Тема урока: "Теорема Пифагора и ее применение"

Сафарова Лариса Александровна, учитель математики

Разделы: Математика

Цели урока:

развивающая:

развитие психических процессов: памяти, внимания, мышления, воображения;
повышение мотивации обучения учащихся;
расширение кругозора учащихся и обогащение словарного запаса. Развитие познавательного интереса;
осуществление межпредметной связи геометрии с алгеброй, географией, историей, биологией, литературой, трудом.

обучающая:

формирование общеучебных математических навыков и умений: доказательство и формулировка теоремы Пифагора;
умение решать задачи с помощью теоремы Пифагора.

воспитывающая:

обучение детей трудолюбию и аккуратности.

Эпиграф урока:

“…Геометрия владеет двумя сокровищами –
теоремой Пифагора и золотым сечением…”

Иоганн Кеплер

Прогнозируемый результат:

Знать зависимость между сторонами прямоугольного треугольника.
Уметь доказывать теорему Пифагора.
Уметь применять теорему Пифагора для решения задач.

Оборудование:

Компьютер.
Большой прямоугольный треугольник и три квадрата.
Прямоугольный треугольник и три квадрата у каждого ученика на парте.
Ножницы.
Карточки для работы в группах.
Математическое лото.
Таблица квадратов натуральных чисел.
Портрет Пифагора.
Чертежные инструменты.
Плакат с надписью: “Геометрия владеет двумя сокровищами – теоремой Пифагора и золотым сечением…”. Иоганн Кеплер

ХОД УРОКА

Приветствие и вступительное слово учителя:

Здравствуйте, дети! Сегодня я предлагаю вам отправится в Х-педицию. Дети, сейчас вы выступите в качестве исследователей. (см. презентацию – представлена в приложении).

Приложение

Прежде, чем познакомиться с новой темой, выполним некоторые задания.

1. Найдите пропущенное число (рис.1).

2. Назовите два следующих числа.

36, .49, 64 ,81, 100, 121, …

Назовите фигуры, которые вы видите на экране (рис.2).

- Какие бывают треугольники?

- Какой треугольник называется прямоугольным?

- А какая фигура называется квадратом?

- Как мы находим его площадь?

- Ребята, наша исследовательская деятельность продолжается.

Назовите элементы прямоугольного треугольника (рис.3).

Приложение 1

(На боковой доске даны изображения треугольников с указанными длинами сторон)

- Давайте на основе данных рисунков заполним соответствующую таблицу. В этой таблице нам надо записать квадраты длин катетов и гипотенузы для каждого из данных треугольников. 3 треугольника, соответственно 3 строки таблицы и заполним.

Дети выходят к доске и заполняют таблицу

№	a ²	b ²	c ²
1.	64	225	289
2.	144	25	169
3.	16	9	25

- Итак, определите, как связаны катеты и гипотенуза в каждом из треугольников (как связаны квадраты катетов с квадратом гипотенузы).

Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

- Такая связь действительно существует. Есть соответствующая теорема. И сегодня на уроке мы найдем и изучим эту связь. Тема нашего урока – “Теорема Пифагора”. Теорема эта отражает связь между катетами и гипотенузой в прямоугольном треугольнике.

На доске появляется тема урока и формулировка теоремы.

- На экране компьютера портрет Пифагора и формулировка теоремы.

- Отметьте у себя в тетрадях тему нашего занятия. И сейчас мы докажем эту теорему. Записываем после формулировки теоремы – дано.

(Правая боковая сторона доски с треугольником)

Дано: АВС-прямоугольный

тр-к ; ВС= a , АС= b и АВ=с,

доказать: с ² = a ² + b ²

Доказательство: (рис.4).

Приложение 2

Построим на катете прямоугольного треугольника (длиной 4 квадрата) квадрат со стороной, равной этому катету, на втором катете (длиной три квадрата) построим квадрат со стороной, равной этому катету, и, аналогично, на гипотенузе построим квадрат со стороной, равной гипотенузе.

