Основная цель – на популярном, практически игровом уровне познакомить учащихся с применением математики для решения задач кодирования и декодирования информации.
План занятия
I. Постановка задачи.
II. Секретная переписка подпольщиков.
III. Роль математики в расшифровке. Способ шифровки - кодирование, декодирование.
IV. Матричный способ шифровки.
I. Зачем нужно шифровать те или иные тексты, от содержащих государственные тайны - до записок знакомой девочке или мальчику? <Приложение1.Слайд 2>
Веками создавались самые различные системы тайнописи, которыми владели только «посвященные», умевшие и зашифровать текст, и расшифровать его. Конечно, для «непосвященных» разгадать шифр всегда было очень важно. Поэтому веками разрабатывались как способы расшифровки чужих шифров, так и способы создания своих шифров, которые не поддавались бы расшифровке. Проблема расшифровки связана не только с секретами, которые следует скрыть от посторонних, но и с серьезными проблемами гуманитарных наук – например, истории и археологии, прежде всего с «воскрешением» так называемых мертвых языков. Так, древняя цивилизация в Египте оставалась за семью печатями до тех пор, пока в XIX веке французский филолог Шампольон не смог расшифровать иероглифы, которые древним египтянам были хорошо понятны. А в XX в. Наш соотечественник, ученый, историк, лингвист и этнограф Ю.В.Кнозоров расшифровал письменность древнего народа майя, жившего много веков назад на территории нынешней Мексики. < Приложение1.Слайд 3>
II. Послушайте рассказ о секретной переписке подпольщиков. [2]
Революционер – подпольщик вынужден вести свои записи и переписку с товарищами таким образом, чтобы никто из посторонних не мог понять написанного. Для этого пользуются особым способом письма, называемым «тайнописью». Придуманы разные системы тайнописи; к их услугам прибегают не одни подпольщики, но также дипломаты и военные для сохранения государственных тайн. Сегодня я хочу рассказать об одном из таких способов ведения секретной переписки, а именно: о так называемом способе «решетки». Он принадлежит к числу сравнительно простых и тесно связан с арифметикой.
Желающие вести тайную переписку по этому способу запасаются каждый «решеткой», т.е. бумажным квадратиком с прорезанными окошечками. <Приложение1.Слайд 4>. (Раздается ученикам «решетки»).
Рисунок 1.
Пусть требуется послать товарищу такую записку:
Собрание делегатов отмените.
Полиция кем-то предупреждена. Антон.
Наложив решетку на листок бумаги, подпольщик пишет сообщение букву за буквой в окошечках решетки. Так как окошек 16, то сначала помещается только часть записки:
Собрание делегато…
Сняв решетку, вы увидите запись, представленную на рисунке 2,<Приложение1.Слайд 5>
Рисунок 2.
Здесь, разумеется, ничего засекреченного пока нет: каждый легко поймет, в чем дело. Но это только начало; записка в таком виде не останется. Подпольщик поворачивает решетку «по часовой стрелке» на четверть оборота, т.е. располагает ее на том же листке так, что цифра 2, бывшая раньше сбоку, теперь оказывается вверху. При новом положении решетки все раньше написанные буквы заслонены, а в окошечках появляется чистая бумага. В них пишут следующие 16 букв секретного сообщения.
Такую запись не поймет не только посторонний человек, но и сам писавший, если позабудет текст своего сообщения.
Чтобы писать дальше, надо вновь повернуть решетку на четверть оборота по часовой стрелке. Она закроет все написанное и откроет новые 16 свободных клеток.
Наконец делается последний поворот решетки цифрой «4» вверх, и в открывшиеся 16 чистых квадратиков вписывают окончание записки. Так как остаются три неиспользованные клетки, их заполняют буквами а, б, в – просто для того, чтобы в записке не оказалось пробелов.
Письмо имеет вид, представленный на рисунке 3. <Приложение1.Слайд 6>
Рисунок 3.
Попробуйте в нем что-нибудь разобрать! Пусть записка попадет в руки полиции, пусть полицейские сколько угодно подозревают, что в ней скрыто важное сообщение, - догадаться о содержании записки они не смогут. Никто из посторонних не разберет в ней ни единого слова. Прочесть ее в состоянии только адресат, имеющий в руках точно такую же решетку, как и та, которой пользовался отправитель.
Как же прочтет адресат это секретное письмо? Он наложит свою решетку на текст, обратив ее цифрой «1 вверх, и выпишет те буквы, которые появятся в окошечках. Это будут первые 16 букв сообщения. Затем повернет решетку - и перед ним предстанут следующие 16 букв. После четвертого поворота вся секретная записка будет прочитана.
III. Огромную роль в проблеме расшифровки текстов играет, как ни странным это может показаться, математика, прежде всего теория вероятностей и математическая статистика. [1]
Сегодня мы с вами познакомимся с одним очень простым способом шифрования. Чтобы воспользоваться им для шифровки и расшифровки ( кодирования и декодирования), достаточно знать лишь простейшую арифметику, порядок букв в алфавите и помнить всего… четыре числа. А расшифровать ваш текст непосвященному человеку будет абсолютно не под силу.
Для кодирования текста на русском языке занумеруем все буквы по месту их расположения в алфавите – от 1 до 33, добавив 34-ю пробел.
Рисунок 4.
Возьмем какое-нибудь простое предложение, например, «шёл снег», и каждую букву заменим соответствующей цифрой. Получим последовательность: 26,7, 13, 34, 19, 15, 6, 4.
IV. Построим из этой последовательности две таблички 2х2:
Такие таблички из четырех чисел называются матрицей.
Зашифруем эту последовательность с помощью еще
одной матрицы 
-
кодирующей – по следующему правилу:
Такой способ шифрования и называют матричным. Ваш адресат получит текст: 91, 116, 52, 75, 56, 42, 31, 23.
А как же он его расшифрует? Оказывается, и это
нетрудно: он должен взять декодирующую матрицу 
и проделать с полученным текстом то же самое, что делали мы с исходным текстом.
После замены матриц на последовательность 26,7, 13, 34, 19, 15, 6, 4, а затем - чисел на буквы дешифровальщик получит исходный текст «шёл снег».
Ясно, что никто посторонний, не знающий ни кодирующей, ни декодирующей матрицы, получить этот текст не сможет.
Однако матричный способ шифрования не смог бы
существовать, если бы в качестве кодирующей
можно было брать только матрицу 
На самом деле таких матриц бесконечно много, придумывать их очень легко. И вообще вы можете менять свою систему «тайнописи» каждый день. Для этого нужно знать очень немного – уметь любые две матрицы «перемножать», т.е. по определенному правилу составлять из них третью.
– правило
умножения матриц. <Приложение1.Слайд
7>.
А теперь, по правилу умножения:
1. Перемножьте матрицы:
2. Зашифруйте текст «Вы мне дороги».
На следующем занятии мы поговорим с вами об алгебре матриц, а также будем друг-другу писать письма, а для этого необходимо будет придумать свою кодирующую матрицу. Подумайте о том, какая у вас будет эта матрица?
Литература
1. Дорофеев Г.В. и др. Курс по выбору для 9 класса «Избранные вопросы математики»//Математика в школе, 2003, № 10, с. 2-36.
2. Я.И.Перельман «Живая математика».- М.: Издательство «Просвещение», 1995.