Урок по теме "Правильные многогранники" в гуманитарном классе

Дифференциация обучения в школе предполагает, в том числе, создание в старшей школе профильных классов. В связи с их появлением перед учителями встает проблема эффективного выбора форм и методов обучения математике учащихся классов разных профилей.

При выборе форм и методов обучения необходимо учитывать возрастные и индивидуальные особенности учащихся разных классов. Для учащихся гуманитарных классов больше подходят игровые формы работы, лабораторные работы, моделирование, сопровождение объяснений учителя наглядным материалом культурологического характера. В отличие от учащихся естественно-математических классов, гуманитарии предпочитают коллективные или групповые формы работы.

Разбиение на группы можно организовать перед началом или в самом начале урока следующим образом. Учитель готовит карточки с высказываниями известных математиков. Число этих карточек должно совпадать с числом учащихся в классе. Число высказываний зависит от числа формируемых групп. Практика показала, что на уроке, описанном ниже, удобно работать с 3-4 группами. Ученики рассаживаются по группам после выбора одной из карточек, например, следующего содержания:

• “В геометрии нет царского пути” Евклид.
• “Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук” Льюис Кэрролл.
• “Несравненное удовольствие, которое я испытал от этого открытия, невозможно выразить словами” Иоганн Кеплер.
• “Не делай никогда того, чего не знаешь. Но научись всему, что следует знать” Пифагор.

Более высокая устойчивость внимания учащихся естественно-математических классов, чем у учащихся гуманитарных классов, требует при работе с последними, более частой смены деятельности учащихся. На данном уроке учащиеся дискутируют, работая в группах, моделируют, анализируют существенные свойства правильных многогранников, решают задачи, отвечают на вопросы межпредметного характера, слушают объяснения учителя, участвуют в построении доказательства.

Преобладание абстрактно-логического мышления у учащихся естественно-математических классов и наглядно-образного – у учащихся гуманитарных классов определяют и разный уровень строгости математических доказательств. Так, например, существование пяти правильных многогранников в естественно-математических классах устанавливается с помощью строгого доказательства с использованием теоремы Эйлера и, кроме того, выясняется способ их построения. В гуманитарных классах при рассмотрении этого факта применяются в большей степени нестрогие рассуждения о возможной величине многогранного угла.

Конспект урока по теме “Правильные многогранники”

Цель урока - знакомство с правильными многогранниками. Учащиеся должны знать определение правильного многогранника, отличать их от многогранников, не являющихся правильными, знать виды правильных многогранников. На следующих уроках учащиеся познакомятся с некоторыми свойствами правильных многогранников и смогут решать задачи с использованием этих свойств.

Инструменты и оборудование урока. На столах у каждой группы находятся модели всех правильных многогранников, кроме октаэдра, а также модели многогранников, не являющихся правильными, например, правильной четырехугольной пирамиды, прямоугольного параллелепипеда, треугольной бипирамиды, ромбододекаэдра, “трехмерного креста”. <Рисунок 1> Вывешиваются плакаты с изображениями правильных многогранников. Каждой группе раздается печатный материал: карточки с заданиями, наглядный материал, таблица. Возможно, и даже целесообразно, применение геометрических конструкторов (“Тико”, “Магнетикс” или подобных им). <Рисунок 2>, <Рисунок 3>

Рисунок 1

Рисунок 2

Рисунок 3

1. Сообщение темы, цели, задач урока и мотивация учебной деятельности.

Сегодня наш урок посвящен “удивительным игрушкам в руках математиков всех времен” – правильным многогранникам. Сегодня на уроке мы рассмотрим различные виды правильных многогранников, а также будем их моделировать. Изучение этого материала нам поможет в конце урока обратиться к красивой геометрической модели, описывающей движение планет.

2. Подготовка к изучению нового материала через повторение и актуализацию опорных знаний.

- У вас на партах есть правильный многогранник, знакомый Вам еще с дошкольного возраста. Покажите его.

