст]: учебное пособие / П. А. Шуриков.- М.: Наука, 1983.- 186 с.

Приложение 1. Аксиомы абсолютной геометрии по Д. Гильберту

Приложение 2. Задания к собеседованию

Приложение 3. Теоретический материал, используемый для проведения курса.

Приложение 4. Список ключевых слов