Последовательности и функции: их ограниченность и непрерывность с точки зрения высшей математики (программа элективного курса)

Пояснительная записка

Данная программа элективного курса своим содержанием сможет привлечь внимание учащихся 10–11-х классов, которым интересна математика.

Предлагаемый курс освещает не рассматриваемые в общем курсе школьной математики вопросы.

Целью курса является формирование базы для продолжения математического образования в вузах различного профиля, развития интереса к предмету, расширения кругозора учащихся. Реализация поставленных целей будет способствовать овладению учащимися основами математической культуры, становлению личности.

Изучение курса осуществляется в 10–11-х классах, на него отводится 35 часов.

Содержание курса имеет теоретическую и практическую составляющую.

Теоретический материал строится на основе тем, включённых в инвариантный профильный курс математики в разделе “Начала математического анализа”. В программу элективного курса включены следующие разделы:

1. Последовательности и функции.
2. Предел последовательности.
3. Предел функции.
4. Приложение теории пределов.

Содержание и логика построения теоретического материала элективного курса в основном соответствует содержанию и логике построения теоретического материала основного курса (раздел “Начала математического анализа”) и нацелены на расширение математических знаний, полученных на уроках и факультативных занятиях.

Практическая часть курса реализуется через включение учащихся в коллективную, групповую и самостоятельную деятельность.

При проведении занятий по курсу на первое место выйдут такие формы организации занятий, как лекция, практические семинары. При подготовке к практическим семинарам учащимся необходимо использовать справочники, энциклопедическую литературу, учебные пособия для техникумов и вузов. Большое внимание в практической части курса уделяется осуществлению “поисковой” работы в книжно – журнальных областях, написанию реферативных работ по избранным вопросам математики. За счёт практической части курса осуществляется связь с жизнью, идёт формирование ключевых компетенций, что способствует удержанию стойкого интереса к теоретическому материалу. В практической части курса учитывается личностные интересы учащихся, поэтому для выполнения заданий должны предлагаться варианты.

Не исключено, что данный курс поможет учащимся найти свое призвание в профессиональной деятельности, требующей использовать точные науки или, по крайней мере, приобретение вне профессионального увлечения.

В процессе реализации данного курса предполагается осуществление личностно-деятельностного подхода, базирующегося на применении активных методов обучения.

Результаты изучения данного курса могут быть выявлены в рамках следующих форм контроля:

• текущий контроль (беседы по изученным темам, тестирование по теории);
• тематический контроль (написание рефератов (см. список рефератов));
• зачётный практикум (индивидуальные домашние задания (решение примеров для

самостоятельной работы), творческие задания(доклады, содоклады));

• итоговый (выполнение контрольных работ).

В результате изучения курса “Последовательности и функции: их ограниченность и непрерывность с точки зрения высшей математики” учащиеся должны

Знать, понимать:

• определение последовательности, предела последовательности, бесконечно малой и бесконечно большой последовательности;
• определение функции, предела функции, свойства пределов функции;
• правила вычисления пределов последовательностей и функций;
• прикладное значение теории пределов.

Уметь:

• вычислять пределы последовательностей и функций;
• исследовать последовательности на ограниченность, функции – на непрерывность, определять характер точек разрыва функции;
• решать прикладные задачи с помощью теории пределов.
• осуществлять поиск математической информации по определённой теме в различных источниках;
• подготовить реферат, доклад;
• применить полученные знания в процессе решения практических задач.

Учебно-тематический план

Итого: теории – 11 ч., практики – 24 ч.

Вторая глава заканчивается списком тем докладов и рефератов. Каждая глава – подборкой задач для самостоятельного решения и текстами контрольных работ.

Зачетные задания могут иметь вид:

• индивидуальное домашнее задание (решение примеров для самостоятельной работы).
• творческие задания (доклады, содоклады)

Содержание учебной программы

Раздел 1. Введение. Последовательности и функции

Тема 1. Предмет, изучению которого посвящен данный курс

Основные понятия курса. Исторические сведения. Преемственная связь с базовым курсом школьной математики.

Тема 2. Последовательности

Понятие последовательности. Метод математической индукции. Некоторые типы чис ловых последовательностей (ограниченные сверху, ограниченные снизу, монотонная, монотонно возрастающая и монотонно убывающая).

Тема 3. Функции

Понятие функции. Область определения и область значений функции. Способы зада ния функций. Свойства функций (чётность и нечётность, периодичность, возрастание и убывание, экстремумы функции). Краткий обзор свойств и графиков ранее изученных функций.