Ученики демонстрируют модель куба.

- Перечислите элементы куба. Есть ли среди них равные?

Ученики указывают на равенство всех ребер, граней, двугранных углов.

- Существуют и другие многогранники, имеющие такие же, как и у куба, свойства. Они называются правильными многогранниками, а куб – их типичный представитель.

3. Ознакомление с новым материалом и его первичное осмысление.

- Найдите в учебнике определение правильного многогранника, прочитайте его и выделите все его существенные свойства (характерные признаки).

Ученики выделяют четыре свойства:

1) выпуклый,

2) грани – равные многоугольники,

3) грани – правильные многоугольники,

4) в каждой его вершине сходится одно и тоже число ребер.

- Используя модели на Ваших партах, укажите многогранник, для которого не выполняется, например, первое свойство определения; второе свойство и т.д.

- Разделите многогранники у Вас на партах на две группы: правильные многогранники и многогранники, не являющиеся правильными.

Ученики выполняют задание учителя, причем в группе правильных многогранников оказываются только четыре (куб, тетраэдр, додекаэдр, икосаэдр).

- Выпишите определение правильного многогранника в тетрадь.

В тетрадях у учеников появляется следующая запись “Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани ? равные правильные многоугольники и, кроме того, в каждой его вершине сходится одно и тоже число ребер”.

- Автор чудесной сказки “Алиса в стране чудес” Льюис Кэрролл говорил, что “правильных многогранников вызывающе мало”. Как Вы думаете, сколько их? Все ли они представлены на Ваших партах или существуют еще какие-то.

Учитель может доказать существование только пяти правильных многогранников, используя следующее утверждение: “Сумма плоских углов при вершине выпуклого многогранника меньше 360⁰” [2]. Убедиться в том, что гранью правильного многогранника является только правильный многоугольник, у которого угол меньше 120° , ученики могут с помощью моделирования с геометрическим конструктором.

- Как отмечают историки, о существовании только пяти правильных многогранников знал еще Пифагор (VI век до н.э.), но первым удалось доказать это Евклиду (III век до н.э.). У вас на партах их только четыре. Укажите их. <Рисунок 4>

Рисунок 4

- Какой отсутствует? Давайте его откроем, как это может быть делали древние греки, но сначала нам придется систематизировать все, что мы знаем об остальных четырех правильных многогранниках. Рассуждая, заполним таблицу.

 

- Что мы знаем о пятом многограннике?

У него восемь граней и все грани правильные треугольники. Его следует назвать октаэдром (по числу граней).

- У вас на партах геометрический конструктор. Соберите с его помощью модель октаэдра. <Рисунок 5> <Рисунок 6>

 

Рисунок 5

Рисунок 6

Ученики в группах моделируют. Когда октаэдр собран, учитель подчеркивает необходимость доказательства того, что собранный руками учеников многогранник является правильным. Ученики, используя определение, обосновывают свой вывод.

4. Демонстрация изученного материала в науке, искусстве и окружающем мире.

После доказательства Евклидом существования пяти правильных многогранников молодой ученый Иоганн Кеплер (в 1597 году, тогда ему было 25 лет) обратился к правильным многогранникам, чтобы описать движение планет. Обратимся к размышлениям юного Кеплера: “Вокруг Солнца описана самая большая сфера, по ней движется Сатурн. Теперь в нее впишем куб, а в этот куб – снова сферу, которая определит собой орбиту Юпитера. Если в эту меньшую сферу вписать тетраэдр, а в него опять сферу, то получится орбита Марса. Далее между Марсом и Землей окажется додекаэдр, между Землей и Венерой – икосаэдр, а Венеру и Меркурий разделит октаэдр”.

Ученики видят перед собой изображение “Космического кубка” Кеплера и внимательно следят за речью учителя. Изображение “Космического кубка” Кеплера можно найти в литературе [4, 5].

- Что вы можете сказать об истинности гипотезы Кеплера?