Чему равна площадь квадрата со стороной а? S₁ = а²

Чему равна площадь квадрата со стороной в? S₂ = в²

Чему равна площадь квадрата со стороной с? S₃ = с²

Дети работают вместе с учителем.

Учитель: У вас у каждого на парте лежат треугольник и квадраты. Достали ножницы из чехлов…

Теперь положите квадрат с площадью а² на квадрат с площадью с² . Разрежьте квадрат с площадью в² на девять равных квадратиков и заполните ими свободное пространство на квадрате с² . Мы наглядно показали, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

S₃= S₁+ S₂

с ² = a ² + b ²

- Что и требовалось доказать

Соблюдение техники безопасности – ножницы в чехлы.

Приложение 3

“Пифагоровы штаны во все стороны равны”
и “Пифагорова невеста”

Закрепление нового материала
(на экране задача и рисунок к ней на доске) (рис.5)

У египтян была известна задача о лотосе. "На глубине 12 футов растет лотос с 13-футовым стеблем. Определите, на какое расстояние цветок может отклониться от вертикали, проходящей через точку крепления стебля ко дну”.

Замечание. Из курса алгебры известно, что уравнение АВ² = 25 имеет два корня: АВ = ±5, АВ = -5 не удовлетворяет условию задачи, так как длина стороны треугольника всегда положительна. Значит АВ = 5. Давайте договоримся, что в дальнейшем, при решении уравнений в подобных задачах, будем ограничиваться только положительными корнями и каждый раз не будем пояснять, почему отрицательные корни отбрасываются.

Работа в группах

Трем группам из четырех человек даются карточки в виде прямоугольных треугольников с заданиями и табло с ответами (рис.6).

Каждый ученик решает свою задачу и ставит свой треугольник на свое место. В результате в группах получаются – карта Древней Греции, карта Древнего Египта и карта древней Италии. Капитаны выходят к доске со своими картами

Приложение 4

На экране компьютера появляется карта Древнего мира (рис.7). Если соединить города, где родился, набирался опыта и жил Пифагор, отрезками, то получиться прямоугольный треугольник (см. презентацию – приложение).

Самостоятельная работа

Учитель: А теперь, дети, каждый из вас попробует совершить открытие самостоятельно. Перед вами задачи на теорему Пифагора. Правильно решив их, вы получите названия стиля в архитектуре, где применяется теорема Пифагора. На экране появляются задачи на теорему Пифагора. (рис. 8).

6	16	17	20	24	5
г	о	т	и	к	а

Решая задачу, дети вписывают букву в таблицу против получившегося ответа. Дети получают слово “готика”

Показать Собор Парижской богоматери (рис. 9).

Приложение 5

Математическое лото

Учитель: А теперь каждый попробует совершить свое открытие в нашей исследовательской деятельности. Кстати, с теоремой связан интересный факт. Хоть она и связывается с именем Пифагора, она была известна задолго до него. В древних текстах эта теорема встречается за 1200 лет до Пифагора. Возможно, что тогда ещё не знали её доказательство, а само соотношение между гипотенузой и катетами было установлено опытным путём, как и мы его сейчас установили. В какой стране и при строительстве какого сооружения применялась теорема Пифагора?

Сейчас мы с вами узнаем.

Удобный и очень точный способ, употребляемый землемерами для проведения на местности перпендикулярных линий, был известен с древних времён.. Этот способ, по-видимому, применявшийся ещё тысячелетия назад строителями египетских пирамид, основан на том, что каждый треугольник, стороны которого относятся как 3:4:5, согласно теореме Пифагора - прямоугольный, так как 3²+ 4² = 5².

Поэтому треугольник с катетами 3, 4 и гипотенузой 5 называют “египетским” (рис.10).

У вас у каждого на парте лежит задание на обратной стороне фигур, с которыми мы работали. Вы, каждый самостоятельно, решаете свои задачи и находите ответ на математическом лото на доске. Сейчас мы получим великое сооружение, в строительстве которого еще задолго до жизни Пифагора использовались знания о том, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Дети решают задачи и получают пирамиду Хеопса.