Раздел 2. Предел последовательности

Тема 1. Предел последовательности.

Понятие предела числовой последовательности. Теорема о единственности предела последовательности. Теорема об ограниченности последовательности. Понятие бесконечно малой последовательности. Операции над бесконечно малыми последовательностями. Свойства пределов, связанные с арифметическими действиями над последовательностями. Понятие бесконечно большой последовательности. Связь бесконечно малой с бесконечно большой последовательностью.

Тема 2. Теоремы о пределах, облегчающие вычисления.

Теоремы о пределах, связанные с арифметическими действиями. Теоремы о пределах, связанные с неравенствами. Существование предела монотонной последовательности. Теорема Вейерштрасса. Критерий Коши.

Раздел 3. Предел функции

Тема 1. Предел функции. Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Понятие предела функции в точке. Теорема о единственности предела функции. Односторонние пределы. Условие существования предела функции. Свойства предела функции. Действия с пределами функции. Некоторые тригонометрические неравенства и их использование при нахождении пределов. Теоремы о пределах функций, связанные с неравенствами. Предел функции при х . Бесконечные пределы. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, их свойства. Теорема о связи.

Тема 2. Непрерывность функции. Замечательные пределы.

Непрерывность функции в точке. Свойства функций, непрерывных в точке. Непрерывность функции на множестве. Классификация точек разрыва функции. Предел монотонной функции. Непрерывность элементарных функций. Замечательные пределы.

Тема 3. Практические приемы вычисления предела функции

Раскрытие неопределенностей () с помощью правила Лопиталя. Раскрытие других видов неопределённости (0*; – ; 1; 0⁰; ⁰). Вычисление предела многочлена и отношения многочленов (при х, хх_о ).Вычисление предела от дробно-иррациональной функции. Вычисление предела отношений содержащих тригонометрические функции с помощью 1^го замечательного предела. Вычисление предела

Вира . Вычисление пределов от логарифмических функций. Вычисление пределов от показательных функций. Эквивалентные функции.

Раздел 4. Приложения теории пределов

Тема 1. Приложения теории пределов

Приложение теории пределов к вычислению длины окружности, длины дуги окружности, площади круга и кругового сектора. Приложение теории пределов к вычислению суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Приложение теории пределов к исследованию функций.

Раздел 5. Заключение

Последовательности и функции.

Литература для учащихся:

1. Е.С.Кочетков, Е.С.Кочеткова. Алгебра и элементарные функции. Учебное пособие для учащихся 10 классов средней школы/ под ред. О.Н Головина, – М: Просвещение, 1999.

2. С.М.Никольский. Элементы математического анализа. Учебное пособие. – М: Наука, 1999.

3. Н.В Богомолов. Практические занятия по математике: Учебное пособие для средних учебных заведений/Н.В.Богомолов. – 7-е изд., стер. – М.: Высш.шк.,2004.

Список ключевых понятий

• Величина абсолютная
• Длина окружности
• Индукция математическая
• Исследование функции
• Критерий Коши
• Непрерывность функции
• Неопределённость
• Нечётность функции
• Область значений функции
• Область определения функции
• Переход предельный
• Периодичность функции
• Площадь круга
• Последовательность
• Последовательность бесконечная
• Последовательность бесконечно большая
• Последовательность бесконечно малая
• Последовательность возрастающая
• Последовательность монотонная
• Последовательность ограниченная сверху
• Последовательность ограниченная снизу
• Последовательность сходящаяся
• Последовательность убывающая
• Последовательность числовая
• Правило Лопиталя
• Предел замечательный
• Предел односторонний
• Предел функции
• Прогрессия
• Точка разрыва функции
• Функция
• Функции бесконечно большие
• Функции бесконечно малые
• Функции обратные
• Функция квадратичная
• Функция линейная
• Функция прямая пропорциональность
• Функция степенная
• Функция тригонометрическая
• Чётность функции
• Экстремум функции

Контрольно-измерительные материалы

1. Темы рефератов:

• “Определение и примеры разрывных функций. Исследование характера точек разрыва функции”
• “Приложения теории пределов к вычислению длины окружности , площади круга и суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии”
• “Некоторые тригонометрические неравенства и их использование при нахождении пределов”
• “Из истории развития понятий функции и предела”
• “Применение пределов в механике”
• “Предел последовательности комплексных чисел”

2. Контрольные работы (см. Приложение 1, Приложение 2, Приложение 3)