Ученики указывают, что на данный момент времени в Солнечной системе известно девять планет: Меркурий, Венера, Земля, Марс, Юпитер, Сатурн, Уран, Нептун и Плутон. Все они вращаются вокруг Солнца ? центральной звезды. Может кто-нибудь из учащихся отметит, что орбитами движения являются не окружности, а эллипсы.

- Вы опровергли гипотезу Кеплера с помощью астрономических знаний. А, как, используя знания XXI века, опровергнуть эту красивую гипотезу. Сейчас призовем на помощь “царицу наук” математику.

Схематично модель Кеплера можно представить следующим образом. <Рисунок7> Сравним отношение радиусов орбит, например, Сатурна и Юпитера с точки зрения Кеплера и с точки зрения современных знаний. <Рисунок 8>

Рисунок 7

Рисунок 8

Ученики в группах убеждаются:

- “По Кеплеру” R_c : R_ю приблизительно 1,73 <Рисунок 9>

Рисунок 9

- С точки зрения современных знаний R_c : R_ю приблизительно 1,81 (Справка: Средние радиусы орбит Сатурна и Юпитера равны Rc = 1,427*10⁹ км и Rю = 0,788*10⁹ км).

Расхождение значений достаточно весомое.

- Выбор Кеплером пяти правильных многогранников был ошибочен. Он сам признал это, потратив 2 года на вычисления. И вместе с тем, как утверждают историки науки, именно работа над этой моделью способствовала открытию трех знаменитых законов Кеплера.

Не только ученые выбирают правильные многогранники для создания тех или иных моделей. Часто природа сама выбирает правильные многогранники. Попробуйте отгадать выбор природы.

Группам учеников раздаются карточки с заданиями.

Карточка 1. Отгадайте правильный многогранник:

1. Грани этого многогранника связаны с “золотым сечением”.
2. Получение серной кислоты, железа, особых сортов цемента не обходится без сернистого колчедана, кристаллы которого имеют форму _________.
3. Его удобно использовать для печати календарей.
4. Правильный _____________ изображен на картине С. Дали “Тайная вечеря”.
5. В школе Пифагора этот многогранник символизировал Вселенную

Карточка 2. Отгадайте правильный многогранник:

1. “Среди правильных тел самое первое, начало и родитель остальных – куб, а его, если позволительно сказать, супруга _______, ибо центры граней куба соответствуют вершинам _________” Иоганн Кеплер.
2. При производстве алюминия пользуются алюминиево-калиевыми квасцами, монокристалл которых имеет форму ______________.
3. Алмаз – самый твердый из минералов. Он может раскалываться в четырех направлениях, параллельно граням правильного ___________. Это свойство используют в ювелирном деле для придания камню необходимой формы перед огранкой.
4. В школе Пифагора этот многогранник символизировал воздух.

Карточка 3. Отгадайте правильный многогранник:

1. Этот многогранник был игральной костью династии Птолемеев.
2. Форму вируса гриппа часто сравнивают с формой этого многогранника.
3. Его форму имеет кристалл бора. Бор использовался для создания полупроводников первого поколения.
4. В школе Пифагора этот многогранник символизировал воду.
5. В карточках последовательно зашифрованы додекаэдр, октаэдр и икосаэдр.

5. Домашнее задание. Оглянитесь вокруг, откройте книги и расскажите на следующем уроке, где в окружающем мире нам встречаются куб и тетраэдр.

Литература:

1. Азевич А.И. Двадцать уроков гармонии: Гуманитарно-математический курс. – М.: Школа-Пресс, 1998.
2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 10-11. - М.: Просвещение, 2006.
3. Смирнова И.М. Научно-методические основы преподавания геометрии в условиях профильной дифференциации обучении: Монография. – М.: Прометей, 1994.
4. Смирнова И.М. Геометрии 10-11 (для гуманитарных классов) - М.: Мнемозина, 2006.
5. Репродукция “Космический кубок” Кеплера на последней странице обложки журнала “Квант” -1978. ? № 6.