На экране – пирамида Хеопса (рис.11).

Подведение итогов

Учитель: Какое открытие мы сегодня совершили?

Для чего мы делали это открытие?

Давайте попробуем повторить формулировку теоремы Пифагора.

А за великое открытие, которое мы совершили сегодня на уроке, каждый из вас получает вот такой папирус о том, что он являлся участником окружного конкурса “Учителя года”, успешно усвоил теорему Пифагора и еще раз убедился в связи математики с другими науками (рис.12).

- Итак, наша Х-педиция закочилась. Мы сделали еще один шаг в познание природы. Спасибо за хорошую работу. Давайте вместе прочтем мудрые слова Галилея: “Великая книга истории написана математическими символами” (см. последний слайд презентации – приложение).

Задачи на индивидуальных карточках

Информационные технологии на уроках геометрии

Цели урока:

Развивающая цель:

а) Развитие психических процессов: памяти, внимания, мышления, воображения.

б) Повышение мотивации обучения учащихся.

в) Расширение кругозора учащихся и обогащение словарного запаса. Развитие познавательного интереса.

г) Осуществление межпредметной связи геометрии с алгеброй, географией, историей, биологией, литературой, трудом.

Обучающая цель:

Формирование общеучебных математических навыков и умений: доказательство и формулировка теоремы Пифагора, умение решать задачи с помощью теоремы Пифагора.

Воспитывающая цель:

Обучение детей трудолюбию и аккуратности.

Эпиграф урока

“…Геометрия владеет двумя сокровищами – теоремой Пифагора и золотым сечением…” Иоганн Кеплер

Прогнозируемый результат:

Знать зависимость между сторонами прямоугольного треугольника.
Уметь доказывать теорему Пифагора.
Уметь применять теорему Пифагора для решения задач.

Оборудование:

Компьютер
Большой прямоугольный треугольник и три квадрата
Прямоугольный треугольник и три квадрата у каждого ученика на парте
Ножницы
Карточки для работы в группах
Математическое лото
Таблица квадратов натуральных чисел
Портрет Пифагора
Чертежные инструменты
Плакат с надписью: “…Геометрия владеет двумя сокровищами – теоремой Пифагора и золотым сечением…” Иоганн Кеплер

ХОД УРОКА.

Приветствие и вступительное слово учителя:

Здравствуйте, дети! Сегодня я предлагаю вам отправится в Х- педицию. Дети, сейчас вы выступите в качестве исследователей. (см. презентацию – представлена в приложении)

Прежде, чем познакомиться с новой темой, выполним некоторые задания.

Найдите пропущенное число: (рис.2)
Назовите два следующих числа 36.49,64,81,100, 121, …
Назовите фигуры, которые вы видите на экране (рис.4)
Какие бывают треугольники?
Какой треугольник называется прямоугольным?
А какая фигура называется квадратом?
Как мы находим его площадь?
Ребята, наша исследовательская деятельность продолжается.

Назовите элементы прямоугольного треугольника/(ПРИЛОЖЕНИЕ 1)

/на боковой доске даны изображения треугольников с указанными длинами сторон/

Дети выходят к доске и заполняют таблицу

№	a ²	b ²	c ²
1.	64	225	289
2.	144	25	169
3.	16	9	25

- Итак, Определите, как связаны катеты и гипотенуза в каждом из треугольников (Как связаны квадраты катетов с квадратом гипотенузы).

КВАДРАТ ГИПОТЕНУЗЫ РАВЕН СУММЕ КВАДРАТОВ КАТЕТОВ

На доске появляется тема урока и формулировка теоремы.

- На экране компьютера портрет Пифагора и формулировка теоремы.

–Отметьте у себя в тетрадях тему нашего занятия. И сейчас мы докажем эту теорему. Записываем после формулировки теоремы – дано.

/правая боковая сторона доски с треугольником/

Дано: АВС-прямоугольный

тр-к ; ВС= a , АС= b и АВ=с,

------------------------------------

доказать: с ² = a ² + b ²

Доказательство:

(ПРИЛОЖЕНИЕ 2)

Чему равна площадь квадрата со стороной а? S₁ = а²

Чему равна площадь квадрата со стороной в? S₂ = в²

Чему равна площадь квадрата со стороной с? S₃ = с²

Дети работают вместе с учителем.

Учитель: У вас у каждого на парте лежат треугольник и квадраты. Достали ножницы из чехлов…

Теперь положите квадрат с площадью а² на квадрат с площадью с². Разрежьте квадрат с площадью в² на девять равных квадратиков и заполните ими свободное пространство на квадрате с². Мы наглядно показали, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

S₃= S₁+ S₂

с ² = a ² + b ²

–Что и требовалось доказать

Соблюдение техники безопасности – ножницы в чехлы.

(ПРИЛОЖЕНИЕ 3)

“Пифагоровы штаны во все стороны равны” и “Пифагорова невеста”

Закрепление нового материала.

( на экране задача и рисунок к ней на доске) (рис.5)

З а м е ч а н и е. Из курса алгебры известно, что уравнение АВ² = 25 имеет два корня: АВ = ±5, АВ = - 5 не удовлетворяет условию задачи, так как длина стороны треугольника всегда положительна. Значит АВ = 5. Давайте договоримся, что в дальнейшем, при решении уравнений в подобных задачах, будем ограничиваться только положительными корнями и каждый раз не будем пояснять почему отрицательные корни отбрасываются.

Работа в группах

Трем группам из четырех человек даются карточки в виде прямоугольных треугольников с заданиями и табло с ответами. (рис.6)

(ПРИЛОЖЕНИЕ 4)

На экране компьютера появляется карта Древнего мира. (рис.7). Если соединить города, где родился, набирался опыта и жил Пифагор, отрезками, то получиться прямоугольный треугольник. (см. презентацию )

Самостоятельная работа

6	16	17	20	24	5
г	о	т	и	к	а

Решая задачу, дети вписывают букву в таблицу против получившегося ответа. Дети получают слово “готика”

Показать Собор Парижской богоматери (рис. 9)

(ПРИЛОЖЕНИЕ 5)

Математическое лото

Учитель: А теперь каждый попробует совершить свое открытие в нашей исследовательской деятельности. Кстати, с теоремой связан интересный факт. Хоть она и связывается с именем Пифагора, она была известна задолго до него. В древних текстах эта теорема встречается за 1200 лет до Пифагора. Возможно, что тогда ещё не знали её доказательство, а само соотношение между гипотенузой и катетами было установлено опытным путём, как и мы его сейчас установили. В какой стране и при строительстве какого сооружения применялась теорема Пифагора?

Сейчас мы с вами узнаем.

Удобный и очень точный способ, употребляемый землемерами для проведения на местности перпендикулярных линий, был известен с древних времён.. Этот способ, по – видимому, применявшийся ещё тысячелетия назад строителями египетских пирамид, основан на том, что каждый треугольник, стороны которого относятся как 3:4:5, согласно теореме Пифагора, - прямоугольный, так как

3²+ 4² = 5².

Поэтому треугольник с катетами 3, 4 и гипотенузой 5 называют “египетским”.(рис.10)

Дети решают задачи и получают пирамиду Хеопса.

На экране – пирамида Хеопса. (рис.11)

Подведение итогов

Учитель: Какое открытие мы сегодня совершили?

Для чего мы делали это открытие?

Давайте попробуем повторить формулировку теоремы Пифагора

-- Итак, наша Х-педиция закочилась. Мы сделали еще один шаг в познание природы. Спасибо за хорошую работу. Давайте вместе прочтем мудрые слова Галилея: “Великая книга истории написана математическими символами”

(см. последний слайд презентации)

30.01.2008